решебники и ГДЗ

Системы счисления

Когда люди научились считать по пальцам, они сделали огромный шаг в раз­витии цивилизации. Пальцы оказались прекрасной «вычислительной маши­ной». С их помощью можно было считать до 5; если взять две руки, то и до 10, а присоединив пальцы ног, можно было считать уже до 20. Научившись считать до 10, люди сделали следующий шаг и стали считать десятками, потом десятками десятков, т. е. сотнями, и т. д. Такой счёт по­родил десятичную систему счисления, принятую почти у всех народов мира. Для записи чисел в десятичной системе счисления, как вы знаете, использу­ется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью можно записать любое сколь угодно большое число. Это объясняется тем, что десятичная система является ещё и позиционной: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции, которую она занимает. Эта «позиционность» выражена и в русском языке. Например, про число 583 мы говорим: «Пятьсот восемь­десят три», т. е. «5 сотен, 8 десятков, 3 единицы». Записать это можно так:

583 = 5 • 100 + 8 • 10 + 3, или 583 = 5 • 10² + 8 • 10 + 3.

Но не только десятичную систему счисления использовали люди. У жителей южных широт была распространена двадцатеричная система (может быть, потому что они ходили босиком). А у северных народов имела хождение и пятеричная система счисления (наверное, потому, что холодно снимать ва­режки с обеих рук сразу).

Но были народы, у которых в самой глубокой древности счёт шёл до шести, а потом особое значение у них получило число, равное шести десяткам. Так случилось у шумеров и древних вавилонян, которые стали использовать ше­стидесятеричную систему счисления.

В разное время разные народы использо­вали и двенадцатеричную систему счис­ления, потому что считать можно не только пальцы, но и фаланги пальцев руки (рис. 32).

Следы этих систем счисления остались в языках, традициях, суевериях. Число «двенадцать» называют ещё дюжиной.

Дюжинами продают вилки, тарелки, чаш­ки. Циферблат часов поделён на двенад­цать частей, год - на двенадцать месяцев, в гороскопе двенадцать знаков зодиака.

Конечно, запись одного и того же числа в разных системах счисления раз­лична. Количество цифр, используемое в той или иной системе счисления, такое же, как и основание этой системы. Например, в пятеричной системе счисления используется всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

Возьмём число, записанное в пятеричной системе, например 213₅. (Цифра 5 внизу указывает основание системы счисления.) Выясним, какое число в при­вычной для нас десятичной схеме скрывается за записью «два, один, три» в пятеричной. Для этого распишем число 213₅ по разрядам пятеричной си­стемы, т. е. по степеням пятёрки:

213₅ = 2 • 5² + 1 • 5 + 3 = 2 • 25 + 5 + 3 = 58.

Значит, 213₅ = 58₁₀.

Гораздо труднее перевести число из десятичной системы счисления в непри­вычную нам пятеричную систему счисления. Возьмём, например, число 284₁₀. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых с основанием 5. Мы знаем, что 5¹ = 5, 5² = 25, 5³=125, 5⁴ = 625. Так как 5⁴ уже больше, чем 284, то нужно выяснить, сколько раз в этом числе «укладывается» 5³.

Для этого разделим 284 на 125, получим

284 = 2-5³ + 34.

Теперь посмотрим, сколько раз в остатке «укладывается» 5²:

34 = 1 • 5² + 9.

Далее, 9 = 1 • 5 + 4.

Итак, 284 = 2- 5³ + 1- 5² + Ь 5 + 4.

Значит, 284₁₀ = 2114₅.

Понятно, что проверить правильность вычислений можно, если воспользо­ваться более лёгкой процедурой перевода числа из пятеричной системы счис­ления в десятичную.

Лунный календарь делится на периоды, в которых семь дней. Отсюда про­изошёл обычай соединять дни в семидневки - недели. Знаете ли вы какие-нибудь ещё природные явления, пословицы, связанные с числом 7, упоминания числа 7 в истории?