решебники и ГДЗ

а) если хотя бы одно слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число;

б) если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число;

в) если каждое из слагаемых делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число?
Проверьте себя.

Первые два утверждения не должны были вызвать у вас затруднений. Чтобы доказать, что они неверны, достаточно привести контрпример. Скажем, 15 делится на 3, но 15 + 4 не делится на 3. Этот пример показывает, что утверждение а) неверно. Далее, 8 не делится на 3 и 7 не делится на 3, но их сумма (8 + 7), равная 15, делится на 3. Этот пример показывает, что утверждение б) неверно.

В последнем утверждении надо доказать, что оно верно для любых целых чисел. Рассуждать можно по-разному. Например, так:

«Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то это число является их общим делителем. А значит, его как общий множитель можно вынести за скобки. Получившееся выражение делится на этот множитель, следовательно, и исходное выражение тоже на него делится».

Обычно такие рассуждения проводят в буквенной форме.

Если числа а и Ь делятся на m, то a + b = m'k + m'L = = m • (k + I). Мы получили выражение, которое делится на /п, значит, и исходное выражение тоже делится на т.

Итак,

если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Это одно из свойств делимости. В краткой форме его можно записать так:

Свойство 1. Если а : Ъ и с : Ь, то (а + с) : Ь.

Например, из того, что 12 • 3 и 21 • 3, можно сделать вывод, что

(12 + 21) : 3.

Укажем некоторые другие свойства.

Свойство 2. Если а . Ъ и с не делится на Ь, то а + с не делится на Ь.

Например, из того, что 12 • 3 и 22 не делится на 3, можно сделать вывод, что 12 + 22 не делится на 3.

В то же время из того, что каждое слагаемое не делится на Ь, нельзя сделать вывод, что и сумма не делится на Ь. Например, 14 не делится на 3 и 22 не делится на 3, но (14 + 22) • 3. Впрочем, об этом мы уже говорили выше.

Свойства 1 и 2 верны для суммы любого конечного числа слагаемых, и их можно сформулировать следующим образом: если каждое слагаемое делится на число Ь, то и сумма делится на Ь; если каждое слагаемое, кроме одного, делится на Ь, то сумма не делится на Ъ.

- Свойство 3. Если а : b и (а + с) I Ь, то с • Ь.

Например, из того, что 12 : 3 и (12 + 21) • 3, можно сделать вывод, что 21 ! 3.

Свойство 4. Если а \ с и с \ Ь, то а : Ь.

\ Например, из того, что 48 : 6 и б : 3, можно сделать вывод, что

48 : 3.