Дорофеев. Список задач учебника по математике для 6 класса.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ УЧЕБНИКА ДОРОФЕЕВА 6 КЛАСС

Задания учебника по математике для 6-го класса Дорофеев и Петерсон

Часть 1
1. Построй отрицания высказываний с помощью слов “Неверно, что”, а затем перефразируй их в более простой форме. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего. 1) Луна - спутник Земли. 2) В лесу растут мухоморы. 3) Мухомор - несъедобный гриб. 4) В Москве-реке водятся крокодилы. 5) Амазонка длиннее Нила. 6) Джомолунгма ниже Эвереста. 7) На Земле 7 или 8 материков. 8) Арбуз - это овощ или фрукт. 9) В среду по расписанию есть уроки математики и чтения. 10) В буфет не привезли ни булочек, ни коржиков. 11) Дроби 0, 5 и не равны. 12) Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
2. Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание: 1) Число О является натуральным. 2) Число 1 - простое. 3) Между числами 2 и 3 нет других чисел. 4) Сумма 947 + 456 кратна 9. 5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5. 6) Корнями уравнения х2 + 2 = 18 являются числа 0 и 4. 7) Дробь 8,9 больше или равна 9. 8) Неправильная дробь меньше единицы.
3. Запиши отрицание высказываний на математическом языке. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.
4. Придумай высказывание, выражающее свойство прямоугольника, и построй его отрицание. Убедись на этом примере в выполнении закона исключенного третьего.
5. Используя закон исключенного третьего, докажи, что отрицания построены неверно. № Высказывание Отрицание 1 Все кошки серые. Все кошки не серые. 2 Некоторые ягоды сладкие. Некоторые ягоды несладкие. 3 Есть месяцы, в которых 30 дней. Есть месяцы, в которых не 30 дней. 4 Каждый день утром идет дождь. Утром никогда не идет дождь.
6. Проверь по диаграмме Эйлера-Венна истинность высказываний. Для ложных высказываний построй отрицания и запиши их на математическом языке:
7. Запиши следующие два члена ряда так, чтобы сохранялась закономерность: а) 2; 5; 11; 23; 47 ... в) 8,01; 8,002; 8,0003 ...
8. Назови элементы множества 1) Какие из чисел, принадлежащих этому множеству, являются: а) натуральными числами; б) дробями? 2) Какие из дробей записаны в виде: а) обыкновенной дроби; б) смешанного числа; в) десятичной дроби?
9. Запиши в порядке возрастания элементов множество натуральных чисел, составленных из двух пятерок и пяти нулей. Прочитай эти числа.
10. Запиши на математическом языке числа: а) шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь; б) семь целых четыре пятых; в) три целых двенадцать стотысячных.
11. Вычисли устно:
12. Вычисли:
13. Найди значение выражения:
14. Выбери окончания предложений так, чтобы получились истинные высказывания. Выпиши подряд все буквы, соответствующие твоим ответам. 1) Предыдущим для числа 79 399 является число: а) 78 399; б) 79 400; в) 79 398. 2) В разряде десятков тысяч числа 12 705 320 записана цифра: а) 2; б) 0; в) 5. 3) В разряде сотен миллионов числа 9 876 543 210 записана цифра: а) 8; 6) 9; в) 5. 4) В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра: а) 5; б) 6; в) 7. 5) В знаменателе дробной части числа 3— записана цифра: а) 3; б) 2; в) 9. 6) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак: а) умножения; б) сложения; в) вычитания. 7) Сумма 80 000 000 + 3 000 000 + 4000 + 20 является разложением по разрядам числа: а) 834 020; б) 83 004 020; в) 8 304 020. 8) Сумма является разложением по разрядам числа: а) 35 087 ; б) 350 807; в) 3 508 007.
15. Сравни числа: а) 7 508 996 и 758 999; б) 2 371 405 и 2 371 054; в) 3,275 и 3,6; д) 123,4 и 5,6789; г) 0,956 и 1; е) 0,0009 и 0,008.
16. Какие ты знаешь способы сравнений обыкновенных дробей? Сравни:
17. Реши задачи: а) В летнем лагере 3 отряда. В первом отряде отдыхают 25 человек, во втором - в 1,2 раза больше, чем в первом, а в третьем - на 7 человек меньше, чем во втором. Для спортивной игры все отдыхающие разбились на две равные команды. Сколько человек было в каждой команде? б) В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали 1 т картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил 38 кг в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?
18. Пусть М - множество всех планет, названия которых начинаются с буквы М, С - множество всех планет Солнечной системы, а Г - множество всех планет Солнечной системы, входящих в группу планет-гигантов. Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств М, С и Г. Обозначь на этой диаграмме планету Земля.
19. Найди ложные высказывания и построй их отрицания (если потребуется, воспользуйся для этого энциклопедией или справочником). 1) Джордано Бруно был последователем учения Птолемея.
2) Пальмы - самые высокие деревья в мире. 3) В атмосфере Земли кислорода по массе содержится не меньше, чем азота. 4) Площадь Германии больше площади Франции. 5) Санкт-Петербург был основан в 1704 или 1705 году. 6) Кенгуру живут не то в Австралии, не то в Антарктиде.
20. Запиши предложения на математическом языке и построй их отрицания: 1) Число х меньше пяти девятых. 2) Число у больше или равно трем целым четырем тысячным. 3) Разность чисел а и ft равна числу с. 4) Квадрат числа п не равен 16, 5) Число х больше своего квадрата. 6) Число х меньше своего квадрата на 1.
21. Построй отрицание высказывания “Все реки впадают в Каспийское море”. Убедись в выполнении для него закона исключенного третьего.
22. Найди истинные высказывания. Расположи соответствующие им ответы в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй астрономический термин. Примеры, в которых допущены ошибки, реши правильно и запиши в тетрадь.
23. Выполни действия:
24. У дачника было три улья. С первого улья он получил 24,8 кг меда, со второго - на 6,4 кг меньше, чем с первого, а с третьего - половину того, что собрал с первых двух ульев вместе. Весь мед он разложил поровну в 18 банок. По скольку килограммов меда было в каждой банке?
25. Расшифруй ребус, где одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным - разные: 1) ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ; 2) ПЧЕЛКА X 7 = ЖЖЖЖЖЖ.
26. Построй несколько вариантов отрицания общих высказываний. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего. 1) Все европейские страны входят в Евросоюз. 2) Каждое государство Европы является республикой. 3) В любом городе России есть памятники истории. 4) Все города России находятся в Европе. 5) Планеты имеют форму шара. 6) У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник. 7) Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец. 8) Вода есть на любой планете. 9) Высказывания всегда являются повествовательными предложениями. 10) Вопросительное предложение не может быть высказыванием. 11) Во всяком четырехугольнике диагонали равны. 12) Любой угол является острым или тупым.
27. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и докажи, что отрицания истинны. 1) Все решения неравенства 1 < х < 8 являются натуральными числами. 2) Никакое решение неравенства 2 < х < 3 не является натуральным числом. 3) При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя. 4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной. о) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной. 6) Числа при округлении уменьшаются. 7) При умножении числа на 1 всегда получается то же самое число. 8) Сумма любых двух натуральных чисел больше каждого из них. 9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя. 10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.
28. Какие высказывания являются общими, какие - высказываниями о существовании, а какие - ни теми, ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания. 1) Все птицы умеют плавать. 2) У телеги всегда четыре колеса. 3) Петя сидит за одной партой с Сашей. 4) Брат всегда старше сестры. 5) Любая медаль имеет две стороны. 6) Некоторые милиционеры - женщины. 7) В пятницу шел сильный снег. 8) Иногда собаки дружат с котиками. 9) Нет попугаев, которые не умеют говорить. 10) Любые часы всегда спешат. 11) Арбуз бывает только полосатым. 12) Велосипед может иметь квадратные колеса.
29. Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контр пример и построй отрицание. 1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1. 2) Некоторые числа имеют только один делитель. 3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя. 4) Простое число всегда меньше составного. 5) Взаимно простые числа сами являются простыми. 6) Числа 12 и 15 - взаимно простые. 7) Делитель числа всегда меньше самого число. 8) Кратное числа больше самого числа. 9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9. 10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде 9, где п е N. 11) Любое простое число можно представить в виде 2 + 1, где п € N. 12) Число, которое можно представить в виде 2n + 1, где п е N, является простым.
30. Нарисуй в тетради таблицу для записи соответствующих значений а и х и заполни ее для a = 0,08; 0,6; 2,9; 3; 7,2; 20,5.
31. Прочитай неравенство и запиши множество всех его натуральных решений:
32. Найди три решения неравенства 0,5 < х < 0,6. Укажи алгоритм, по которому можно найти его 1000 решений. А можно ли найти 10 000 решений этого неравенства?
33. 1) a = 149,5027. Найди числа, являющиеся приближениями числа а с недостатком и избытком с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. Ответы запиши в виде двойных неравенств. Образец записи решения: 2) В записанных неравенствах подчеркни те числа, которые являются результатами округления числа а с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных.
34. Выполни действия и округли полученные ответы с точностью: а) до десятков: 2987,4 + 7,85; 100,1 -47,907; 39,5 • 5,09; 163,846:0,79; б) до единиц: 82,435+ 7,0684; 203-75,48; 470,5 • 0,804; 0,43236:0,045; в) до десятых: 205,038 + 9,47; 4,2-1,517; 320 • 0,0564; 0,06111:0,063; г) до сотых: 1,514 + 0,4872; 5,1002-0,005; 5,7 • 0,053; 0,649636:0,806.
35. Верно ли, что любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? Представь дроби в виде бесконечных периодических дробей и округли с точностью до тысячных:
36. Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму, разность, произведение и частное двух десятичных дробей? Вычисли частное данных дробей с точностью до десятитысячных: а) 0,5 : 0,006; 6)0,04 : 1,5.
37. 1) Запиши формулы периметра и площади прямоугольника, обозначив его стороны буквами а и Ь, периметр - буквой Р, a площадь - S. 2) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата. 3) Из квадрата со стороной 10,6 см вырезали два прямоугольника, как показано на чертеже. Известны длины отрезков АВ = 7,5 см, DE = KF = 5,8 см, EF = 8,6 см. Найди периметр и площадь получившейся фигуры. Округли значение площади с точностью до десятых.
38. Найди ложные высказывания и перепиши их в тетрадь, исправив ошибки. Ответы остальных примеров расположи в порядке убывания, сопоставив соответствующим буквам, и расшифруй математический термин. Что он означает?
39. 1) Известно, что a = 6, где. Какими свойствами обладает число а? 2) Известно, что b = 4, где. Какими свойствами обладает число
40. Переведи высказывания с русского языка на математический. 1) Число а кратно семи. 2) Число 9 - делитель числа. 3) Число с кратно 2 и 5. 4) Число d - четное. 5) Число h не кратно 3. 6) Число т при делении на 7 дает в остатке 1.
41. Известно, что a = 2 • 3 • 7. Запиши множество D (а) всех делителей числа а.
42. Какую цифру надо поставить в числе 273* вместо звездочки, чтобы полученное число делилось: а) на 2; б) на 5; в) на 10? Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 100, на 25, на 4?
43. Какую цифру надо поставить в числе 5*12 вместо звездочки, чтобы полученное число делилось: а) на 3; б) на 9? Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 6, на 15, на 18, на 90?
44. Пусть А = {315; 79; 8181; 490; 102}. Обозначим А подмножество множества А, состоящее из чисел, кратных п. Запиши, из каких элементов состоят А (2), А (5), А (10), А (3), А (9), А (6), Л (15).
45. Пусть - множества делителей соответственно чисел 12 и 15. Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и найди их пересечение. Чему равен наибольший общий делитель чисел 12 и 15? Как найти НОД (12; 15), пользуясь разложением на простые множители?
46. Запиши множества К (6) и К (8) чисел, кратных соответственно 6 и 8. Найди пересечение этих множеств и укажи в нем наименьший элемент. Как найти НОК (6; 8) с помощью разложения на простые множители?
47. Найди НОД и НОК, если:
48. Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел: а) 125 и 150; б) 210 и 2730; в) 35 и 72; г) 60, 75 и 111.
49. 1) Вычисли объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см, 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых. 2) Введи обозначения и построй формулу, выражающую зависимость объема прямоугольного параллелепипеда от его измерений. 3) Построй формулу зависимости площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда от его измерений.
50. Сформулируй разными способами отрицание высказывания “Все тигры живут в Африке”.
51. Найди ложные общие утверждения и приведи для них контр пример. Сформулируй их отрицание с использованием оборота “Существует хотя бы один”. 1) Все простые числа нечетны. 2) Все нечетные числа простые. 3) Любое число, кратное 9, кратно и 3. 4) Любое число, кратное 3, кратно и 9. 5) Каждое простое число имеет не больше двух делителей. 6) Всякое число, которое имеет не больше двух делителей, - простое.
52. Выполни действия и округли ответы с точностью: а) до десятков: 413,78 + 94,456; 302-6,988; б) до сотых: 17,05 • 5,906; 13,518:4,5.
53. Пусть А - множество натуральных решений неравенства 297 < х < 312, кратных числу п. Запиши множества А (2), А (3), А (5), А (9), А (10).
54. Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители: а) 105 и 225; б) 84 и 420; в) 273 и 110; г) 45, 120 и 525.
55. Измерь длину и ширину своей комнаты в метрах с точностью до десятых. Найди ее периметр и площадь. Ответ округли с точностью до целых.
56. Длина комнаты 4,2 м, ширина - 3,6 м, а высота - 3,5 м. 1) Найди объем этой комнаты. Ответ округли с точностью до целых. 2) Стены комнаты надо оклеить обоями. Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 15 м при ширине 0,8 м, размеры окна 2 м х 1,5 м, размеры двери 1,2 х 2,5 м, а на отходы надо предусмотреть 10% расхода обоев?
57. Алик, Боря, Витя и Гена ходили по грибы. Алик с Борей вместе собрали грибов столько же, сколько Витя с Геной, а у Алика с Геной грибов оказалось меньше, чем у Бори с Витей. Гена нашел грибов больше, чем Витя. Расположи имена мальчиков в порядке уменьшения числа найденных грибов.
58. Шифр устроен следующим образом: каждой цифре сопоставлено 3 буквы, а знаку * - 2 буквы и пробел, как указано в таблице: Попробуй расшифровать следующую запись: 61551491 * 2 * 6561 * 051 * 51516566.
59. Сформулируй данные высказывания с помощью слова “существует”. Построй их отрицания и убедись в выполнении закона исключенного третьего. 1) Черепахи могут жить до 300 лет. 2) Есть млекопитающие, которые живут в воде. 3) Некоторые животные внесены в Красную книгу. 4) Не все птицы в России улетают зимой на юг. 5) Предложение может не иметь подлежащего. 6) Бывают словари, которые содержат все слова русского языка. 7) В некоторых книгах меньше 112 страниц. 8) Высказывание может быть вопросительным предложением. 9) Иногда высказывания бывают восклицательными предложениями. 10) Некоторые художники эпохи Возрождения жили в Италии. 11) Есть европейские страны, которые являются островными государствами. 12) Не все страны согласны с существующими границами.
60. Сформулируй разными способами высказывание “Некоторые дроби при сокращении уменьшаются”. Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания.
61. Определи вид высказываний и установи их истинность или ложность. Для ложных высказываний построй отрицания. 1) Каждая неправильная дробь больше единицы. 2) Сумма двух неправильных дробей может оказаться правильной дробью. 3) Существует дробь с числителем 2, большая двух седьмых. 4) Некоторые дроби нельзя привести к одинаковому знаменателю. 5) Не из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть. 6) Частное двух дробей может быть натуральным числом. 7) Дробь можно перевести в десятичную дробь. 8) Дробь, знаменатель которой представим в виде, где п, т - натуральные числа, можно перевести в десятичную.
62. Пусть А - некоторое высказывание. Есть четыре задачи: 1) Доказать А. 3) Опровергнуть А. 2) Доказать -А. 4) Опровергнуть -А. Какие из этих формулировок представляют одну и ту же задачу?
63. 1) Представь данные дроби в виде несократимых и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность: 2) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:
64. Выполни действия. Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных дробей? Выпиши соответствующие им буквы и переставь их так, чтобы получилось слово.
65. Найди значения выражений:
66. Составь математические модели задач: 1) Альбом стоит а р., а книга - в 1,4 раза дешевле. Сколько стоят альбом и книга вместе? 2) Объем одной коробки b дм'1, а другой - на 8,4 дм3 меньше. Во сколько раз первая коробка вместительнее, чем вторая? 3) Трое школьников заработали за лето с р. Первый заработал d р., а второй - в 1,5 раза больше. Сколько рублей заработал третий школьник?
67. Определи вид высказываний и построй их отрицания. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего. 1) Все врачи - хирурги. 2) Некоторые музыканты - виолончелисты. 3) Некоторые ящерицы имеют крылья. 4) Есть яблони, на которых растут груши. 5) Вода иногда бывает твердая. 6) Не все металлы тонут в воде. 7) В Антарктиде растут банановые пальмы. 8) Каждый человек умеет кататься на коньках.
68. Найди значения выражений:
69. Составь выражения к задачам: 1) В первом мешке а кг сахара, во втором - на 4 кг меньше, чем в нервом, а в третьем - в 1,2 раза больше, чем во втором. Сколько сахара в трех мешках? 2) От деревни до станции b км. Мальчик уже прошел с км. Во сколько раз оставшийся путь больше пройденного?
70. Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотри несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.
71. На рисунке приведены три товарных чека. Что меняется и что остается неизменным на чеках одного магазина? На чеках разных магазинов?
72. Найдите значения выражения с переменной
73. Подбери значение переменной в предложении так, чтобы оно превратилось в истинное высказывание: 1) Сегодня по классу дежурит а. 5) 2х - 7 = 31. 2) Сегодня по расписанию Ь уроков. 6) у < 45. 3) Сегодня в классе отсутствуют с учащихся. 7) г > 3. 4) Сегодня занятия заканчиваются в t часов.
74. Вырази из данной формулы каждую переменную. В качестве формы записи приведен образец.
75. Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной: 1) Ширина прямоугольника равна а и составляет 0,4 его длины. Найти периметр прямоугольника, (а = 8,6) 2) Длина прямоугольника b дм, а ширина - с дм. Какую часть длины прямоугольника составляет его ширина? (b = 5,4; с = 3,6) 3) Объем прямоугольного параллелепипеда V см3, длина - d см, а ширина составляет 30% длины. Найти высоту параллелепипеда. (V = 48; d = 8) 4) Ширина прямоугольного параллелепипеда п м, длина в 1,5 раза больше ширины, а высота составляет 24% суммы длины и ширины. Найти объем параллелепипеда
76. Кубометр круглого леса стоит 3 тыс. р. Пусть п м3- количество купленных кубометров, а С тыс. р. — стоимость покупки. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений п, удовлетворяющих неравенству
77. Бассейн наполняется водой из трубы со скоростью 2 м/мин. Пусть t мин -время работы трубы, a объем воды, налитой в бассейн. Запиши формулу зависимости V от t. Составь таблицу и построй график этой зависимости для О < t < 5.
78. Расстояние от дома до школы 6 км. Пусть v км/ч - скорость, a t ч - время пути в школу. Запиши формулу зависимости t от и. Заполни таблицу и построй график этой зависимости для значений о, удовлетворяющих неравенству 0,5 < v < 12.
79. Пусть продолжительность дня х ч, а продолжительность ночи у ч. Запиши формулу, выражающую зависимость у от . Какие значения может принимать х? Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений х.
80. Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной а см. Площадь оставшейся части квадрата - S см2. Запиши формулу зависимости S от а. Какие значения может принимать а? Построй график этой зависимости для всех допустимых значений а.
81. Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний. 1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби. 2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом. 3) Квадрат числа может быть меньше самого числа. 4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную. 5) Куб числа всегда больше самого числа. 6) 1% числа составляет 7 долю этого числа. 7) Есть числа, 125% которых меньше их самих. 8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю, 9) Все числа, кратные 3, кратны и 9. 10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству
82. Как найти часть от числа, выраженную дробью? Найди:
83. Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди число: которого составляют
84. Как найти часть, которую одно число составляет от другого? Какую часть: 1) число 24 составляет от числа 60; 3) число 1,5 составляет от числа 3;
85. Переведи на математический язык: 1) Сумма числа а и утроенного числа b. 2) Утроенная сумма чисел а и Ь. 3) Частное квадратов чисел с и d. 4) Квадрат частного чисел с и d. 5) Утроенный квадрат числа к. 6) Квадрат утроенного числа k. 7) Куб суммы удвоенного числа х и числа у. 8) Сумма кубов удвоенного числа х и числа у. 9) Произведение разности чисел тили квадрата числа к. 10) Разность произведения чисел тили квадрата числа k
86. Найди дроби, которые можно перевести в конечные десятичные. Представь их в виде конечных десятичных дробей, расположи в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Что означает получившееся слово?
87. Докажи, что обыкновенные дроби в данных примерах нельзя перевести в конечные десятичные. Переведи десятичные дроби в обыкновенные и выполни действия в обыкновенных дробях.
88. Докажи, что данные обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные. Запиши выражения, используя десятичные дроби, и выполни действия в десятичных дробях.
89. Реши задачи и определи, есть ли в их условиях лишние данные. 1) Длина прямоугольника равна 7,2 дм, а его ширина составляет 25% длины. Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от площади квадрата с тем же периметром? Вырази эту часть в процентах. 2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 0,45 м, 1,2 м и 0,8 м. Меньшее ребро параллелепипеда составляет 75% ребра некоторого куба. Какую часть объем куба составляет от объема параллелепипеда? Вырази эту часть в процентах.
90. Переведи на математический язык тремя разными способами: 1) Натуральное число а больше натурального числа b в 5 раз. 2) Число с меньше числа d на 8.
91. Переведи письменно с математического языка на русский: Найди значения всех данных выражений при а = 0,6, b = 0,4.
92. Брат на два года старше сестры. Пусть х лет - возраст сестры, а у лет - возраст брата. Запиши формулу зависимости у от х. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений х, удовлетворяющих неравенству
93. Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной: 1) Длина прямоугольника а см, а ширина составляет 80% длины. Найти площадь прямоугольника, (а = 2,5) 2) Ширина прямоугольника равна Ь дм. Ширина составляет 0,2 его длины. Найти периметр прямоугольника, 3) Ребро первого куба равно с м, а второго - d м. Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго куба? (с = 3,2; d = 6,4)
94. Квадрат и прямоугольник имеют одинаковый периметр. Сторона квадрата равна 5,6 м, что составляет 0,7 длины прямоугольника. 1) Найти ширину прямоугольника. 2) На сколько площадь прямоугольника меньше площади квадрата?
95. Докажи, что дробь, полученную в ответе примера, нельзя перевести в конечную десятичную дробь. Замени ее десятичной дробью с точностью до сотых.
96. Задача Ал-Хорезми (Средняя Азия, около 783 г. — 850 г.) Разложить число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.
97. Задача Брахмагупта (Индия, около 598 г. — 660 г.) Если число дней уменьшить на 1, затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
98. Среди различных записей найди предложения с переменными, прочитай их и присвой им имена: 1) Москва - столица России. 2) В слове пять букв. 3) Число п - составное. 4) Прямые а и b параллельны.
99. Подставь в предложения данные значения переменных. Определи истинность или ложность полученных высказываний. Какие предложения при всех натуральных значениях переменных истинны, а какие - ложны?
100. Придумай предложение: а) с одной переменной; б) с двумя переменными; в) с тремя переменными. Подставь значения переменных так, чтобы получилось высказывание. Определи его истинность или ложность.

101. Найди все значения переменных, обращающие данные предложения истинные равенства. Как иначе можно сформулировать это задание? Что называется уравнением? Корнем уравнения?

102. Прочитай предложения. Запиши множество натуральных значений переменных, при которых данные предложения становятся истинными высказываниями. Как иначе можно сформулировать это задание? Что называется неравенством? Решением неравенства?

103. Прочитай предложения с переменными. При каких значениях переменных они становятся высказываниями? Как иначе называют данные предложения с переменными?

104. Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

Может ли при делении натурального числа на 8 получиться остаток 9? Почему? При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3. Какое число делили? Запиши в виде выражения с переменной п (п е N)общий вид числа, которое при делении на 4 дает остаток 3. Найди значение этого выражения при п = 0, 2, 5, 9, 16. Проверь с помощью вычислений. Вычисли и сделай проверку. Что ты замечаешь?

106. Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

107. Блицтурнир Переведи условия задач на математический язык. Что общего и что различного в полученных выражениях? Запиши их в обобщенном виде, используя переменные х и у. Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене а р. за килограмм и 3 кг картошки по цене bр. за килограмм. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Чему равна цена одного килограмма огурцов? Первый рабочий в течение первых 2 ч делал по с деталей в час, а в следующие 3 ч - по dдеталей в час. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 ч, делая в каждый час одинаковое количество деталей. Чему равна производительность второго рабочего? Велосипедист ехал первые 2 ч со скоростью г км/ч, а следующие 3 ч - со скоростью vкм/ч. Мотоциклист, двигаясь равномерно, проехал это же расстояние за 4 ч. Чему равна скорость мотоциклиста? На каждом этаже 2-этажного дома т квартир, а 3-этажного дома - п квартир. Рядом стоит 4-этажный дом, в котором столько же квартир, сколько в 2-этажном и 3-этажном домах вместе. Сколько квартир на одном этаже 4-этажного дома, если количество квартир на всех его этажах одинаковое? Бассейн наполнялся через две трубы. Первая труба работала 2 ч с производительностью kм⁸/ч, а вторая - 3 ч с производительностью р м/ч. Всю налитую воду спустили через третью трубу за 4 ч. Чему равна производительность третьей трубы, если она работала равномерно? В первых двух вагонах поезда по qчеловек, в следующих трех - по tчеловек, а в последних четырех - столько пассажиров, сколько в первых пяти вагонах вместе. По сколько пассажиров в каждом из последних четырех вагонов, если пассажиров в них поровну?

Переведи условие задачи на математический язык и найди ответ: К числу прибавили 2 и получили 5. Какое это число? Число разделили на 1— и получили 2 . Какое это число? Число вычли из 3 и получили 1. Какое число вычли? 2— умножили на число и получили 3. На какое число умножили? Из некоторого числа вычли и получили 4. Найди это число. 5 разделили на неизвестное число и получили . На какое число делили?

109. Найди множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок:

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Пара чисел а и b, где а - первое число, ab- второе число, называется упорядоченной парой чисел и обозначается (а; Ь). При этом (а, b)= (с, d), если a— с, а b= d. 2) Найди методом перебора все пары (х; у) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:
Прочитай предложения и подставь в них данные значения переменных. Найди предложения, которые при этой подстановке превращаются в высказывания, и из соответствующих им букв составь название месяца. Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь название животного. Квадрат числа bменьше числа с; Квадрат числа а большеДробь В является правильной (р = 6; q= 11); Произведение чисел типделится на число kСумма числа х и утроенного числа у равна (х = 0,4; у = 0,02); Разность кубов чисел cudравна 26 (с = 3; d= 1);

112. Реши уравнения:

113. Найди значения выражений при а = 0,9, Ь = 0,6, с = 0,1 и сравни их. Используя полученный результат, составь предложение с переменными a, bи с, истинное при данных значениях переменных. При каких еще значениях переменных a, Ь и с оно будет истинным? Как это доказать?

114. Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

115. Придумай 3 задачи, решением которых является выражение (а - а: 4): 2

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок. В одной коробке на 5 шаров больше, чем в другой, а произведение числа шаров в обеих коробках равно 24. Сколько шаров в каждой коробке?
Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом перебора. Произведение двух однозначных натуральных чисел на 7 больше их суммы. Найти эти числа.

118. Найди два одинаковых рисунка. Сколько отличий от них ты сможешь найти у каждого из оставшихся рисунков?

119. При делении натурального числа на 8 получился остаток 5. Число увеличили в 2 раза. Каким станет остаток при делении удвоенного числа на 8?

Переведи высказывания на русский язык. Рассмотри различные варианты перевода. Имеет дневник (А - множество учеников); пишет стихи (А - множество учеников); имеет синоним (В - множество слов русского языка); является глаголом (В - множество слов русского языка); множество прямых на плоскости; знак 11 обозначает параллельность прямых); множество точек окружности с центром О);
Запиши утверждения с помощью кванторов существования и общности: У каждой реки есть исток. Есть реки, которые длиннее Нила. Все дельфины живут в воде. Некоторые дети умеют кататься на велосипеде. Диаметры одной окружности равны. Прямые при пересечении могут образовывать прямой угол. Квадрат правильной дроби всегда меньше самой дроби. Куб натурального числа может быть равен самому числу.
Придумай высказывание о существовании и запиши его с помощью квантора 3. Придумай общее высказывание и запиши его с помощью квантора V.
Преобразуй данные предложения с переменными в истинные высказывания, используя кванторы 3 и V. Как еще можно превратить предложения с переменными в высказывания? 1) Число п(п + 1) - простое. 2) Дробь - правильная. 3) Число h- составное. 4) Дробь сократимая.
Запиши, используя квантор общности: переместительное и сочетательное свойства сложения; переместительное и сочетательное свойства умножения; распределительное свойство умножения; правило вычитания числа из суммы; правило вычитания суммы из числа; правило деления числа на произведение; правило деления произведения на число; правила деления суммы и разности на число.

125. Прочитай утверждения и докажи их истинность;

126. Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь слово. Что оно означает? 19 999 кратно 9. Сумма 1400 + 56 кратна 5. 1275 делится на 3 и на 5. Разность 3737-36 не делится на 37. 1275 кратно 15. Произведение - число нечетное. 6 - делитель числа 360 106. Произведение кратно 10. 12 345 678 делится на 18. Сумма делится на 7.
Счет-тест. (В тестах 1 и 2 записываются только ответы.) Тест 1 (2 мин). Тест 2 (2 мин). Тест 3 (3 мин). Тест 4 (5 мин).

129. В число подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось: а) на 18; б) на 30; в) на 45; г) на 36. Укажи все возможные решения.

Построй математическую модель задачи: В детском хоре “Весна” занимаются 148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора? Из пункта А в пункт В едет мотоциклист. Если он увеличит скорость на 4 км/ч, то проедет весь путь за 4,5 ч, а если уменьшит скорость на км/ч, то проедет весь путь за 6 ч. С какой скоростью едет мотоциклист? Оператор должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи. За каждый час он набирал на 3 страницы больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 часа раньше намеченного срока. За сколько времени оператор сделал свою работу, если он работал равномерно? На пароходе 240 пассажиров расселили в одноместные, двухместные и трехместные каюты так, что в каютах не осталось свободных мест. Всего было занято 108 кают, причем одноместных кают было в 2 раза меньше, чем трехместных. Сколько кают каждого вида было на пароходе?

131. Что общего в уравнениях каждой строки, каждого столбца? Упрости запись уравнения, используя свойства арифметических действий, а затем реши его:

132. Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства арифметических действий при этом использовались?

Построй математическую модель задачи и найди ответ: Возраст младшей сестры на 5 лет меньше возраста средней и в 5 раз меньше возраста старшей. Сколько лет каждой сестре, если всем вместе им 19 лет? Сестра на 4 года младше брата и вчетверо младше матери, а брат вчетверо младше отца. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 100 лет?

134. Запиши утверждения, используя кванторы: У всех птиц есть крылья. Рост жирафа может достигать 6 метров. Любой квадрат является прямоугольником. Некоторые прямоугольники являются квадратами. Среди составных чисел есть взаимно простые числа. Все простые числа взаимно просты.

135. Переведи утверждения с математического языка на русский и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных утверждений.

В число подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажи все возможные решения. При каких натуральных значениях а и bзначение выражения 5а + 3b: а) кратно 3; б) кратно 5; в) кратно 15; г) не кратно 3; д) не кратно 5?

137. Реши уравнения:

Построй математическую модель задачи и найди ответ: Сумма трех чисел равна 18. Первое число в 3,5 раза больше второго, а третье - но 4,8 больше второго. Найти эти числа.

139. Вычисли пример

Построй математическую модель задачи: На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий - на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик? Грузчикам надо за определенное время разгрузить 192 ящика. Однако они выполнили работу на 2 ч раньше срока, так как разгружали в час на 8 ящиков больше, чем предполагали. Сколько ящиков в час они разгружали, если работали равномерно?

141. Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Тани братьев?

142. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

143. Прочитай высказывания и построй их отрицания:

144. Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке (R- множество дробей):

145. Придумай и запиши с помощью кванторов: а) общее высказывание; б) высказывание о существовании. Построй отрицание каждого из этих высказываний.

Докажи или опровергни высказывания. Построй отрицания ложных высказываний. Существуют числа, квадрат которых больше их куба. Все трехзначные числа делятся на 3. Элементы множества А = {8, 15, 31, 49), взятые попарно, являются взаимно простыми числами. В множестве В — {345, 505 050, 222 555,15 150} есть числа, не кратные 15. Сумма двух нечетных чисел является четным числом. Сумма двух четных чисел может быть числом нечетным. Натуральные решения неравенства 7 < х < 12 - составные числа. Среди решений неравенства 20 - За: > 4 есть числа, большие 5.

147. Пусть А(х) - некоторое предложение. Преобразуй его с помощью кванторов общности и существования в высказывание. Построй отрицание получившихся высказываний, используя вместо символа ~A(х) символ А(х).

148. Счет-тест. Тест 1 (3 мин). Тест 2 (4 мин).

Реши задачу методом перебора. Укажи все возможные решения. Сумма цифр двузначного числа равна 12, а произведение 35. Чему равно число? Сумма цифр двузначного числа равна 11, а произведение 24. Чему равно число? Найти трехзначное число, сумма цифр и произведение цифр которого равны 6. Найти четырехзначное число, сумма цифр которого равна 2, а произведение 0.
Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора. Укажи все возможные решения. Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц. Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36. Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза. Найти все трехзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

151. Реши уравнения, используя правило “весов”:

Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил: “Если к половине моих лет прибавить 4, то узнаешь мой возраст 14 лет назад”. Сколько лет отцу? Таня купила альбом, заплатив за него 2-рублевыми монетами. Если бы она заплатила за него 5-рублевыми монетами, то монет было бы на 12 меньше. Сколько стоил альбом?
Начерти координатный угол и построй в нем прямоугольник ABCDпо координатам его вершин: А(2; 3), В(2; 7), С(8; 7), D(8; 3). Задай с помощью двойных неравенств: а) множество абсцисс всех точек прямоугольника; б) множество ординат всех точек прямоугольника.

154. Точки А(а; 0) и Б(0; Ь) принадлежат координатному углу. Докажи, что треугольник АОВ является прямоугольным.

155. Площадь прямоугольника равна 10 см. Длина одной его стороны равна а см, а длина второй стороны - bсм. Запиши формулу, выражающую зависимость bот а. Составь таблицу и построй график этой зависимости при 1 < а < 10.

Запиши данную программу действий в виде числового выражения и найди его значение: Возвести 1 — в куб. Из полученного числа вычесть 1. Разность разделить на 4. Разделить на 10 . Результат 4-го действия умножить на 1. Из результата 3-го действия вычесть результат 5-го действия.

157. Прочитай высказывания и построй их отрицания:

Переведи высказывания на математический язык и построй их отрицания: Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению. Квадрат числа не может быть равен 0,01. Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью. Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

159. Реши уравнения: 1) 2х + 7 = 5 х - 26;

160. В первой коробке в 2 раза больше карандашей, чем во второй. После того как из первой коробки взяли 5 карандашей, а во вторую положили 3, то карандашей в обеих коробках стало поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?

Реши задачи методом перебора. Укажи все возможные решения. Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение - 36. Чему равно число? Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число? Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза.
1) Построй четырехугольник ABCD,если Л(0; 2), В(2; 6), С(8; 8), D(6;4). Найди координаты точки пересечения его диагоналей. Измерь стороны и углы четырехугольника ABCD.Что ты замечаешь? Найди еще как можно больше свойств этого четырехугольника.

163. Составь программу действий и вычисли:

164. Выполни действия и проверь правильность вычислений, используя числовой квадрат (каждая из цифр квадрата принадлежит ответу только одного примера): 394,42 : 16,4; 72,54-3,568; 139,7 + 80,324; 425,736:60,75; 5,036 • 9,05.

Задача “Эпидемия гриппа”. Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?

166. При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Какие числа он складывал?

Задачи для самопроверки. Построй отрицания высказываний: Число 1 - простое. Сумма 38*15 + 27 кратна 9. Квадрат натурального числа может быть меньше 1. Все простые числа - нечетные. Любое число отлично от своего квадрата. Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности.

168. Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

Запиши предложения с переменными на математическом языке. Установи их истинность или ложность для данных значений переменных. Квадрат суммы чисел а и Ь равен 34 (а = 5, Ь = 3). Разность кубов чисел cudравна 7 (с = 2, d= 1).

170. Вычисли:

171. Из прямоугольника со сторонами а и bвырезали 4 равных квадрата со стороной с, как показано на рисунке. Составь выражения для вычисления площади и периметра получившейся фигуры. Найди их значения при a= 10 м, b= 6 м и с = 1,5 м.

172. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм, ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда. Какую часть объем этого параллелепипеда составляет от объема куба с ребром 3 дм?

173. Реши уравнения:

Сумма цифр трехзначного числа равна 9, а произведение равно 15. Чему равно это число? После того как цифры двузначного числа поменяли местами, оно увеличилось на 54. Какое это число?
Переведи условие задачи на математический язык: Путь от А до В велосипедист проехал за 5 ч, а мотоциклист - за 2 ч. Скорость мотоциклиста на 23,4 км/ч больше скорости велосипедиста. Чему равно расстояние от А до В?
При каком условии обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? А конечную десятичную в обыкновенную? 2) Выбери дроби, которые можно перевести в конечные десятичные, и расшифруй слово:

177. Выполни действия, переходя к десятичным дробям:

178. Выполни действия, переходя к обыкновенным дробям:

179. Выполни действия, представляя числа в наиболее удобном для вычисления виде:

180. Найди значения дробей:

181. Выполни действия:

182. Выполни действия:

183. Выполни действия:

184. Выполни действия:

185. Найди 40% от числа:

186. Найди число, 25% которого составляют:

187. Найди правило, по которому расположены фигуры, и нарисуй недостающую фигуру:

1) Запиши в виде десятичных дробей данные обыкновенные дроби: Представь в виде обыкновенной несократимой дроби:
Мальчик, наблюдая грозу, увидел, как блеснула молния, и через 15 с услышал удар грома. На каком расстоянии от него происходила гроза, если скорость звука в воздухе равна 0,33 км/с? Автобус выходит из Москвы в 9 ч 45 мин и приезжает в пункт назначения в 12 ч 5 мин. Скорость автобуса 54 км/ч. Чему равна длина маршрута автобуса? На каком расстоянии от пункта назначения по расписанию находится автобус в 11 ч 20 мин?
Поезд из 10 вагонов прошел мимо наблюдателя за 8 с. Чему равна скорость поезда, если длина вагона 16 м? Кондуктор пассажирского поезда заметил, что встречный товарный поезд прошел мимо него за 9 с. Чему равна длина товарного поезда, если он следует со скоростью 56 км/ч, а скорость пассажирского поезда равна 84 км/ч?
1) Расстояние между деревней и станцией девочка проходит за — ч, а ее отец - за 0,25 ч. Скорость девочки меньше скорости отца на 2,4 км/ч. На каком расстоянии от деревни находится станция? 2) Расстояние от дома до дачи Иван Иванович обычно проезжает за 1 ч 20 мин. Но из-за погодных условий он уменьшил свою скорость на 10 км/ч и поэтому доехал до дачи за полтора часа. На каком расстоянии от дома Ивана Ивановича находится его дача?
1) Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли — всего пути, во второй — оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера? 2) Лыжник прошел маршрут длиной 103 км за 4 дня. Во второй день он прошел 120% пути, пройденного в первый день, в третий день - — пути, который он прошел во второй день, а в четвертый день - оставшиеся 28 км. Сколько километров проходил лыжник в каждый из первых трех дней?
1) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый пешеход прошел всего пути и еще 3,2 км, а второй - в 2 раза больше первого. Чему равно расстояние от А до В? 2) Мастер и ученик должны были сделать некоторое количество деталей. По окончании работы оказалось, что мастер выполнил всего задания и еще 8 деталей, а ученик - 0,25 того, что выполнил мастер. Сколько всего деталей сделали ученик и мастер?

194. Найди по рисункам скорости сближения и скорости удаления пешеходов. Как и на сколько изменится расстояние между ними через 2 ч? Чему оно станет равно? В каком случае и через сколько времени после начала движения произойдет встреча? (d. - расстояние между пешеходами через 2 ч после выхода.)

1) Из двух городов, расстояние между которыми 400,4 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля равна 82,5 км/ч, а скорость автобуса составляет от скорости автомобиля. Какое расстояние проедет автобус до его встречи с автомобилем? 2) Два лыжника, находясь друг от друга на расстоянии 6 км, вышли одновременно навстречу друг другу и через 15 мин встретились. Когда же они вышли из одного пункта в одном направлении, то через 50 мин один отстал от другого на 5 км. Чему равна скорость каждого лыжника?
Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения. Из двух городов, расстояние между которыми равно 490 км, выехали одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 3,5 ч. Скорость первого поезда была на 12 км/ч больше скорости второго. С какой скоростью шли поезда? Из двух городов, расстояние между которыми равно 490 км, выехали навстречу друг другу два поезда и встретились через 3,5 ч после выхода второго поезда. С какой скоростью они шли, если первый поезд, скорость которого была на 12 км/ч меньше скорости второго, вышел на час раньше второго? Из двух городов, расстояние между которыми равно 490 км, выехали одновременно в одном направлении два поезда. Первый поезд догнал второй через 10 ч после выхода. С какой скоростью они шли, если скорость первого в 1,7 раза больше скорости второго?

197. Составь по схемам задачи и найди неизвестные величины (d- расстояние между объектами через tч после выхода):

Из двух сел одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 19,5 км/ч, а скорость второго составляет — скорости первого. Чему равно расстояние между селами, если велосипедисты встретились через 48 мин? На каком расстоянии друг от друга они были через 0,5 ч после выезда? Через полтора часа? Города А и В расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Первый автобус двигался со скоростью 54 км/ч, что составляет 60% скорости второго автобуса. Второй автобус догнал первый через 1 ч 30 мин после выезда. Чему равно расстояние между городами А и В? На каком расстоянии друг от друга были автобусы через 24 мин после выезда? Через 2 ч после выезда?
1) Из двух сел одновременно в противоположных направлениях отплыли два катера. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости второго. С какой скоростью плыл каждый катер, если через 2 ч 15 мин расстояние между ними увеличилось на 138 км? 2) Из двух городов, расстояние между которыми 480 км, одновременно в одном направлении выехал поезд и вылетел самолет. Самолет пролетел над поездом через 40 мин после вылета. С какой скоростью двигались поезд и самолет, если скорость поезда была в 9 раз меньше скорости самолета?
Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, удаленных друг от друга на sкм. Скорость поездов равна соответственно и, км/ч и v₂км/ч. Пусть dкм - расстояние между ними через tч после выезда. Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния dот величин s, v_t, и₂ и t.
Чем похожи и чем отличаются задачи? Реши их и сопоставь решения. Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 264 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Через l ч расстояние между ними стало равно 564 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно в одном направлении выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 324 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали?
1) Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить всю работу за 3 ч, а один мастер сделает ее за 4 ч. За сколько времени может сделать всю работу один ученик? 2) К бассейну подведены 3 трубы. Первая труба одна может наполнить весь бассейн за 2 ч, вторая труба - за 4 ч, а третья - за 12 ч. За сколько времени смогут наполнить пустой бассейн все три трубы, если их включить одновременно?
1) Первый насос может выкачать воду из котлована за 36 ч, а второй - за 48 ч. Сначала в течение 12 ч работал один первый насос, после чего работу закончил второй. За сколько времени была выкачана вся вода? Двум операторам было поручено набрать на компьютере рукопись. Работая вместе, они могут выполнить весь заказ за 2,4 ч. Однако вместе операторы проработали лишь 2 ч, после чего работу заканчивал один из них. За сколько времени был выполнен заказ, если оператор, ушедший раньше, работая один, может выполнить его полностью за 4 ч?

204. Выполни действия и расшифруй фамилию известного исторического деятеля. Что ты о нем знаешь?

205. Вычисли:

206. Вычисли:

207. Найди 75% от числа:

208. Найди число, 20% которого составляют:

При испытании авиамоделей одна из них развила скорость 4,5 м/с и продержалась в воздухе 1,8 мин. Скорость второй была на 1 м/с больше скорости первой, но время ее полета составило — времени полета первой. Сравни дальности полета этих авиамоделей.

210. Велосипедист проехал путь от поселка до районного центра за 1 ч 30 мин. На обратном пути он увеличил скорость и поэтому весь путь проехал за 1 ч 15 мин. Во сколько раз скорость велосипедиста на обратном пути была больше первоначальной?

Учебный автомобиль, в котором находились преподаватель и трое учеников, выехал в тренировочную поездку. Преподаватель проехал всего маршрута и еще 5 км, два ученика-по маршрута, а третий ученик-остальные 105 км. Чему равна длина всего маршрута?
Задача-шутка. На День города изготовили гигантскую сосиску длиной 12 м. Две таксы начали есть ее одновременно с обоих концов. Первая такса съедает 9 см сосиски в секунду, а вторая - 6 см в секунду. Сколько метров сосиски останется через минуту? Через сколько времени таксы съедят всю сосиску? Сколько метров сосиски съест при этом каждая такса?
Велосипедист отъехал от станции в тот момент, когда пешеход отошел от нее в том же направлении на 1,6 км, и через 15 мин велосипедист догнал пешехода. С какой скоростью шел пешеход, если велосипедист ехал в 2 раза быстрее?
Из двух городов, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них проходил в час на — км больше другого. С какой скоростью шел каждый из них, если через 1,2 ч после выхода им оставалось пройти до встречи 6 км?

215. Придумай задачи по схемам и реши их:

1) Бассейн при одновременном включении трех труб может наполниться за 4 ч, через одну первую трубу - за 10 ч, а через одну вторую - за 15 ч. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу? Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

217. Найди лишнее слово и объясни, почему оно лишнее. Если возможно, укажи несколько вариантов решения. [1] КАПИТАН, ФЕНОМЕН, ОГОРОД, РАБОТА, ОПЕРАТОР; [1] ОДОКРИЛК, КРОЧЕВС, ШАРКААДН, ААЛИНТПО, УУИГРЕК.

Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел. Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

219. Два путника вышли одновременно - один из А в В, а другой из В в А. Шли они равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 ч, а второму -9 ч. Через сколько часов после выхода они встретились?

220. Три клоуна, Бим, Бом и Бам, вышли на арену цирка соответственно в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли также были трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

1) Мальчик сделал игрушечный парусник и пустил его по ручью. Парусник проплыл за 15 мин расстояние, равное 300 м. Найди скорость, с которой течет ручей, и вырази ее в километрах в час. 2) Скорость течения реки 2,4 км/ч. За сколько времени по этой реке проплывет плот расстояние, равное 10,2 км?

222. Скорость движения парохода по озеру aкм/ч, а скорость течения реки bкм/ч. С какой скоростью будет двигаться пароход: 1) по течению; 2) против течения? Составь выражение и найди его значение при а = 36,4 км/ч, b= 1,6 км/ч.

Катер плывет вниз по течению реки. С какой скоростью он плывет, если его собственная скорость 14,8 км/ч, а скорость течения реки 40 м/мин? Ответ вырази в километрах в час.

Скорость катера против течения реки равна 280 м/мин, а скорость течения 2,7 км/ч. Чему равна собственная скорость катера и его скорость по течению? Ответ вырази в километрах в час.

Лодка отплыла от пристани по реке, которая течет со скоростью 3,2 км/ч. Будет ли перемещаться лодка относительно берега, в какую сторону и с какой скоростью, если она поплывет: по течению со скоростью 4,5 км/ч; против течения со скоростью 4,5 км/ч; против течения со скоростью 3,2 км/ч; против течения со скоростью 2,5 км/ч?
Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч, а его скорость по течению реки - 35 км/ч. С какой скоростью течет река? Чему равна скорость теплохода против течения реки? Какое расстояние проплывет теплоход, если будет двигаться 2,6 ч по течению реки и 0,8 ч против течения? Собственная скорость катера равна 14,7 км/ч, а его скорость против течения реки - 10,2 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер, плывя 2 ч по течению реки и 4,5 ч против течения?

226. Расстояние между двумя причалами равно 16,8 км. За сколько времени моторная лодка проплывет путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 11,2 км/ч, а скорость течения реки составляет 25% скорости лодки?

227. Используя обозначения, приведенные в тексте учебника, определи, какая скорость получится, если выполнить следующие действия:

228. Пароход плывет по течению реки со скоростью х км/ч, а против течения - со скоростью у км/ч. Какова собственная скорость парохода и скорость течения реки? Составь выражение и найди его значение, если: 1) х = 42,6 км/ч, у — 34,2 км/ч; 2) х = 35,6 км/ч, у = 28 км/ч.

Лодка шла по течению реки со скоростью 10,5 км/ч, а против течения - 6,7 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки. Катер прошел 48,6 км по течению реки за 3 ч и 52,2 км против течения реки за 4,5 ч. За сколько времени он проплывет по озеру 55,6 км, если собственная скорость катера не изменится?
Реши задачи и определи, какие данные в их условии лишние: Лодка плывет по течению реки. Ее догоняет катер. Собственная скорость лодки 8,2 км/ч, а собственная скорость катера 15,8 км/ч. Сейчас между катером и лодкой расстояние 5,7 км. Через сколько времени катер догонит лодку, если скорость течения реки 3,5 км/ч? Два теплохода движутся по реке навстречу друг другу. Первый теплоход имеет собственную скорость 25,6 км/ч и плывет по течению реки, а второй - собственную скорость 32 км/ч и плывет против течения реки. Сейчас между теплоходами 144 км. Какое расстояние будет между ними через 0,5 ч? Через сколько времени произойдет встреча?
Катер проплывает одно и то же расстояние по озеру за 7 ч, а по течению реки за 6 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние? Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь: а) по течению реки; б) против течения реки?
Из пункта А в пункт В по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта В в пунктА вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошел все расстояние между А и В за 6 ч, а плот - за 30 ч? Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через 4 ч после выхода, а еще через 20 мин прибыл в пункт А. Сколько времени плыл плот из А в Б?
Реши задачи и определи, есть ли в них лишние данные: Собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки. Найти скорость теплохода против течения, если, двигаясь по течению, он прошел 42 км за 1 ч 15 мин. Скорость моторной лодки против течения в 4 раза больше скорости течения реки. Какое расстояние пройдет лодка за 2 ч 48 мин, двигаясь по течению, если по озеру она проплывает за то же время 49 км?

234. Попробуй решить примеры каждого блока не более чем за 2 мин. (Пиши только ответы.) Если не уложишься в отведенное время, попробуй повторить еще раз дома.

Составь выражение и найди его значение: Утроенное произведение числа 4,8 и квадрата числа. Частное куба числа 0,2 и разности чисел 0,64 и. Квадрат суммы чисел и 0,3. Сумма квадратов чисел

236. Известно, что 0,5. Поэтому для того, чтобы умножить число, например, на 0,125, можно разделить его на 8. Используя этот прием, найди произведения:

237. Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее (значения всех переменных отличны от нуля):

238. Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

239. Вырази из данного равенства переменную х, если значения всех переменных не равны нулю:

240. Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке. Установи закономерность в полученном ряде чисел. Построй угол, равный половине угла, продолжающего эту закономерность.

Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28" и 90". Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений?
[1]) Построй два смежных угла так, чтобы один из них: а) был на 70" больше второго; б) был в 4 раза меньше второго; в) был равен второму. 2) Построй треугольник АВС так, чтобы ZА = 34°, aZВ = 42°. Сколько еще можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?
Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств: х > 4 и 3 < х < 7;
Найди пересечение множества А = {3; 30; 1,8; 5; 2,01; 3,56; 2; 0: 124; 6; 4,89} с множеством решений неравенства:

245. Плот плывет по реке со скоростью 2,4 км/ч. За сколько времени катер проплывет по течению этой реки 123,2 км и вернется обратно, если известно, что скорость плота составляет 12% от собственной скорости катера?

246. Моторная лодка прошла 90 км по течению реки за 6 ч, а против течения реки - за 10 ч. За сколько времени проплывет это же расстояние: а) плот по реке; б) моторная лодка по озеру?

247. Лодка может пройти расстояние между двумя поселками, стоящими на берегу реки, за 4 ч 20 мин против течения реки и за 2 ч 10 мин но течению. Скорость течения реки равна 1,5 км/ч. Найди собственную скорость лодки и расстояние между поселками.

248. Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее, если значения всех переменных отличны от нуля:

249. Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар натуральных чисел а и Ь, удовлетворяющих уравнению:

1) Начерти квадрат со стороной 9 см и заполни его паркетом по образцу. Раскрась получившийся рисунок так, чтобы было красиво. Придумай свой рисунок паркета. Заполни им такой же квадрат и раскрась.

251. Построй два смежных угла так, чтобы один из них: 1) был на 20° меньше второго; 2) был в 3 раза больше второго.

252. Построй треугольник АВС так, чтобы ZА = 56” и АВ = 4 см. Сколько еще можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

253. Вычисли и определи, какую часть полученное число составляет от 4. Вырази эту часть в процентах.

254. Старинная задача. Два почтальона Л и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. Почтальон А проезжает за 2 часа 7 миль, а почтальон В - за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Сколько миль проедет почтальон В до встречи с почтальоном А

255. Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута. Их номера - трехзначные числа, причем все они - точные квадраты. Более того, они записываются одними и теми же цифрами. Какие номера у автобусов?

256. Таня в 6 раз моложе своего прадедушки. Кроме того, она заметила, что если между цифрами ее возраста поставить ноль, то как раз получится возраст прадедушки. Сколько ей лет?

1) Найди среднее арифметическое чисел 2 и 8. Изобрази эти числа и их среднее арифметическое на числовой прямой. Что ты замечаешь? Изобрази на числовой прямой два произвольных числа и их среднее арифметическое. Сравни полученный результат с результатом предыдущего задания. Сформулируй гипотезу.

258. Найди среднее арифметическое чисел:

259. Отметь на координатном луче произвольные числа х и у. Затем выполни необходимые измерения и изобрази на этой прямой среднее арифметическое чисел х и у.

Найди среднее арифметическое чисел: 1,5 и 2; 7 и 4,1;
Найди сумму: а) двух чисел, если их среднее арифметическое равно 4,5; б) трех чисел, если их среднее арифметическое равно 1; в) пяти чисел, если их среднее арифметическое равно 0,28; г) восьми чисел, если их среднее арифметическое равно 10.
В волейбольной секции школы занимается 24 человека. Их средний возраст 15,5 лет. После того как в секцию записался новый игрок, средний возраст ее участников стал 15,4 лет. Сколько лет новому игроку? В 5 “А” классе 30 учащихся. Их средний возраст 10 лет, а вместе с учителем математики их средний возраст 11 лет. Сколько лет учителю математики?
[1]Чему равна средняя температура воздуха в полдень в первую неделю мая, если термометр показывал в эти дни 4", 6", 10°, 12°, 16°, 18°, 10°? Ответ округли с точностью до целых. На городских соревнованиях по фигурному катанию одной из участниц, чтобы попасть в десятку сильнейших, требовалось набрать в произвольных упражнениях не менее 5,4 балла. Судьи ей выставили оценки: 5,2; 5,6; 5,4; 5,5; 5,3; 5,4; 5,6; 5,6. Справилась ли фигуристка со своей задачей?
Ихтиолог проводит измерение веса рыбы горбуша в реке Камчатка. Пробный улов показал, что среди выловленных рыб 4 горбуши весят по 1,2 кг, 5 горбуш - по 1,4 кг, еще 5 горбуш - по 1,6 кг и остальные 6 горбуш - по 1,7 кг. Чему равен средний вес пойманных рыб? Смешали 2 кг конфет по цене 142,6 р. за килограмм и 3 кг конфет по цене 189,6 р. за килограмм. Сколько стоит 1 кг ассорти?

265. Для проверки всхожести семян нового сорта цветов посадили 5 сотен семян. Из первой сотни взошло 95 семян, из второй - 84, из третьей - 72, из четвертой - 78, а из пятой - 86. Сколько в среднем взошло семян на одну сотню?

Лыжная трасса 2,4 км идет на подъем, 3,2 км - на спуск, а остальные 5,2 км - по равнине. Лыжник прошел эту трассу за 40 мин. С какой средней скоростью он шел? Расстояние от дома до дачи 75,6 км. По пути от дома до дачи отец с сыном ехали на автомобиле сначала по шоссе в течение 0,8 ч, затем по грунтовой дороге 0,4 ч и, наконец, по проселочной дороге 0,2 ч. С какой средней скоростью они ехали?
Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определи среднюю скорость велосипедиста. Геологи шли 1,5 ч со скоростью 5,8 км/ч, следующие 3,2 ч - со скоростью 4,5 км/ч и последние 0,3 ч - со скоростью 3 км/ч. С какой средней скоростью прошли геологи весь маршрут?
1) Фермер имеет 3 делянки с картофелем площадью соответственно 10 а, 20 а и 30 а. С первой делянки он собрал урожай 17,4 ц, со второй - 30 ц, а с третьей - 46,8 ц. Определи урожайность картофеля на каждой из делянок и среднюю урожайность всего картофельного поля. 2) Колхоз засеял пшеницей два поля. Площадь первого поля 75 га, а площадь второго поля на 50 га меньше. С первого поля собрали урожай 2580 ц, а со второго -720 ц. На сколько урожайность первого поля была выше, чем второго? Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом колхозе?
1) Среднее арифметическое двух чисел равно 8,2, а одно из них равно 4,5. Найди второе число. Среднее арифметическое двух чисел равно 21,8, причем одно из них на 6,8 больше другого. Найди эти числа. Первое число в 5 раз меньше второго, а их среднее арифметическое равно 12,6. На сколько второе число больше первого? Среднее арифметическое трех чисел равно 10,4. Первое число равно 9,6, а второе в 2 раза больше третьего. Найди эти числа. Какую часть меньшее число составляет от 9,6? Вырази эту часть в процентах.

270. Докажи или опровергни высказывания: 1) Среднее арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них. 2) Среднее арифметическое трех последовательных натуральных чисел равно второму числу. Среднее арифметическое двух четных чисел есть число четное. Среднее арифметическое двух нечетных чисел есть число нечетное.

271. Реши круговые примеры, начиная с первого (ответ каждого примера - первое число в следующем примере), и прочитай девиз, которым руководствуются многие люди. А у тебя есть свой девиз?

1) Построй координатный луч (е = 3 см) и отметь на нем точки А (1), В (2), С (2), D(3,5). На каком расстоянии от начала отсчета они находятся? Найди длины отрезков АВ, АС, AD, ВС, BD, CD. 2) На координатном луче отмечены точки А (а) и В (b), где Ь> а. На каком расстоянии от начала отсчета они находятся? Найди длину отрезка АВ и координату середины этого отрезка - точки М.
Какие остатки могут получаться при делении натурального числа на 5? Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа?
Число при делении на 8 дает остаток 5. Каким будет остаток при делении этого числа на 4? При делении числа на 15 в остатке получается 11. Каким будет остаток при делении этого числа на 3? При делении на 7 одно из чисел дает остаток 4, а другое - 3. Каким будет остаток при делении на 7 суммы этих двух чисел? При делении на 9 одно из трех чисел дает остаток 5, второе - 6, а третье - 2. Каким будет остаток при делении на 9 их суммы?
Докажи высказывания: Сумма числа 219 и любого числа, которое при делении на 14 дает остаток 3, является четным числом. Сумма числа 49 и любого числа, которое при делении на 6 дает остаток 5, кратна шести.

276. Вставь вместо звездочек пропущенные числа и сделай проверку:

Построй отрицание высказываний: Существует треугольник с двумя тупыми углами. Все окружности имеют равные радиусы. Хорда окружности может быть больше ее диаметра. Каждый параллелограмм является прямоугольником. Некоторые параллельные плоскости перпендикулярны.

278. Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

279. Реши уравнения:

Пешеход вышел в 8 ч утра из села на станцию, удаленную от села на расстояние 15 км, со скоростью 3 км/ч. Через 1,5 ч из того же села по тому же маршруту вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку, а затем продолжил путь с прежней скоростью. Построй график движения пешеходов и определи по графику: В котором часу второй пешеход догнал первого? Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин? В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

281. В таблице представлены значения переменной у при указанных значениях переменной х. Запиши зависимость у от х с помощью формулы. Построй график этой зависимости, если 0 < д: <6.

1) Прочитай определения и назови определяемые понятия: Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием. 2) Какие из треугольников на рисунке являются равнобедренными? Назови их основания и боковые стороны. Построй в координатном углу треугольник АВС, если А (9; 0), В (0; 6), С (15; 9). Докажи, что треугольник АВС - равнобедренный. Какие стороны этого треугольника являются боковыми сторонами, а какая сторона - основанием? Построй произвольный равнобедренный треугольник. Соедини середину основания с противоположной вершиной. Измерь углы получившихся треугольников. Повтори эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Можно ли считать доказательством твоей гипотезы выполненные построения и измерения?

283. Найди среднее арифметическое чисел:

284. В одной из игр КВН команда “Верные друзья” получила за домашнее задание оценки 5; 6; 4; 5; 6, а их соперники, команда “Гусары”, за это же задание получила оценки 4; 5; 7; 5; 4. Какая из команд лучше справилась с домашним заданием? Какая команда победила в этой игре, если конкурс “Домашнее задание” был последним, а перед его проведением у команды “Верные друзья” было 26,7 балла, а у команды “Гусары” - 26,8 балла?

Найди сумму четырех чисел, если их среднее арифметическое равноСредняя температура воздуха за неделю равна 18,6°, а за шесть дней без воскресенья - 18,4°. Какой была температура воздуха в воскресенье?

286. В классе самостоятельную работу по математике 8 учеников написали на пять, 12 учеников - на четыре, 4 ученика - на три и 1 ученик - на два. Вычисли средний балл класса за эту самостоятельную работу.

287. Самолет летел 1,2 ч со скоростью 840 км/ч, а в следующие 0,6 ч из-за встречного ветра его скорость снизилась до 780 км/ч. С какой средней скоростью он пролетел этот путь?

1) Пасечник собрал со своих 24 ульев в период цветения липы а кг меда, в период цветения гречихи - Ь кг меда, а в период цветения клевера - с кг меда. Сколько килограммов меда с одного улья в среднем собрал пасечник за этот период? 2) Колхоз засеял овсом два поля. Площадь одного ноля 32 га, а площадь второго поля 48 га. С первого поля собрали д: ц овса, а со второго — у ц. Чему равна урожайность каждого из полей? Чему равна средняя урожайность овса в этом колхозе?
Среднее арифметическое трех чисел равно 25,6. Одно из этих чисел равно 32,8, а второе - 21,4. Найти третье число. Среднее арифметическое четырех чисел равно 2,5. Второе из этих чисел в 2 раза больше первого, третье - в 3 раза больше первого, а четвертое - в 4 раза больше первого. Найти эти числа.

290. На координатном луче отмечены числа 1 и г. Перерисуй чертеж в тетрадь и отметь с помощью циркуля на этом луче число

291. При делении некоторого числа на 12 в остатке получилось 11. Каким будет остаток при делении этого числа: а) но 6; б) на 3; в) на 4; г) на 2?

292. Реши примеры:

293. Сколько изображено на рисунке: а) квадратов; б) треугольников?

294. Может ли число а² + Ь² + с² делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел а, Ъ и с не делится на 5?

Некоторые числа можно связать с геометрическими фигурами. Рассмотри рисунки и продолжи последовательности треугольных и квадратных чисел. Найди сотые члены последовательностей этих чисел. а) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, ... б) Квадратные числа: 1, 4, 9
Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошел весь путь со средней скоростью 50 км/ч. На обратном пути его средняя скорость составила только 40 км/ч. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново - Москва - Иваново? Сравни ее со средним арифметическим скоростей по дороге “туда” и “обратно”. (Указание: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь.) Реши эту же задачу для “буквенных” скоростей о, и v_rПолученное выражение называют средним гармоническим чисел о, и v₂.Придумай определение среднего гармонического трех, четырех и вообще любого количества чисел. В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

300. Катер прошел против течения реки 21,6 км за 1,2 ч, а по течению реки за то же время - расстояние на 4,8 км большее. Чему равна собственная скорость катера и скорость течения реки?

301. Слесарь получил в январе зарплату 18 350 р., в феврале - 18 470 р., а в марте-18 500 р. Он узнал, что на соседнем предприятии средний заработок слесаря за этот же период составил 18 460 р. На каком предприятии зарплата слесаря выше?

302. Пароход плыл 1,5 ч по реке со скоростью 36,4 км/ч, а затем еще 0,5 ч по озеру со скоростью 33,6 км/ч. С какой средней скоростью он плыл?

303. Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 385 км. Скорость первого поезда в 1,2 раза больше скорости второго поезда. Какое расстояние прошел первый поезд до его встречи со вторым?

304. По лыжной трассе в одном направлении идут два лыжника. Сейчас расстояние между ними 2,4 км. Скорость лыжника, идущего впереди, равна 9,6 км/ч, а скорость лыжника, идущего сзади, - 13,2 км/ч. Через сколько времени второй лыжник догонит первого?

305. Из одного и того же города одновременно в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста в 3 раза меньше скорости мотоциклиста. С какими скоростями они едут, если через 1 ч 20 мин после выезда расстояние между ними стало 96 км?

К бассейну подведены 2 трубы. Через первую трубу бассейн может наполниться за 9 ч, а через две трубы, открытые одновременно, - за 3 ч 36 мин. За сколько времени наполнится пустой бассейн через одну вторую трубу?

307. При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов в 2 раза больше другого. Найди величины всех образовавшихся углов и построй их.

Найди 1% от: а) 340 р.; б) 1 км; в) 0,3 л; г) 6 га; д) 200 г; е) 6 тыс. жителей; ж) 0,12 р.; з) 700 овец.
Найди величину, если ее 1% составляет: а) 1 см; б) 7 м²; в) 5,6 р.; г) 12 с; д) 45 г; е) 1800 книг; ж) 0,9 л; з) 2,4 кг.
Верно ли, что: а) 1 см составляет 1% от 1 м; б) 1 г составляет 1% от 1 кг; в) 1 а составляет 1% от 1 га; г) 1 л составляет 1% от 1 м³; д) 245 человек составляют больше 1% от 10 тыс. человек; е) 245 человек составляют больше 1% от 40 тыс. человек; ж) 3,3 млн. р. больше 3 млн. р. менее чем на 1%; з) масса 990 г меньше 1 кг не более чем на 1% ?
Объясни смысл предложений и построй их графическую модель: а) В воздухе содержится 21% кислорода. б) Цена на компьютеры снизилась на 10%. в) Премия рабочего составила 30% его зарплаты. г) Бригада выполнила план на 150% . д) Бригада перевыполнила план на 150%. е) Себестоимость товара равна 75% его продажной цены.
Построй графическую модель высказываний, изобразив в обоих случаях продажную цену товара отрезком в 20 клеток. “Доход составляет 25% продажной цены товара”. “Доход составляет 25% себестоимости товара”. В каком случае доход составляет большую величину?

313. Какую часть числа составляют 5%, 10%, 20%, 25%, 40%, 50%, 60%, 75%, 80% ? Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу:

Замени проценты числами, выражающими части величин: а) 2%; 6%; 56%; 90%; б) 1,7%; 0,8%; 0,03%; 104,5%; в) |%;1|%;33|%; 661%; г) 150%; 200%; 450%; 800%.
Вырази в процентах части величин: а) 0,04; 0,32; 0,1; 0,7; б) 0,005; 0,063; 1,058; 2,004;
Округли десятичную дробь до сотых, а затем вырази в процентах соответствующую ей часть величины: а) 0,715; б) 0,3961; в) 1,004; г) 0,0959595.

317. Укажи примерно с точностью до десятых, сколько процентов составляет: а) треть всех жителей города; б) шестая часть учеников класса; в) девятая часть денежного вклада; г) двенадцатая часть семейного бюджета?

Один ученик сказал: “Одна треть всех учащихся школы - это 30% всех учащихся школы”. Прав ли он? На совете акционеров говорилось: “Две трети планируемых инвестиций направлены в производство, значит, на социальную сферу остается 30%”. Согласен ли ты с этим утверждением?

319. Расшифруй название европейского государства, подобрав указанные доли величины. Вырази в процентах, какую примерно часть площади Москвы оно составляет и какую часть населения Москвы составляет его население. (Необходимые числовые данные узнай в энциклопедии.)

На сколько процентов изменилась величина, если она: а) увеличилась в 1,5 раза; г) уменьшилась в 5 раз; б) уменьшилась в 1,5 раза; д) увеличилась в 10 раз; в) увеличилась в 5 раз; е) уменьшилась в 10 раз?

321. Найди группы равносильных утверждений и составь для каждой группы буквенный код: расходы уменьшились наполовину; расходы уменьшились вдвое; расходы уменьшились в 1,5 раза; расходы уменьшились на 50%;расходы уменьшились на треть; расходы уменьшились на 33%; расходы увеличились наполовину; расходы увеличились вдвое; расходы увеличились на 100%; расходы увеличились на 50%; расходы увеличились в 1,5 раза; расходы удвоились.

К одной части сахара прибавили 4 части воды. Чему равна концентрация полученного раствора? Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг.)

323. Три человека организовали предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других - по 20% прибыли, а оставшиеся деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия? Запиши ответ, используя обыкновенные и десятичные дроби (с точностью до десятых).

Выплачена ли вся сумма, если: а) в первый раз выплачено 75% всей суммы, а во второй - 20% всей суммы; б) в первый раз выплачено 75% всей суммы, а во второй - 25% остатка? Сделай чертеж. В каком случае выплачено больше?

325. В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 80% остальных - автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше - городских или междугородного класса?

В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков? В первом квартале доля продажи товаров отечественных производителей увеличилась с 20% до 25%, а во втором - с 25% до 30%. В каком квартале процент увеличения был больше? (Процент увеличения - это отношение прироста в процентах к первоначальной доле в процентах.)

327. Согласно статистике, в городе Nежедневно 60% жителей пользуются метрополитеном, 30% - наземным общественным транспортом и 10% каждый день ездят на личных автомобилях. Можно ли утверждать, что все жители города ежедневно пользуются каким-либо видом транспорта?

328. Фонд общественного мнения города Nопубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов: Можно ли на основании этих данных утверждать, что: хотя бы один житель города Nсмотрит оба телесериала; хотя бы один житель города Nсмотрит дважды в день телесериал “Петербургские тайны”; хотя бы один житель города Nсмотрит дважды в день телесериал “Возвращение Мухтара”; телесериал “Возвращение Мухтара” смотрит меньшее число жителей города N; телесериал “Петербургские тайны” смотрит большее число жителей города N? Какие еще выводы позволяют сделать приведенные данные?

329. Запиши в виде несократимой дроби часть, которую: а) 45 составляет от 72; б) 56 составляет от 224; в) 126 составляет от 198; г) 330 составляет от 495; д) 108 составляет от 1440; е) 135 составляет от 2400. Какие из полученных обыкновенных дробей можно перевести в конечные десятичные дроби?

330. Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

331. Аэросани прошли путь от полярной станции до поселка, равный 360 км, за 3 ч. В первый час они прошли на 36 км меньше, чем во второй, а в третий час - в 1,6 раза больше, чем в первый. Какую часть пути проходили аэросани в каждый час? Вырази эти части обыкновенными дробями, десятичными дробями и в процентах.

Путь от дома до школы, равный 1,2 км, Сережа прошел за 15 мин, а обратный путь - за 20 мин. Вставь в предложения пропущенные числа, Скорость Сережи по дороге в школу была больше, чем на обратном пути: на км/ч; на часть; в раз; на процентов. Скорость Сережи на обратном пути уменьшилась: на км/ч; на часть; в раз; на процентов.

333. Моторная лодка, двигаясь по течению реки, прошла путь, равный 15 км, за 2 ч, а обратный путь - за 3 ч 20 мин. Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки. Как и на сколько километров в час изменилась скорость лодки на обратном пути?

Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи: Из 32 учащихся класса 24 человека занимаются в спортивных секциях. Какая часть учащихся занимается спортом? Ответ вырази в процентах. В спортивных соревнованиях призы получили 36 человек, что составило 12% всех участников. Сколько всего человек участвовало в соревнованиях?

335. В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий — 10, и еще 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это?

336. В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами - 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре - 6, поют в хоре и занимаются танцами - 2, а один ученик занимается во всех трех кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?

337. Расположи 5 точек в множествах А и В, изображенных на рисунке, так, чтобы: а) в одном из них было 2 точки, а в другом 4; б) в каждом из них было по 3 точки; в) в одном из них было 3 точки, а в другом 5; г) в каждом из них было по 4 точки; д) в одном из них было 2 точки, а в другом 5.

338. Определи по каждому рисунку, какой примерно процент фигуры закрашен, и выбери наиболее подходящий ответ из трех данных. Прочитай название столицы европейского государства. Какое это государство?

339. В таблице приведены приближенные значения площади и численности населения некоторых европейских государств и города Москвы. Пользуясь данными таблицы, найди процент, который составляют площадь и население этих государств соответственно от площади и населения Москвы. Проанализируй полученные результаты.

Замени проценты числами, выражающими части величин: 3%; 18%; 7,5%; 1117 % ’ 1^{50%; 528%}. Замени числа, выражающие части величин, процентами: 0,05; 0,28; 0,9; 0,045;^; 1,8; 4.
Найди равносильные утверждения: каждое восьмое издание выходит на английском языке; на английском языке выходит 12,5% всех изданий; на каждые 8 изданий одно приходится на английском языке; на английском языке печатается 8% всех изданий; на каждые 7 изданий только одно приходится на английском языке; из каждых 25 изданий 2 публикуются на английском языке; издания на английском языке составляют восьмую часть всех изданий; издания на английском языке составляют седьмую часть всех изданий.
Построй графическую модель и реши задачу: Биржевые цены на акции предприятия А уменьшились на 75%. Во сколько раз уменьшились цены? За последний год в городе Nцены на услуги пассажирского транспорта увеличились в 2,5 раза. На сколько процентов увеличились цены?

343. Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

344. Вычисли значения дробей А и В. 2) Определи, на сколько процентов А меньше, чем В? На сколько процентов В больше, чем А?

Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи. На предприятии 60 сотрудников. В конце месяца премию получили 15% всех сотрудников. Сколько человек получили премию?
Из всех предприятий, зарегистрированных городской регистрационной палатой в течение месяца, 50% составили муниципальные предприятия, 10% - индивидуальные предприниматели, остальные - акционерные общества (АО), причем 75% всех АО - закрытые акционерные общества. Сколько процентов составили закрытые акционерные общества: а) от всех предприятий; б) от муниципальных предприятий?

347. Расшифруй ребусы:

348. Веселый турист отправился на слет, предполагая каждый день проходить треть всего пути, чтобы через 3 дня прибыть на место. В первый день он прошел треть пути. Но во второй день, устав, он прошел не треть пути, а треть остатка. И в третий день он прошел треть нового остатка. В результате ему осталось пройти еще 32 км. Сколько километров от дома до места слета?

349. Антоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком - 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?

350. В математической олимпиаде для 6-х классов 30 участников решили хотя бы по одной задаче. Арифметическую задачу решили 18 человек, геометрическую - 12, а логическую - 8. При этом все 3 задачи решили двое, только геометрическую и логическую - трое, а только арифметическую и логическую - один. Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида? Сколько справились с двумя задачами - арифметической и геометрической?

351. Сколько составляют: а) 8% от б кг; г) 0,4% от 0,25 с; б) 30% от 15 м; д) 1,25% от 800 т; ж) 20% от 15,25; з) 75% от 80%; и) 0,1% от 0,1%; в) 200% от 72 л;

352. Что больше: а) 15% от 17 или 17% от 15; б) 1,2% от 48 или 12% от 480; в) 147% от 621 или 125% от 549; г) 72% от 150 или 70% от 152; д) 80% от aили 40% от 2а; е) 36% от 2,56 или 1,5% от 806?

За поиск покупателей фирма предлагает своему агенту-дилеру вознаграждение в размере 6% от суммы заказа. На какое вознаграждение может рассчитывать дилер, если он нашел подходящий заказ на сумму 20 000 р.? Сколько соли получится при выпаривании: а) 375 граммов 12% -го раствора соли; б) 450 граммов 9% -го раствора соли; в) 20 граммов 17% -го раствора соли; г) 80 граммов 3% -го раствора соли?

354. Сколько будет, если: а) 100 р. увеличить на 300%; б) 500 р. уменьшить на 10%; в) а р. увеличить на 25%; г) 6 р. уменьшить на 20% ?

Сравни результаты: а) 150 р. увеличили на 50% и 100 р. увеличили на 100%; б) 100 р. уменьшили на 50% и 150 р. уменьшили на 60%; в) а р. уменьшили на 25% и 1,2а р. уменьшили на 40%; г) 6 р. увеличили на 250% и 26 р. увеличили на 50%.
В городе постоянно живут 10 тысяч граждан. Из них 85% еще не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста? Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере 4% годовых?
1) Подоходный налог установлен в размере 13% от начисленной зарплаты. Какую зарплату получит работник в кассе предприятия, если ему начислено 5000 р.? 2) В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83% ?

358. При выдаче наличных рублей по дорожным чекам AmericanExpress, выписываемых в долларах, банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какую сумму получит клиент в рублях, если он предъявит чеки на 400 долларов и курс обмена составит 33,5 р. за доллар?

Найти, от какой величины: а) 7% составляют 7 р.; г) 12% составляют 36 экземпляров; б) 25% составляют 10 г; д) 20% составляют а см²; в) 50% составляют 15 тыс. км; е) 300% составляют bч.
Сравнить величины, если: а) 40% первой составляют 300 р., а 30% второй составляют 400 р.; б) 150% первой составляют 120 р., а 120% второй составляют 90 р.; в) 50% первой составляют 0,5а р., a20% второй составляют 0,2а р.; г) 12,5% первой составляют bр., а 30% второй составляют 3bр.
Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости полученного заказа. На какую сумму агенту надо найти заказ, чтобы заработать 2000 р.? Сколько получится: а) 10%-го сахарного сиропа из 80 г сахара; б) 5%-го сиропа из 6 г сахара; в) 35%-го сиропа из 70 г сахара; г) 30%-го сиропа из 75 г сахара?
Сколько было, если: а) после увеличения на 30% стало 520 р.; б) после уменьшения на 10% стало 450 р.; в) после увеличения на 60% стало 8а р.; г) после уменьшения на 70% стало 3Ъ р.?
В каком случае первоначальная цена больше: если при скидке 5% заплачено 190 р.; если при скидке 10% заплачено 180 р.; если при скидке 20% заплачено 170 р.; если при скидке 30% заплачено 140 р.?
Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам, составляющим в сумме 25% от начисленной зарплаты, работник получил 12 000 р.? Работник получает зарплату от нормы выработки. В конце месяца он получил 16 800 р., перевыполнив норму на 20%. Сколько дополнительно начислено ему в этот месяц?
Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на 18%, а затем на 20% и составила 3280 р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца? В овощехранилище при первой сортировке овощей потери составили 5% от всей массы овощей, а при повторной - 4% от оставшейся массы, после чего в хранилище оказалось 54,72 т овощей. Сколько тонн овощей было в хранилище до сортировки?

366. По данным N-ского горкомстата, товарооборот организаций, осуществляющих торговую деятельность, по сравнению с прошлым годом увеличился на 53% и составил 902 млн. р. На какую сумму увеличился их товарооборот? Ответ округли с точностью до целого числа миллионов.

Сколько процентов составляют: а) 16 с от 50 с; г) 15 г от 1кг; ж) 1,2 от 0,15; к) а от Ь; б) 37 р. от 10 р.; д) З мм от 6 дм; з) 4 от 3; л) 2а от 8а; в) 2,5 мот 20 м; е) 30 мин от 2 ч; и) 0,32 от 2; м) 0,125 от 36?
В каком случае процентное отношение больше: а) 8 отличников из 40 учащихся или 9 отличников из 50 учащихся; б) 6 разбитых лампочек из 20 или 7 разбитых лампочек из 30?
В 5 тыс. из выпущенных 20 тыс. коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами? При наблюдении в течение некоторого времени за дорожным движением было подсчитано, что из проехавших 250 машин 180 были легковыми, а остальные - грузовыми. Сколько процентов от числа проехавших машин составили грузовые машины?
На сколько процентов изменилась цена, если она: а) была 100 р., а стала 250 р.; в) была 60 р., а стала 40 р.; б) была 250 р., а стала 100 р.; г) была 40 р., а стала 60 р.?
Какое изменение больше в процентном отношении: а) подорожание с 400 р. до 500 р. или с 500 р. до 600 р.; б) похудение со 100 кг до 90 кг или с 50 кг до 40 кг?
Тарифы на проезд в наземном транспорте города Nвозросли с 8 руб. до 10 р., а в городском метрополитене - с 15 р. до 18 р. Какие тарифы возросли больше в процентном отношении? В одном банке вклад 12 000 р. через год превратился в 12 840 р., а в другом - вклад в 15 000 р. превратился в 15 900 р. В каком банке выгоднее хранить деньги?

373. В городе Nединый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено: а) 10 440 р.; б) 13 050 р.?

374. В 10-х классах учится 100 человек. Успеваемость составляет 85% от количества учеников. Сколько процентов составит успеваемость в случае, если: а) придут еще 10 двоечников; б) придут 10 отличников? Ответ округли с точностью до десятых.

375. Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. На сколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки? На сколько процентов цена отдельной пластинки больше, чем цена пластинки в упаковке?

Сколько процентов от числа а составляют: 0,04а; 0,2а; 0,56а; 1,8а; 2,5а; За? На сколько процентов они, соответственно, меньше или больше, чем а? Сколько процентов от 25 составляют: 0,045; 0,25; 0,565; 1,85; 2,55; 35? На сколько процентов они меньше или больше, чем 25?
Как изменилась величина, если она: а) сначала увеличилась на 20%, а потом увеличилась на 25%; б) сначала увеличилась на 20%, а потом уменьшилась на 25%; в) сначала уменьшилась на 20%, а потом уменьшилась на 25%; г) сначала уменьшилась но 20%, а потом увеличилась на 25% ?
В двух магазинах были одинаковые цены. В одном магазине их сначала понизили на 15%, а потом повысили на 10%, а в другом - сначала повысили на 10%, а потом понизили на 15%. Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными? В каком из них выгоднее купить одинаковый товар? В двух магазинах цены были одинаковые. В одном магазине их сначала понизили на 40%, а потом повысили на 40%, а в другом - сначала повысили на 50%, но зато потом понизили на 50%. Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными?

379. В магазинах Л и В цены в январе были одинаковые. Изменение цен в течение следующих четырех месяцев показано в таблице: Как изменились цены в этих магазинах в мае по сравнению с январем? В каком из них цены стали ниже и на сколько процентов? В каком выше и на сколько процентов?

Длину прямоугольника увеличили на 20%, а ширину - на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника? Длину прямоугольника увеличили на 60%, а ширину уменьшили на 60%. Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на 20%, а ширину уменьшили на 40%. На сколько процентов уменьшился периметр прямоугольника? Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 10%, а ширину уменьшили на 20%. Как и на сколько процентов изменился периметр прямоугольника?
Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а по втором - 15 г соли. Чему равна концентрация этих растворов? Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать? Смешали 200 г 10% -го сахарного сиропа и 300 г 20% -го сахарного сиропа. Чему равна концентрация полученной смеси?
Какое количество сухого вещества содержится в 150 граммах 3%-го водного раствора этого вещества? В каком количестве 8% -го раствора содержится такое же количество этого вещества? Какое количество 8%-го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было развести водой до получения 100 граммов 3%-го раствора этого же вещества?
1) Морская вода содержит 5%соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 20% ? 2) Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2% ?
1) При выполнении работы по математике 15% учеников класса вовсе не справились с задачей, 25% учеников допустили ошибки, а остальные 24 человека решили ее верно. Сколько учеников класса выполняли работу? 2) Сочинение по русскому языку писали 90 выпускников школы. Им было предложено три темы: по произведениям Пушкина, но произведениям Маяковского и свободная тема. Первую тему выбрали на 40% учеников больше, чем вторую, а третью - на 50% больше, чем первую. Сколько учеников писали сочинение но каждой теме?

385. В традиционном лыжном марафоне жителей города Nучаствовало в 1,5 раза больше любителей лыжного спорта, чем профессиональных спортсменов. Среди любителей призерами стали 20% от числа участников-любителей, а среди профессионалов - 90% от числа участников-профессионалов. Сколько процентов от всех участников соревнований стали призерами лыжного марафона?

Все 16 тысяч жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% от их числа являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

387. Хозяйка купила 3 кг яблок по цене 40 р. за килограмм. На следующий день цены на яблоки в этом магазине были снижены на 20%, и хозяйка купила еще 5 кг яблок. Чему равна средняя цена купленных хозяйкой яблок?

388. В городе Nежегодный налог на землю под индивидуальными гаражами в пределах нормы (15 м²) установлен в размере 10% от ставки земельного налога, равного 20 р. за квадратный метр. Налог на часть площади сверх нормы, но не более двойной нормы, составляет 20% от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы - по полной ставке земельного налога. Вычисли величину ежегодного налога на изображенные участки земли под индивидуальными гаражами

389. Верно ли, что: а) 30% равны одной трети; б) 25% равны одной пятой; в) 49% составляют меньше половины; г) 78% составляют больше трех четвертей; д) увеличить на 200% - это увеличить в 2 раза; е) уменьшить на 50% - это уменьшить в 2 раза?

390. Найди равносильные утверждения и, располагая соответствующие им цифры в порядке возрастания, составь цифровой код: А больше, чем В, в 2,5 раза; А составляет 50% от В; А на 150% больше, чем В.

391. Вычисли и объясни, почему разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату:

392. Сравни и объясни, как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов, если все переменные - натуральные числа:

393. В сумме, разности, произведении и частном чисел х и у изменены компоненты действий. Например, запись (х : 11): (у + 3) означает, что делимое уменьшено в 11 раз, а делитель увеличен на 3. Объясни, что изменилось в выражениях: 1) х + у; 2) х - у; 3) ху; 4) х : у. Запиши результаты этих изменений по образцу:

394. Найди корни уравнений (устно):

395. Упрости выражения и найди их значения:

396. Запиши выражения в виде дробей и, если возможно, сократи их:

397. Реши уравнения:

Объясни, почему доказательство проведено неверно. Для ложных утверждений приведи контр пример, а верные - докажи правильно. Сумма двух простых чисел - простое число: например, 2 - простое, 3 - простое, и их сумма 2 + 3 = 5 - тоже простое. Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6: например, при перемножении чисел 8, 9 и 10 получается число 720, кратное 6. Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2, а другое - 3, то их сумма кратна 5: например, числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки, соответственно, 2 и 3, а их сумма 12 + 13 = 25 делится на 5. Сумма двух взаимно простых чисел - число простое: например, числа 9 и 14 взаимно просты, и их сумма 9 + 14 = 23 - число простое.

399. Переведи высказывания с математического языка на русский и докажи их:

Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная? Существует ли квадрат, у которого длина стороны - натуральное число, а площадь равна 201 201 201201?

401. Построй формулы, выражающие зависимость площади Sфигуры от длин отрезков, указанных на чертеже. Вырази из этой формулы длину Ь.

402. Вычисли площади фигур:

Туристы в первый день своего путешествия прошли 15,6 км, во второй день - 18,2 км, в третий день - 14,8 км, я в четвертый - 21,4 км. Сколько километров прошли туристы в последний пятый день, если в среднем они проходили в день 17,6 км? Смешали 0,2 литра сиропа по цене 280 р. за литр с 2 литрами газированной воды но цене 16 р. за литр. Чему равна стоимость 0,25 л получившегося напитка?
1) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями треугольников. Сколько средних линий можно провести в треугольнике? Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию, соединяющую середины сторон ЛВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине средней линии. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу. Рассмотри расположение средней линии треугольника и стороны АС на чертежах к предыдущему заданию. Сформулируй гипотезу.

Построй треугольник АВС и проведи все его средние линии. Измерь углы треугольника АВС и углы треугольника, образованного средними линиями. Сформулируй гипотезу.

Сколько составляют: а) 25% от 0,36 кг; б) 56% от 7,5;
Во всех магазинах торговой фирмы по субботам предоставляется скидка 5%. Во вторник в одном из таких магазинов был куплен набор кухонной мебели на сумму 24 000 р. Сколько бы стоил этот набор в субботу? В городе Nпри внесении квартирной платы за каждый день просрочки платежа начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Какую сумму надо будет внести в кассу, если квартплата составляет 1600 р., а платеж просрочен на: а) 20 дней; б) 30 дней; в) 174 дня?
Найти, от какой величины: а) 75% составляют 4,5 см; б) 8,4% составляют 17,22 кг; в) 25% составляют а л; г) 200% составляют bмин.
В городе Nлегковых машин повышенной проходимости около 2,8 тыс., что соответствует 7% от числа всех легковых машин. Сколько всего легковых машин в городе N? При использовании воды в системе охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10%. Какой расход топлива будет после удаления накипи, если до ее удаления он составляет 8,5 литра на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1.
Сколько процентов составляют: а) 42 км от 120 км; 6)36 от 45; в) 45 от 36;
В течение недели супермаркет получил 1 200 000 р. дохода. Из них 500 000 р. составил доход от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров? Ответ округли с точностью до десятых. В городе Nимеется 30 государственных предприятий, 70 открытых акционерных обществ, 30 закрытых акционерных обществ и 20 обществ с ограниченной ответственностью. На сколько процентов государственных предприятий меньше, чем предприятий других форм собственности?
Как изменилась температура воздуха, если она: а) сначала увеличилась на 25%, а потом уменьшилась на 40%; б) сначала уменьшилась на 60%, а потом увеличилась на 80%; в) сначала увеличилась на 5%, а потом на 20%; г) сначала уменьшилась на 10%, а потом на 30% ?

412. В магазине цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 10%. Как изменились цены?

Верно ли, что для приготовления 150 г 12% -го раствора потребуется больше соли, чем для приготовления 120 г 15%-го раствора? Свежая малина содержит 85% воды, а сушеная - 20%. Сколько сушеной малины получится из 36 кг свежей?

414. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков еще не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (но одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов? Какой процент составляет число участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков?

Пусть А - значение некоторой величины, а р% от А составляют В. Построй формулу, выражающую зависимость между величинами А, Вир. Вычисли по этой формуле: а) 28% от 45 кг; б) число, 16% которого составляют 80; в) сколько процентов составляет 72 л от 2400 л.

416. Упрости выражения и найди их значения:

417. Реши уравнения:

418. Докажи, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.

419. На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии? Что можно сказать об образовавшихся треугольниках? Сформулируй гипотезу и проверь ее, разрезав модель треугольника по средним линиям. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной?

420. По условию задачи № 388 вычисли сумму ежегодного налога на участки земли под индивидуальными гаражами, изображенные на рисунках:

421. Вычисли значения дробей А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

422. Число 222 122 111 121 получается, если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите (33 буквы). Какое это слово?

423. Найди все такие двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

424. Четыре кота, Васька, Пушок, Базилио и Леопольд, охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали столько же мышей, сколько Базилио с Васькой; Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок и Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?

425. Собаки Отгадай и Угадай соревновались в прыжках. Прыжок Угадал на 30% короче, чем прыжок Отгадал, но зато он успевает за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

На заводе в каждом из двух месяцев, в январе и феврале, более — от выпуска продукции составила продукция высшего качества. Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно, если известно, что каждая из этих дробей несократима, не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2, и если за январь выпущено больше, чем за февраль?
Начальная сумма составляет 800 р. и увеличивается ежегодно на 10% от начальной суммы. Какой будет эта сумма через: а) 4 года; б) 9 лет; в) 12 лет; г) 25 лет?
Начальная сумма составляет 500 р. и уменьшается ежемесячно на 4% от первоначальной суммы. Какой будет эта сумма через: а) 2 месяца; б) 5 месяцев; в) 7 месяцев; г) 1 год?
Сумма в 1 тыс. р. уменьшается ежегодно на 5% от первоначальной суммы. Через сколько лет эта сумма сократится до: а) 750 р.; б) 500 р.; в) 250 р.; г) 50 р.?

430. Какой была начальная сумма, если при ежемесячном увеличении на 20% от первоначальной суммы она за 3 месяца возросла до: а) 1600 р.; б) 480 р.; в) 8000 р.; г) 640 р.?

431. На сколько процентов в год увеличивается банковский вклад (простой процентный рост), если за 10 лег он возрос: а) вдвое; б) в 1,5 раза; в) в 10 раз?

432. “Начальная сумма составляет 50 тыс. р. и ежегодно увеличивается на 20%, считая от начальной суммы”. Какая из перечисленных ниже формул соответствует данному условию?

433. Для нормальной работы пансионата требуется 600 электролампочек. Каждый месяц требуют замены 10% лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить нормальное освещение в пансионате в течение года?

434. В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По “Волгам” она составляет 11,1% в год от первоначальной стоимости. Определи с точностью до целых срок службы этого автомобиля.

435. На диаграмме показано изменение величины S. На сколько процентов в месяц изменяется S? (Считать, что в месяце 4 недели.)

С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиа проектора, купленного в 2002 г., определи: а) срок его службы; б) стоимость при покупке; в) накопленный износ (т.е. общую сумму уменьшения стоимости) на начало 2009 года; г) остаточную стоимость в 2009 году (остаточная стоимость равна разности первоначальной стоимости и накопленного износа); д) процент износа на начало 2009 года (т.е. отношение накопленного износа к первоначальной стоимости).
По закону о защите прав потребителя продавец несет ответственность за каждый день задержки выполнения требований потребителя о замене некачественного товара в размере 1% цены вещи. Чему была равна стоимость товара, если продавец вынужден был заплатить (включая стоимость товара): с учетом задержки на 15 дней - 1840 р.; с учетом задержки на 45 дней - 1203,5 р.; с учетом задержки на 3 дня - 10,3 тыс. р.?

438. Стоимость нереализованного товара в конце каждого 5-го дня уменьшается на 3% от первоначальной стоимости. Считая первоначальную стоимость равной 200 р., вычисли стоимость этого товара: а) на 6-й день; б) на 15-й день; в) на 20-й день; г) на 26-й день.

439. Под какой процент годовых, считая от первоначальной суммы, надо положить в банк сумму 1 тыс. р., чтобы по истечении восьми лет получить: а) 2 тыс. р.; б) 1,4 тыс. р.; в) 5 тыс. р.; г) 9 тыс. р.?

440. Сколько процентов составляет пеня за несвоевременную квартирную плату, если за 20 дней просрочки сумма квартплаты увеличилась: а) с 1500 до 1530 р.; б) с 900 до 954 р.; в) с 1200 до 1236 р.; г) с 1400 до 1419,6 р.?

441. Господин Nрешил похудеть, и для этого он стал заниматься на велотренажере. В первый день он “проехал” 5 км. Каждый следующий день он решил проезжать больше на 10% от расстояния первого дня. На какой день занятий он должен будет проехать 15 км? Сколько всего километров он проедет за все это время?

442. В первый день после болезни спортсмен мог выполнить 40% своей обычной нормы тренировок. Через какое минимальное количество дней после болезни он сможет вернуться к полноценным нагрузкам, если врачи не рекомендовали ему за один день увеличивать нагрузки более чем на 3% от его обычной нормы?

Стоимость еженедельного журнала в день выпуска составляет S₀рублей. Каждый следующий день в течение недели его стоимость уменьшается на р% от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость S* журнала через kдней? Составь формулу для решения задачи. Реши задачу при S₀= 200; р = 2,5; к = 3; 5; 6. Заполни таблицу:
Игра “Отгадай слова”. Обозначим следующие буквы цифрами: Требуется отгадать, какие слова кроются под номерами: Выигрывает тот, кто сделает это быстрее.

445. Вычисли, найди закономерность в ряду чисел, образованных ответами примеров, и продолжи ряд на два числа:

а) Сколько процентов от числа а составляют: 0,14а; 0,06а; 0,45а; 0,003а; 1,05а; 2,8а? б) На сколько процентов каждое из чисел: 0,025; 0,125; 0,345; 0,255; 0,565; 0,895 меньше, чем 5? в) На сколько процентов каждое из чисел: 1,2с; 1,48с; 1,5с; 2с; 3,85с; 4,6с больше, чем с?

447. Какое число получится, если число п: а) уменьшить на 18%; б) уменьшить на 45%; в) увеличить на 36%; г) увеличить на 100%; д) уменьшить на 75%; с) увеличить на 150%; ж) увеличить на 400%; з) уменьшить на 40% ?

448. Как изменится число, если его: а) сначала уменьшить на 50% , а йотом увеличить на 80%; б) сначала увеличить на 10%, а потом увеличить на 40%; в) сначала уменьшить на 25%, а потом уменьшить на 60% ?

Число а на 150% больше, чем число Ь. На сколько процентов Ь меньше, чем а? Число х на 50% меньше, чем число у. На сколько процентов у больше, чем х?

450. Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе Nначисляется в размере 0,1% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 2000 р. была начислена пеня: а) 6 р.; б) 24 р.; в) 80 р; г) 128 р.?

451. В общественном транспорте города Nчетырнадцать процентов пассажиров читают фантастику. Из них 73% - мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округли до десятых.

452. 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее непараллельных сторон. 2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями трапеций. 3) Сколько средних линий можно провести в трапеции. Построй трапецию ABCDи проведи ее среднюю линию. Сравни сумму длин оснований с длиной средней линии. Проведи эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу. Рассмотри расположение средней линии и оснований трапеции. Сформулируй гипотезу. Можно ли доказать твои гипотезы, построив еще 10 трапеций? А если построить миллион трапеций?

Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5%. Через сколько месяцев г>та сумма возрастет до: а) 115 р.; б) 140 р.; в) 180 р.; г) 200 р.?
Какой была начальная сумма, если при ежемесячном уменьшении на 20% она за 3 месяца сократилась до: а) 1600 р.; б) 480 р.; в) 8000 р.; г) 640 р.?

455. В городе Nв случае неуплаты земельного налога в установленный срок (не позднее 15 сентября) начисляется пеня в размере 0,2% не перечисленных сумм за каждый день просрочки. Какую сумму нужно будет заплатить за земельный налог, равный 80 р., в случае уплаты его: а) 25 сентября текущего года; б) 15 ноября текущего года; в) 20 февраля следующего года?

456. Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет Sрублей. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на р% от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость S;..килограмма овощей через kмесяцев? Составь формулу для решения задачи. Реши задачу при S₀= 80, р - 10, k= 3; 5; 7. С помощью составленной формулы заполни таблицу:

457. В городе А с населением 100 тысяч жителей граждане в возрасте до 18 лет составляют 40 тысяч, а в городе В с населением 200 тысяч жителей - соответственно 60 тысяч. В каком городе доля жителей в возрасте старше 18 лет меньше?

Фирма дала следующее объявление в газету: Офисная мебель более 40 модификаций Цена за 1 предмет: стулья - 1000 р. шкафы - 4600 р. столы - 2400 р. стеллажи - 5000 р. При покупке более 10 предметов скидка 10%. Вычисли сумму, в которую обойдется покупка в этой фирме комплекта мебели из 6 стульев, 6 столов, 1 шкафа и 3 стеллажей.

459. Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

460. Чему равна величина угла между стрелками часов в 9 ч 20 мин?

461. На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые 4 места разделили Атос, Портос, Арамис и д’Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосом и д’Артаньяном, равна 6. Сумма мест Портоса и Арамиса тоже равна 6. Какое место занял каждый из мушкетеров, если Портос занял более высокое место, чем Арамис, а д'Артаньян - более высокое, чем Атос?

462. Какая сумма будет на срочном вкладе через 3 года, если на него положены 2000 р. под 5% годовых?

463. Первый срочный вклад равен 8000 р. под 10% годовых, а второй - 7500 р. под 20% годовых. На каком из вкладов через 3 года сумма будет больше и на сколько?

464. Какой капитал надо вложить в паевой инвестиционный фонд под 20% годовых (срочный вклад), чтобы через 3 года получить вместе с процентами 100000 р.? Ответ округли до тысяч.

465. Начальный вклад клиента банка составил 25 000 р. Годовая процентная ставка банка 8%. Каким станет вклад через 2 года, если: а) банк начисляет простые проценты; б) банк начисляет сложные проценты?

466. В 1993 году инфляция в России составляла 30% в месяц (то есть цены каждый месяц увеличивались на 30% от последнего значения). На сколько процентов возросли цены за 4 месяца? Во сколько раз увеличились цены за это время? Ответ округли до целых.

За последние 3 года товарооборот фирмы снижается ежегодно на 20% от товарооборота предыдущего года. На сколько всего процентов снизился ее товарооборот за эти 3 года?
Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца - 4%; б месяцев - 8,5%; 12 месяцев - 18%.Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р., если договор заключен: а) на 3 месяца; б) на 6 месяцев; в) на 12 месяцев? Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый роз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца? Ответ округли до сотых.
1) Составь 5 двусложных слов из слогов, используя все эти слоги: ма, тон, дус, ко, тор, сум, нус, на, гра, кван. 2) Составь 4 трехсложных слова из слогов, используя их все: ро, ли, цен, мо, на, ты, тель, сто, дец, де, ло, про.

470. Переведи высказывания с математического языка на русский и построй их отрицания:

Докажи или опровергни высказывания, если a, 6, с, d: 18% от числа а составляют 1,8а; 3) 0,4с на 40% меньше, чем с; 0,66 составляет 30% от 26;2dна 200% больше, чем d.
Температура воздуха снизилась за первый день на 15%, а за второй - на 40%. На сколько процентов снизилась температура за два дня? Цена товара за первый месяц увеличилась на 20%, а за второй уменьшилась па 10%. Как и на сколько процентов изменилась цена за два месяца?

473. В промышленных месторождениях содержание меди в медных рудах составляет от 0,3% до 6%. а) Сколько надо взять медной руды, чтобы получить не менее 12 т меди? б) Сколько меди может получиться из 12 т руды?

474. Дом стоимостью 1500 тыс. р. принес в год 300 тыс. р. валового дохода. Из этих денег вычли расходы на содержание дома в размере 48 тыс. р. и получили чистый доход. Чему равен процент чистого дохода от стоимости дома?

475. Оля решила купить две книги: первая стоит 56% всех ее денег, а вторая - 64%, и поэтому у нее не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе?

476. Кофе при обжарке теряет 12,5% своего веса. Сколько килограммов зеленого кофе надо взять, чтобы получить 35 кг обжаренного?

477. Сколько воды надо выпарить из 350 г 12% -го раствора соли, чтобы получить 20% -й раствор?

478. К 200 граммам 15%-го раствора вещества добавили 300 граммов 30%-го раствора этого же вещества. Чему равна концентрация полученной смеси?

479. Начальный вклад клиента банка равен 10 000 р. Годовая процентная ставка банка 10%. На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года в случаях, когда банк начисляет простые проценты и сложные проценты?

480. В первый год фермер обработал 20 га земли. Затем, переходя к интенсивным способам земледелия, он в течение трех лет сокращал посевные площади на 10% по сравнению с предыдущим годом. Сколько гектаров составили посевные площади через 3 года?

481. Население города Nежегодно увеличивается в среднем на 2%. На сколько увеличится население через 3 года, если сейчас оно составляет 900 тыс. человек? Ответ округли до единиц тысяч.

482. Трава при высыхании становится сеном и теряет около 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?

483. Смешали 200 граммов 16%-го сахарного сиропа и 600 граммов - 28%-го. Чему равна концентрация сахара в полученном растворе?

484. Ученик прочитал в первый день 30% всей книги, во второй - 40% оставшейся части, а в третий - остальные 105 страниц. Сколько всего страниц было в книге?

485. Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат?

487. Квадрат натурального числа на 56 больше самого числа. Найди это число.

1) Сколько составляют: а) 4% от 72 см; б) 125% от 64; в) 40% от х? Найти число, если: а) 20% его составляют 2,8; в) 25% составляют х; б) % его составляют 12; г) 300% составляют у. На сколько процентов 18 меньше, чем 72? На сколько процентов 72 больше, чем 18?

489. Сколько процентов от заданной величины составляют: а) половина от ее 30%; б) четверть от ее 200%; в) пятая часть от трех четвертей; г) 10% от ее половины; д) половина от ее четверти; е) 25% от ее половины?

Доходы населения увеличились в первом квартале на 5%, а во втором - на 6%. Как и на сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала? Выпуск продукции в прошлом году снизился на 20%, а в текущем повысился на 5%. Как и на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года?

491. Требуется заменить 40% покрытия дороги. Длина дороги составляет 600 км. В течение недели сменили покрытие на участке длиной 100 км. Сколько километров покрытия еще осталось заменить?

После повышения зарплаты на 40% она составила 12 600 р. На сколько рублей повышена зарплата? Магазин приобрел товар за 9,6 млн. р., а продал за 12 млн. р. Найди процентное отношение дохода к себестоимости.

493. В канистре было 15 л бензина. Из нее взяли сначала 30% бензина, а потом еще 20% остатка. Сколько бензина осталось в канистре?

494. В городе три района. В первом районе живет на 20% жителей больше, чем во втором, а в третьем - 50% от числа жителей первого. Сколько жителей в каждом районе города, если во всех трех районах проживает 70 тыс. человек?

495. К 150 граммам 30% -го солевого раствора добавили 350 г воды. Чему равна концентрация полученного солевого раствора?

Верно ли начислена пеня, если при квартплате 1500 р., величине пени 0,1% за день просрочки и просрочке на 24 дня сумма к оплате составила 1544 р.? Вкладчик положил на беспроцентный счет в банк 28 000 р. и написал поручение ежемесячно перечислять 5% от этой суммы за квартплату. Сколько денег останется на его счете через 8 месяцев?
Начальный вклад клиента банка составил 5000 р. Годовая процентная ставка банка 8%. Каким станет вклад через 3 года, если банк начисляет: а) простые проценты; б) сложные проценты?

Часть 2

1. Много или мало составляют: а) 5 уроков математики в день и в месяц; б) увеличение в весе в 1 г для муравья и для слона? Придумай свои примеры, когда одно и то же значение величины дает разную качественную оценку некоторой ситуации.
2. Кобра живет около 15 лет, а крокодил - около 90 лет. Как можно сравнить продолжительность их жизни? Рассмотри все возможные варианты.
3. Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими еще свойствами обладают отношения?
4. На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают отношения: 6:12; 12:6; 6:18; 18:12? Какие еще отношения можно составить к данному условию задачи?
5. По данному условию составь какие-нибудь отношения и объясни их смысл. Упрости, если возможно, полученные отношения.
а) В классе 10 мальчиков и 15 девочек.
б) В тетради 12 листов, из них 4 исписано.
в) Биатлонист сделал 5 выстрелов и 2 раза промахнулся.
г) Из 200 участников викторины 50 стали победителями.
6. Найди процентное отношение чисел: а) 4 : 5;
7. Имеет ли значение порядок членов отношения? Почему? Вырази в процентах данное и обратное отношение чисел: а) 1:3; 6)12:15; в) 7,2 : 36;
8. Вырази данные отношения величин в процентах: а) 8 дм к 3,2 м; в)12ц к 4т; б) 0,3 км к 500 м; г) 0,034 ц к 20 кг; д) 6 мин к 1 ч; е) 2 ч 20 мин к 40 мин.
9. 1) Для определения процента всхожести семян посадили 300 семян. Из них проросло 273. Сколько процентов посаженных семян проросло? 2) Отношение каких величин характеризует всхожесть семян?
10. 1) Отношение каких величин характеризует концентрацию раствора?
2) В 5,6 л воды растворили 140 г соли. Чему равна концентрация соли в полученном растворе? (Масса 1 л воды равна 1 кг.)
3) Смешали три раствора соли одинаковой массы. Концентрация первого раствора равна 18%, концентрация второго - 7%. Чему равна концентрация третьего раствора, если концентрация полученной смеси составляет 10% ?
11. Найди отношение величин и назови, значение какой новой величины при этом образуется: а) 4 м к 2 мин; в) 280 р. к 7 м; д) 6 деталей к 3 мин; б) 25 км к 4 ч; г) 120 р. к 5 кг; е) 50 страниц к 2 ч.
12. Начерти отрезок АВ и отметь на нем точку С так, чтобы выполнялось условие:
13. 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.
2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3.
3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.
4) Начерти угол, равный 60", и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1:2.
14. 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего.
2) Синус, косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X, cos X и tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АВС, выражающие значения синусов, косинусов и тангенсов углов А и В.
15. 1) Измерь стороны треугольника АВС и вычисли синус, косинус и тангенс угла А.
2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла А.
3) Найди отношение синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А.
4) Выполни три предыдущих задания для угла В треугольника АВС. Что ты замечаешь?
5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать ее в общем виде, используя теорему Пифагора (см. № 18).
16. Увеличь 2,75 Уменьши 9 на 4,37 Увеличь 5,4
17. Запиши высказывания на математическом языке: 1) Число а в 7 раз меньше числа b. 2) Число с на 3 больше числа d. 3) Число т составляет — числа п 4) Число к составляет 80% числа t. 5) Число х на 28% больше числа у. 6) Число р на 40% меньше числа s.
18. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b, а гипотенуза - с. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе: Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.
19. Реши уравнения, используя правило “весов”:
20. Построй математическую модель задачи и найди ответ:
1) В первом вагоне трамвая ехало в 1,5 раза больше пассажиров, чем во втором. После того как из первого вагона вышли 5 пассажиров, а во второй вошли 3 пассажира, в обоих вагонах пассажиров стало поровну.
Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне первоначально?
2) В бидоне было в 2 раза больше молока, чем в банке. После того как из банки отлили 2 л, а из бидона — 3 л, в банке осталось молока в 4,5 раз меньше, чем в бидоне. Сколько литров молока было в бидоне и в банке вместе?
21. Найди процентное отношение чисел и величин:
22. Смешали три раствора соли с концентрацией соответственно 10%, 15% и 30%. Масса первого раствора равна 180 г, масса второго раствора в 2 раза больше массы первого, а масса третьего раствора на 100 г больше массы второго. Чему равна концентрация полученной смеси?
23. Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведенным на стр. 7, найди тангенс угла А в треугольниках АВС, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна всегда? Почему?
24. Реши уравнения, используя правило “весов”
25. Построй математическую модель задачи и найди ответ: На первой полке на 18 книг меньше, чем на второй. После того как число книг на первой полке удвоили, оно составило 80% от числа книг на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?
26. Вычисли процентное отношение чисел А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?
27. Старинная задача. Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего. Чему равен возраст младшего сына?
28. 1) Что называют масштабом? Чему равен масштаб чертежа, если на нем детали увеличены в 5 раз, уменьшены в 100 раз? 2) Что означают выражения: а) масштаб плана местности равен 1 : 400; 6) масштаб карты равен 1 : 500 000; в) масштаб чертежа равен 3:1?
29. Определи масштаб карты, если: 1) 1 см на карте соответствует 100 км на местности; 2) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности; 3) 50 км на местности соответствует 2 дм на карте.
30. Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобрази шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб.
31. Масштаб карты равен 1 : 1 000 000. Известно, что расстояние между двумя точками на этой карте равно: 1) 1 см; 2) 0,6 см; 3) 1, 8 дм; 4) 35 мм. Вычисли соответствующие расстояния на местности.
32. Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе 20:1, равна 4 см. Чему равна его длина в действительности?
33. Практическая работа. По карте определи приближенные расстояния между Москвой и городами: 1) Санкт-Петербург; 2) Казань; 3) Ижевск; 4) Киев; 5) Прага; 6) Берлин; 7) Париж; 8) Лондон.
34. План земельного участка выполнен в масштабе 1 : 4000. Сделай необходимые измерения и вычисли его периметр и площадь.
35. На рисунке изображен план квартиры в масштабе 1 : 200. Определи по плану, какие размеры имеют гостиная, спальня, кухня, прихожая, кладовая и ванная комната. Вычисли площадь этих помещений и общую площадь квартиры.
36. Длина Москвы-реки примерно 470 км. Чему равна ее длина на карте, масштаб которой 1 : 5 000 000?
37. Размеры дачного участка прямоугольной формы 40 м х 30 м. Начерти план этого участка в масштабе 1 : 500. Изобрази на этом плане дом, размеры которого 10 м х 10 м, расположенный в центре участка. На одной из больших сторон прямоугольника посередине отметь ворота шириной 4 м.
38. Практическая работа. Начерти план кабинета математики в масштабе 1 : 100.
39. Размеры комнаты равны 4,2 м х 6 м. На плане комнаты ее длина изображена отрезком, равным 4 см. Чему равна длина отрезка, изображающего на этом плане ширину комнаты?40. На карте, масштаб которой 1 : 100 000, расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на карте, масштаб которой 1: 300 000?
41. Найди число, которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность: 1) 10; 2; 0,4; 0,08; 0,16; 0,032; 3) 3; 0,5; 6; 0,8; 12; 1,1; 18; 1,4;
42. Имеется набор шестеренок в 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120 зубцов. Подбери такие пары шестеренок, чтобы отношение чисел их зубцов было равно:
43. Комиссионные магазины, продав вещь, берут с ее владельца комиссионный сбор, который составляет определенный процент от стоимости вещи. В одном магазине за вещь стоимостью 4000 р. взяли комиссионный сбор 240 р., а в другом за вещь стоимостью 18 000 р. взяли комиссионный сбор 900 р. В каком из этих магазинов комиссионный сбор больше?
44. Крутизна участка дороги выражается отношением высоты подъема дороги h к горизонтальной протяженности этого участка а (см. рисунок): а) Какова высота спуска, если на дорожном знаке, предупреждающем о спуске, указано 20%, а его горизонтальная протяженность равна 400 м? б) Чему равна крутизна участка дороги, если горизонтальная протяженность составляет 1,2 км, а высота спуска 30 м?
45. Найди ложные высказывания и построй их отрицания: 1) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен 10, можно записать в виде конечной десятичной дроби. 2) Число, произведение цифр которого кратно 9, делится на 9. 3) Существуют числа, кратные трем, сумма которых не делится на 3. 4) Есть такие нечетные числа, произведение которых - число четное.
46. Представь выражение в виде дроби, если
47. Блицтурнир. Составь и, если возможно, упрости выражение: 1) После увеличения цены альбома на 25% он стал стоить а р. Сколько стоил альбом первоначально? 2) В книге b страниц. В первый день Саша прочитал 20% книги, а во второй -половину остатка. Сколько страниц прочитал Саша за эти два дня? 3) Цена телевизора снизилась с х р. до у р. На сколько процентов снизилась цена телевизора? 4) Длина комнаты прямоугольной формы с метров, а ширина составляет 70% длины. Чему равны ее периметр и площадь? 5) Клиент положил в банк d р. Какая сумма будет на его счете через 4 года, если банк начисляет доход в размере 5% в год (простые проценты)? 6) Население города составляет сейчас k тыс. жителей и увеличивается ежегодно на 3%. Каким оно станет через 2 года?
48. Реши уравнения, пользуясь “перекрестным правилом”
49. На туристской карте запись с указанием масштаба оказалась оторванной. Можно ли ее восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? Если это возможно, определи масштаб данной карты.
50. Практическая работа. Возьми три географические карты с разным масштабом. По каждой из них найди расстояние между двумя городами, взятыми по твоему выбору.
51. Практическая работа. Измерь размеры своей комнаты, задай масштаб и нарисуй план комнаты. Укажи на нем расположение окон, дверей, мебели.
52. Приставить лестницу к стене можно более круто или более полого. Ее крутизна выражается отношением расстояния от пола до верхнего края лестницы к расстоянию а от нижнего края до стены. В каком случае лестница имеет большую крутизну: если h = 1,5 м и а = 1,2 м или если h = 2,4 м и а = 2м?
53. Составь и, если возможно, упрости выражение: 1) Жилищному кооперативу принадлежит а га земли, из которых b га занимают гаражи. Какой процент площади, принадлежащей этому кооперативу, отведено под гаражи? 2) 40% участников первого тура олимпиады прошли во второй тур, а 50% участников второго тура в количестве с человек прошли в третий тур. Сколько человек приняли участие в первом туре олимпиады? 3) Турист за три дня прошел путь, равный d км. В первый день он прошел 40% всего пути, а во второй день - 75% пути, пройденного в первый день. Сколько километров прошел турист в третий день?
54. Реши уравнения, пользуясь “перекрестным правилом"
55. Вычисли и запиши в последовательности ответов следующее число, сохраняя закономерность:
56. 1) В квадрате размером 10x10 клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером 2x2 клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером 2x2 клетки? Обоснуй свой ответ. 2) Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы.
57. Запиши равенство двух отношений двумя способами. Проверь, является ли оно пропорцией. Если да, то назови крайние и средние члены пропорции. а) 7 так относится к 14, как 3 относится к 6; б) отношение 8 к 3 равно отношению 40 к 15; в) 36 во столько раз больше 20, во сколько раз 9 больше 5; г) 2 составляет такую же часть от 10, какую 3 составляет от 15.
58. Выбери из данных отношений те, из которых можно составить пропорцию: 1) 5: 15; 3) 3 : 1,2;
59. В чем заключается основное свойство пропорции? Запиши его для пропорций: Как иначе называют это свойство?
60. Прочитай пропорцию разными способами, назови ее крайние и средние члены: а) 9: 1 = 18: 2; Докажи истинность утверждений, используя основное свойство пропорции.
61. Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае?
62. Составь, если возможно, пропорцию из 4 данных чисел. Можно ли составить из этих чисел другие пропорции?
63. Напиши пропорцию, в которой каждое отношение равно:
64. Составь различные пропорции из равенства. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются?
65. Проверь истинность равенств. Из букв, соответствующих пропорциям, составь математический термин. Что он означает?
66. Найди неизвестный член пропорции (устно):
67. Реши уравнения:
68. Найди значения х и у такие, чтобы каждое из двух равенств было верным:
69. Дана пропорция. Запиши другие пропорции, членами которых являются те же числа а, b, с и d.
70. Копировальная машина уменьшает размеры изображения в отношении 3:5. 1) Чему равна длина отрезка в оригинале, если на копии она равна 7,5 см? 2) Какой размер на копии будет иметь отрезок, длина которого в оригинале равна 8 см?
71. На рисунке показаны размеры фигуры и ее копии, увеличенной с помощью копировальной машины. 1) В каком отношении увеличено изображение? Вырази это отношение в процентах. 2) Найди неизвестные длины сторон.
72. В сплаве золота и серебра масса золота так относится к массе серебра, как 2 : 5. 1) Чему равна масса золота в сплаве, содержащем 80 г серебра? 2) Чему равна масса серебра в сплаве, содержащем 18 г золота?
73. В любой окружности отношение длины окружности к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7. 1) Чему примерно равна длина окружности, если ее диаметр равен 10 см? 2) Чему примерно равен диаметр окружности, если ее длина равна 60 см? Ответы округли с точностью до десятых.
74. Математическое исследование. 1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности, пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения. 2) Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной? 3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

75. Какое выражение может быть “лишним”? Как можно записать оставшиеся выражения с помощью одного буквенного равенства (в общем виде)?
76. Найди истинные и ложные высказывания. Обоснуй свой ответ. Построй отрицания ложных высказываний.
77. Найди ложные высказывания и построй их отрицания: 1) Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. 2) Отношение двух чисел может быть равно обратному отношению этих чисел. 3) Масштаб изображения всегда выражается числом, меньшим 1. 4) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов. 5) Правильная дробь может быть равна 1. 6) Множество натуральных чисел является подмножеством множества дробей.
78. Запиши процентное отношение чисел 28 к 35 и 35 к 28. На сколько процентов первое число меньше второго? На сколько процентов второе число больше первого?
79. Как и на сколько процентов изменилось число, если: 1) его удвоили; 2) его увеличили в 3,5 раза; 3) его уменьшили в 4 раза; 4) его уменьшили на четверть; 5) взяли от него треть;
6) взяли от него две пятых; 7) разделили его пополам; 8) умножили его на 5?
80. Мотоциклист проехал путь между городами М и N со скоростью на 20% больше намеченной, а обратный путь - со скоростью на 20% меньше намеченной. Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном пути была меньше , чем по пути из М в N
81. Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль - на 40% быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?
82. Скорость велосипедиста на 250% больше скорости пешехода. Через 1,5 ч после того, как они одновременно начали двигаться из одного и того же пункта в одном направлении, расстояние между ними стало равно 16,5 км. Чему равны скорости движения велосипедиста и пешехода?
83. Расстояние между двумя пристанями $ км. От этих пристаней одновременно отплыли два катера со скоростями у, и > v2). Построй формулу зависимости расстояния d между катерами от времени движения t, если они движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием. (Считать, что встречи за это время не произойдет.)
84. Расстояние h, которое проходит в вакууме падающее вниз тело, не зависит от его массы, а зависит лишь от времени падения t. Приближенные значения величины h м в первые 5 секунд падения приведены в таблице. Построй формулу и график этой зависимости, подобрав на осях координат удобные единицы измерения.
85. Найди верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной единицы. В каких странах она используется?
86. Реши уравнения:
87. Размеры фигур, приведенных на рисунках 1 и 2, были увеличены в отношении 3 : 2. 1) Вырази увеличение изображения в процентах. 2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведенного на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления. 3)По копии чертежа, приведенного на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертеж в тетради.
88. Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7, а его большая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону, периметр и площадь этого прямоугольника.
89. Расстояние между двумя городами 145 км. Грузовая машина может пройти это расстояние за 2,5 ч. Скорость легковой машины на 50% больше скорости грузовой. Через сколько часов эти машины встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?
90. Площадь прямоугольника равна 12 см. Построй формулу зависимости длины стороны b см этого прямоугольника от длины а см его второй стороны. Заполни таблицу соответственных значений а и b и построй график зависимости b от а
91. Математическое исследование. 1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения еще для двух точек окружности. Что ты замечаешь? 2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной на основании проведенных тобой измерений? Почему?
92. 1) Найди значения выражений А, В, С и D и из полученных чисел составь пропорцию. Можно ли из этих же чисел составить другую пропорцию? 2) Сколько различных пропорций можно составить из этих чисел? Назови их.
93. Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.
94. Выполняя домашнее задание, Петя спешил на футбол и сделал ошибку. Вместо того чтобы данное однозначное число возвести в квадрат, он его удвоил. В результате он получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и искомый квадрат, но в обратном порядке. Какой правильный ответ должен был получить Петя?
95. Предстоят спортивные соревнования между четырьмя шестыми классами одной школы. В учительской живо обсуждаются возможные результаты и высказываются прогнозы. - Первое место займет 6 “А”, а второе - 6 сказал учитель математики. - Да что вы! - сказал учитель географии. - Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности. 6 “А” займет второе место, а 6 “Г”- только третье. - А я думаю, что на втором месте будет 6 “В”, а 6 “Г” будет на последнем месте. Оказалось, что у каждого учителя один прогноз сбылся, а другой - нет. Какое место занял каждый класс?
96. Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее:
97. Составь из равенства пропорцию и сделай все перестановки ее членов, не нарушающие эту пропорцию:
98. Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки ее членов, не нарушающие эту пропорцию:
99. Составь различные пропорции из соответствующих значений величин: 1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара; 2) времени работы и объема выполненной работы при постоянной производительности; 3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны; 4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации. Сделай вывод.
100. Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:
101. Пользуясь свойствами, установленными в предыдущем задании, составь из данной пропорции три производные пропорции:
102. Математическое исследование. 1) Стороны угла А пересечены параллельными прямыми. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла А, и сравни 2) Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной посредством проведенных измерений и вычислений?
103. Найди верные равенства и расшифруй фамилию известного ученого. Когда и в какой стране он жил? Что ты о нем знаешь?
104. Поставь вместо звездочек знаки действий так, чтобы получились верные высказывания:
105. (Устно.) Найди неизвестные члены пропорций:
106. Реши уравнения:
107. Составь уравнения и реши их, используя правило “весов”: 1) Задуманное число увеличили в 5 раз, затем уменьшили на 3 и полученную разность уменьшили вдвое. В результате получили число на 0,3 меньше задуманного. Какое число задумали? 2) Задуманное число утроили, затем результат вычли из 10, полученную разность увеличили в 2 раза, а потом еще на 2. Число, полученное в результате всех преобразований, оказалось в 5 раз больше задуманного. Какое число задумали?
108. 1) Один трактор вспахал 15% всего поля и еще 1,2 га, а второй всего поля и остальные 0,3 га. Вместе они вспахали все поле. Чему равна площадь поля? 2) Рабочий сделал 60% всего задания и еще 8 деталей, а его ученик - пятую часть всего задания и остальные 7 деталей. Вместе они сделали все задание. Сколько всего деталей сделали вместе мастер и ученик?
109. В результате реконструкции на одном заводе выпуск автомобилей увеличился с 8 до 10 тыс. штук в год, а на другом - с 10 до 12 тыс. штук в год. На каком заводе увеличение выпуска продукции в процентном отношении больше?
110. Выпуск продукции в прошлом году снизился на 10%, а в текущем - повысился на 20%. (Выпуск продукции сравнивается каждый раз с предыдущим годом.) Как изменился процент выпуска продукции за два года?
111. Во время эпидемии резко - в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем -возросло число заболеваний дифтерией. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний снизилось на 75%. Когда заболеваемость была ниже - до эпидемии или после проведения профилактических мероприятий - и на сколько процентов?
112. Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки, причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину, равную 25% от ставки работника 1-го разряда. Чему равна зарплата у работника 9-го разряда, если у работника 1 -го разряда она равна 8000 р. ? Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1 -го разрядов? На сколько процентов отличаются их зарплаты?
113. Тест состоит из четырех заданий. Максимальная оценка за каждое задание составляет 100 баллов. Средний результат среди всех участников - 75 баллов. Коэффициентом успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования. В таблице указаны результаты прохождения теста несколькими учениками. Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем порядке. Если порядок коэффициентов определен верно, то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово. Что оно означает?
114. Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее:
115. Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались.
116. Реши уравнения:
117. Математическое исследование. 1) В треугольнике АВС проведен отрезок MN, параллельный стороне АС: Измерь длины отрезков AM, MB, BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и отрезка MN, параллельного его стороне АС. Сформулируй гипотезу. 2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая? Почему?
118. Две трети учащихся класса поехали на экскурсию, а оставшиеся 25% учащихся и 3 человека пошли в кино. Сколько всего учащихся в классе?
119. При какой месячной процентной ставке (простой процентный рост) вклад на сумму 5000 р. возрастет за 6 месяцев до 5225 р.? Чему равна в этом случае годовая процентная ставка (то есть процент роста вклада за год)?
120. Задуманное число удвоили, а затем уменьшили на 6. В результате оказалось, что полученное число так относится к 9, как 4 относится к 4,5. Какое число задумали?
121. 1) Разрежь фигуру А по линиям сетки на три одинаковые части. 2) Разрежь фигуру В по линиям сетки на 8 одинаковых по площади частей так, чтобы в каждой части был один кружок.
122. Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?
123. Задачи для самопроверки. Прочитай и упрости отношения: а) 18 : 30;б) 7,2 : 0,64;
124. Найди процентное отношение: а) 3 к 4; 6)0,15 к
125. 1) Расстояние между Москвой и Харьковом на карте равно 18,6 см, а в действительности - 744 км. Чему равен масштаб карты? 2) Расстояние от Москвы до Севастополя 1490 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1 : 10 000 000? 3) На карте, масштаб которой равен 1 : 8 000 000, расстояние от Москвы до Ростова-на-Дону 13,7 см. Какое расстояние между этими городами в действительности?
126. Найди неизвестный член пропорции:
127. Реши уравнения:
128. Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие пропорцию.
129. Реши уравнения, используя правило “весов”
130. Составь выражение и, если можно, упрости его: 1) Аэросани прошли а км, что составляет 20% всего пути. Чему равен весь путь? 2) Машинистке надо напечатать 6 страниц рукописи. В первый день она напечатала 30% всей рукописи, а во второй - 25% всей рукописи. Сколько страниц ей еще осталось напечатать? 3) Пылесос стоил с р. Его цена увеличилась на d р. На сколько процентов увеличилась цена пылесоса? 4) В соревновании участвовало х человек. Из них 10% стали призерами соревнований. Среди призеров 40% составили женщины. Сколько женщин получили призы?
131. Найди значения выражений:
132. Приведи примеры величин, связанных зависимостью вида a = bc. Из формул этих зависимостей вырази значение каждой величины.

133. Построй формулу, устанавливающую зависимость: 1) числа п купленных тетрадей от их цены а, если стоимость всей покупки равна 600 р.; 2) времени t набора рукописи на компьютере от производительности w, если в рукописи 240 страниц; 3) массы т соли в растворе от массы М раствора, если концентрация раствора 30%.
134. Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу единиц измерения величин в формулах:
135. Прочитай формулу одновременного движения. Что обозначают входящие в нее буквы? Перепиши эту формулу для случаев встречного движения и движения вдогонку, выразив через скорости движущихся объектов (о, > о,). По каждой из полученных формул вычисли: 1) s, если V, = 36 км/ч, о = 14 км/ч, t =0,5 ч; 2) t , если s = 30 км, о, = 18 км/ч, v2 = 12 км/ч; 3) v., если s = 120 км, t =1,5ч, о = 20 км/ч.
136. Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно (1>1 > о2). Сейчас расстояние между ними равно s. Построй формулу зависимости расстояния d между машинами (до встречи) от времени движения t, если машины движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием. Вырази из этих формул величины
137. Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие: 1) движение по реке; 2) процентное отношение чисел; 3) простой процентный рост; 4) сложный процентный рост. Вырази из этих формул (там, где это возможно) значения всех входящих в них величин.
138. При отправлении телеграммы оплата производится так: за подачу телеграммы оплачивается 18 р. и дополнительно за каждое слово -1,1р. Построй формулу зависимости стоимости С телеграммы от числа п слов в ней.
139. Построй формулу, устанавливающую зависимость между: 1) объемом V куба и его ребром а; 2) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами а b; 3) диаметром D и радиусом R некоторой окружности; 4) длиной стороны а прямоугольника, его периметром Р и площадью S; 5) площадью полной поверхности S куба и его ребром а; 6) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а, b
140. Ниже приведен график зависимости расхода бензина В для автомобиля “Лада” от пройденного расстояния s км. Заполни таблицу и построй формулу зависимости В от
141. На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта Внуково в одном направлении. 1) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?
2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них? Чему равна продолжительность этих остановок? 3) С какой скоростью летели самолеты на всех участках пути? 4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин? Где были самолеты в это время - на земле или в воздухе? 5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково?
142. На рисунке показано, как изменялся рост брата и сестры в первые 22 года жизни (черная линия - график роста брата, а цветная - график роста сестры). Рост в см Возраст в годах. 1) Какой был их рост при рождении, в 5 лет, в 16 лет, в 18 лет, в 20 лет? 2) В каком возрасте каждый из них достиг роста 120 см, 150 см, 190 см? 3) Кто был выше в 10 лет и на сколько сантиметров? 4) В каком возрасте брат был выше сестры, сестра была выше брата? Когда рост их был одинаков? 5) На сколько вырос каждый из них в первые 5 лет жизни, в период с 16 до 20 лет?
143. Производительность трубы, через которую вода поступает в бассейн, равна 2 м3/мин. Построй формулу зависимости объема налитой воды V м3 от времени работы трубы t мин. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.
144. В таблице показана зависимость скорости v м/с течения реки на отдельных участках от площади поперечного сечения Р м3 на этих участках. Построй формулу зависимости v от Р и ее график.
145. В треугольнике АВС отрезок BD перпендикулярен к основанию АС, АС = a, BD = h. Площадь треугольника АВС равна В. Построй формулу зависимости В от а и Л. Вырази из этой формулы каждую из входящих в нее величин.
146. Объясни, какие преобразования пропорций произведены:
147. Реши уравнения:
148. Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди х:
149. Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через 2 ч ему навстречу из В в А вышел пешеход, скорость которого составляет 35% скорости велосипедиста. Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между ним и велосипедистом стало равно 10,8 км. Чему равно расстояние между поселками А и В?
150. Два поезда выехали с одной станции в одном направлении. Скорость первого поезда 72 км/ч, что составляет 80% скорости второго поезда. Второй поезд выехал на 2,5 ч позже первого. Через сколько времени он догнал первый поезд? На каком расстоянии друг от друга были поезда через 4 ч после выхода второго поезда? Через 15 ч после выхода второго поезда?
151. Автомобиль проехал по шоссе 250 км, а по проселочной дороге - на 80% меньше, чем по шоссе. Расход на каждые 100 км по шоссе составлял 12 л, а по проселочной дороге - на 50% больше. Сколько литров бензина в среднем расходовал автомобиль на каждые 10 км пути?
152. 1) Среднее арифметическое трех чисел равно 9,4. Первое число на 3,5 больше второго, а третье составляет 60% второго. Найди меньшее число. 2) Среднее арифметическое четырех чисел равно 5,6. Второе число в 2,5 раза больше первого, третье составляет 120% второго, а четвертое на 1,6 меньше первого. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел
153. Построй формулу, устанавливающую зависимость между: 1) периметром Р квадрата и его стороной а; 2) площадью S квадрата и его стороной а; 3) объемом V прямоугольного параллелепипеда, площадью его основания S и высотой
154. На рисунке изображен график зависимости между массой т кг купленных яблок и их стоимостью С р. Перерисуй график в тетрадь и задай зависимость С от т таблицей и формулой.
155. Расстояние между двумя городами А и В равно 18 км. Задай с помощью формулы зависимость скорости и км/ч равномерного движения от времени t ч прохождения расстояния между данными городами. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.
156. Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди х:
157. С одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус вышел на 0,8 ч раньше второго и через 2 ч прибыл в город Л. Одновременно с ним второй автобус прибыл в город В, удаленный от Л на 210 км. С какой скоростью ехали автобусы, если известно, что скорость второго автобуса была на 25% больше скорости первого автобуса?
158. Вычисли значения А, В, С и D и составь из полученных чисел какую-нибудь пропорцию: (160,272:3,18-3,18): 7,87
159. В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 л и 17 л. Сколько было бидонов?
160. Что общего у формул: Запиши зависимость между величинами, которую задают эти формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.
161. Какая формула может быть “лишней”: Запиши зависимость между величинами, которую задают остальные формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.
162. Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью. Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами: 1) скорость и время движения на участке пути 50 км; 2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч; 3) объем работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда; 4) производительность станка и время изготовления на нем 300 деталей; 5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр; 6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.; 7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 м2; 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация.
163. 1) Автомобиль проехал за некоторое время расстояние 60 км. Какое расстояние проедет он за это же время, если: а) увеличит скорость в 1,5 раза; б) уменьшит скорость в 2 раза? 2) Велосипедист проехал некоторое расстояние за 0,6 ч. За какое время он проедет то же расстояние, если: а) увеличит скорость в 1,5 раза; б) уменьшит скорость в 2 раза? 3) На некоторую сумму денег можно купить 12 порций мороженого. Сколько порций мороженого можно будет купить на эти же деньги, если цена на мороженое: а) увеличится на треть; б) уменьшится на 50% ? 4) За некоторое время с помощью принтера было распечатано 400 страниц. Сколько страниц распечатает за это же время принтер, производительность которого: а) на 100% больше; б) на 75% меньше?
164. Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?
165. Каждая из зависимостей, приведенных в таблице, является прямой или обратной пропорциональностью. Установи вид зависимости, запиши ее формулу и заполни пустые клетки:
166. Реши задачу двумя способами: 1) Имеется 100 граммов 30% -го раствора соли. Его смешали с 200 граммами воды. Чему равна концентрация полученного раствора? 2) К 300 граммам 20%-го сахарного сиропа добавили 100 граммов воды. Чему равна концентрация полученного сиропа?
167. Какое выражение может быть “лишним”:
168. Найди х из пропорции:
169. Поезд проходит расстояние между двумя станциями за 3,2 ч. Сколько времени ему понадобится, чтобы пройти с той же скоростью путь: а) в 4 раза меньший; б) в 2,5 раза больший? 2) Бригада рабочих отремонтировала некоторый участок дороги за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на ремонт этого участка бригаде, производительность которой: а) на 20% выше; б) на 50% ниже?
170. По таблице установи вид зависимости между величинами, если известно, что она является прямой или обратной пропорциональностью. Построй формулу и график этой зависимости.
171. Реши задачу двумя способами: Смешали 200 граммов 25% -го раствора серной кислоты и 300 граммов воды. Чему равна концентрация полученного раствора?
172. Найди наименьшее число, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9.
173. Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй ее таблицу и график и реши с помощью графика все четыре задачи одновременно. 1) Лыжник идет со скоростью б км/ч. Какое расстояние он пройдет за 2,5 ч? За какое время он пройдет 27 км? 2) Литр питьевой воды стоит б р. Сколько надо заплатить за 2,5 л питьевой воды? Сколько питьевой воды можно купить на 27 р.? 3) Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через крап за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды? 4) Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол 6°. На какой угол повернется она за 2,5 мин? За сколько времени повернется минутная стрелка на угол 27?
174. Построй на одном чертеже графики зависимостей: у = 0,5х, у = х, у = 2х, у — 4х, у = 5х. Рассмотри их расположение и сделай вывод.
175. На чертежах представлены графики прямой пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. Какие значения может принимать у, когда х изменяется в границах: 1 < х < 4?
176. Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй для нее таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно. 1) Расстояние от поселка до железнодорожной станции 24 км. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч? За сколько времени пройдет его пешеход со скоростью 6 км/ч? 2) Объем бассейна 24 м3. Чему равна производительность трубы, подведенной к бассейну, если бассейн наполняется через нее за 1,5 ч? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м3/ч? 3) За 1,5 кг моркови заплатили 24 р. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги? 4) Площадь прямоугольника 24 см2. Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см?
177. Построй на одном чертеже графики данных зависимостей. Рассмотри их расположение и сделай вывод.
178. На чертежах представлены графики обратной пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. При каких значениях х значения у изменяются в границах: 2 < у < 5?
179. Счет-тест. (Каждое задание выполняется в течение 2 мин. Записываются только ответы.)
180. Вычисли значение выражения, запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин:
181. К данной тройке чисел подбери четвертое натуральное число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Укажи все возможные варианты. 1)12; 4; 6; 2) 3; 1; 15.
182. Докажи утверждения, если
183. Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными: а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости; б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени; в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу; г) стоимость и количество товара при данной цене; д) производительность труда и объем выполненной работы при постоянном времени; е) длина и масса стандартного трамвайного рельса; ж) долгота дня и ночи в сутках; з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество; и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр; к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии?
184. Реши задачу двумя способами: 1) За 2 кг картошки заплатили 30 р. Сколько стоят 8 кг картошки? 2) Два одинаковых трактора, работая равномерно, вспахали поле за б дней. За сколько дней вспашут это поле 4 таких трактора, если будут работать с той же производительностью? 3) Поезд проехал 612 км за 9 ч. Сколько километров он проедет за 3 ч, если будет ехать с той же скоростью? 4) Автомобиль на путь 250 км затратил 18 л бензина. Сколько бензина потребуется ему, чтобы проехать 500 км при том же расходе бензина на 1 км?
185. Реши уравнения:
186. На рисунке изображен план фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 10 м. Выполни на чертеже необходимые измерения и определи: а) высоту стен реального дома; б) высоту дома с учетом крыши.
187. Длина первого прямоугольника на 20% больше длины второго, а ширина -на 40% меньше ширины второго. На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника?
188. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при сохранении оплаты за единицу продукции заработная плата выросла на 5% ?
189. Построй формулу, описывающую зависимости между величинами в данных задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику обе задачи одновременно. 1) Спортсмен бежит со скоростью 5 м/с. Какое расстояние он пробежит за 4 с? За сколько секунд он пробежит расстояние, равное 15 м? 2) Набор одной страницы рукописи на компьютере стоит 5 р. Сколько рублей надо заплатить за набор 4 страниц? Сколько страниц набрано, если оплата составила 15р.?
190. Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех трех задачах. Построй таблицу и график этой зависимости и реши по графику все три задачи одновременно. 1) Расстояние от деревни до поселка 6 км. За сколько времени проедет его велосипедист, скорость которого 12 км/ч? С какой скоростью надо идти пешеходу, чтобы пройти это расстояние за 2 ч?
2) Бак вмещает 6 м3 воды. За сколько времени выкачает воду из этого бака насос, производительность которого 12 м3/ч? С какой производительностью работает насос, который выкачивает всю воду за 2 ч? 3) В бидоне 6 л молока. Его разлили поровну в 12 банок. Сколько литров молока в каждой банке? Сколько двухлитровых банок можно наполнить из этого бидона?
191. Реши каждую задачу несколькими разными способами 1) За 3 одинаковые книги заплатили 324 р. Сколько рублей стоят 12 таких книг? 2) Заготовленного корма хватит двум хомякам на 60 дней. На сколько дней хватит этого корма 8 хомякам при постоянном расходе корма на одного хомяка в день?
192. Реши уравнения:
193. Докажи высказывания, если
194. Найди значение выражений А, В и С. Подбери четвертое число так, чтобы получилась пропорция. Сколько различных чисел можно подобрать? 0,992 + (8,109 : 1,5 + 840 • 1,04 - 791,406): 12,5;

195. Имеется 4 арбуза различной массы. Как, пользуясь чашечными весами без гирь, расположить их по возрастанию массы посредством не более пяти взвешиваний?
196. Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не делятся на 3; б) делятся на 2 или на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3?
197. В чем состоит способ пропорций? Объясни, почему величины в задачах прямо пропорциональны, и реши их способом пропорций. 1) Наташа готовит для школьного вечера пригласительные билеты. За полчаса она успела оформить 4 билета. За сколько времени, работая с той же скоростью, она оформит 30 билетов? 2) Для приготовления 4 порций салата требуется 50 г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата? 3) Спортсмен, пробежав по кругу стадиона 20 раз, преодолевает 9 км. Сколько километров он преодолеет, пробежав 14 кругов? 4) Из 14 м ткани можно сшить 5 одинаковых платьев. Сколько метров ткани нужно на 3 таких платья?
198. Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций. 1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч? 2) Машинистка печатает со скоростью 180 знаков в минуту. Она может набрать некоторую рукопись за 8 ч. За сколько времени наберет ее машинистка, печатающая со скоростью 200 знаков в минуту? 3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши - в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике? 4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 м?
199. Определи вид зависимости между величинами в задачах и реши их способом пропорций. 1) Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает с той же скоростью 300 страниц? 2) В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150 г? 3) Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40 л, если расход бензина на 1 км останется прежним? 4) На первой из двух сцепляющихся шестерен 32 зубца, а на второй - 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?
200. Реши задачи на проценты способом пропорций. 1) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г, если концентрация раствора составляет 12% ? 2) В 80 т железной руды после ее обогащения содержится 76 т железа. Какой процент железа в обогащенной руде? 3) Вкладчик положил деньги в банк под 6% годовых и получил через год доход 81 р. Какая сумма была положена в банк?
201. Определи, какие компоненты арифметических действий связаны прямой, а какие - обратной пропорциональной зависимостью. Используя способ пропорций, реши задачи. 1) Если некоторое число умножить на 9 -д, то получится 3,5. Что получится, если умножить это же число на 0,8? 2) Если некоторое число разделить на 2 у , то получится 28. На сколько надо разделить это же число, чтобы получить в частном 0,6? 3) Если 7,68 разделить на некоторое число, то получится 240. Какое частное получится, если разделить на тот же делитель число 1,44?
202. Задача-шутка. Один петух разбудил своим пением двух человек. Сколько надо таких петухов, чтобы разбудить 10 человек?
203. Поп со своим работником Балдой возвращались с базара домой со скоростью 4,5 версты в час и прошли весь путь за 1 ч. С какой скоростью они должны были идти, чтобы вернуться домой на 10 мин раньше?
204. Самолет, двигаясь со скоростью 720 км/ч, пролетел расстояние между двумя городами за 2,25 ч. На сколько ему надо увеличить скорость, чтобы сократить время перелета на 15 мин?
205. Мотоциклист за 1,5 ч проехал 40% всего пути. Через сколько времени ему останется проехать треть всего пути, если скорость его не изменится?
206. Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько еще надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?
207. Первая машинистка печатает страницу за 8 мин, а вторая - за 10 мин. Первая машинистка отпечатала за некоторое время 25 страниц. Сколько страниц отпечатала за это же время вторая машинистка?
208. Некоторое расстояние автомобиль проезжает за 3 ч, а грузовик - за 4 ч. Они одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу. Автомобиль проехал до встречи 120 км. Какое расстояние проехал до встречи грузовик?
209. Реши задачи двумя способами - способом пропорций и по правилам решения задач на проценты. Какой способ ты находишь более удобным? 1) Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля засеяно кукурузой? 2) Завод выпустил за первую декаду месяца 1540 автомобилей, что составило 44% месячного плана. Сколько автомобилей должен по плану выпустить завод за месяц? 3) Из 150 деревьев, посаженных в парке, 84 тополя. Какой процент всех посаженных деревьев составляют тополя?
210. Найди два способа решения задачи. Из 100 кг молока получается 8 кг сыра. Сколько килограммов молока нужно для приготовления 30 кг сыра?
211. Бригада из 4 человек выложила за б ч стену из кирпичей высотой 4,8 м. За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и высотой 8 м бригада из 2 человек, работающих с такой же производительностью?
212. Для трех лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Сколько сена надо запасти для пяти лошадей на 120 дней, если расход сена на каждую лошадь одинаков?
213. Для 8 человек, отправляющихся в экспедицию на 30 дней, заготовлено 180 кг крупы. 1) Сколько килограммов крупы при той же норме надо добавить к уже заготовленной, если в экспедицию отправляются 5 человек на 80 дней? 2) На сколько дней хватит 360 кг крупы, если в экспедицию отправляются 12 человек?
214. Интеллектуальная разминка. Подбери для данных трех слов четвертое так, чтобы оно “относилось” к третьему, как второе к первому: 1) Труд - награда, лень - ... 3) Кино - экран, театр - ...2) Дружба - любовь, вражда - ... 4) Человек - туловище, дерево - ...
215. Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:
216. Как изменятся: 1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 4; 2) разность, если уменьшаемое увеличить на 5, а вычитаемое увеличить на 4; 3) произведение, если один множитель уменьшить в 3 раза, а другой -уменьшить в 6 раз; 4) частное, если делимое уменьшить в 3 раза, а делитель уменьшить в 6 раз?
217. Сравни выражения
218. Найди число, если: 1) четверть его трети составляет 3; 2) 80% от его половины равны 0,72; 3) числа на 0,5 меньше этого числа; 4) 120% от числа в 4 раза больше разности этого числа и 3,5.
219. 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби 4, чтобы получить дробь, равную 0,5? 2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби чтобы получить дробь, равную ? 3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель данной дроби? 4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби?
220. Придумай по данному выражению задачу о “доходах” (прибавлении денег) и “расходах” (уменьшении денег) и найди ответ: 1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (+8); 3) (-1) + (-4).
221. Придумай задачу о доходах и расходах по данному выражению и схеме. Как, пользуясь этой аналогией, записать выражение короче, без скобок?
222. Найди значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой:
223. 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 2) Найди на рисунке отрезки, являющиеся медианами треугольников: 3)Сколько медиан в треугольнике? 4) Начерти произвольный треугольник и проведи все его медианы. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на основании выполненных построений?
224. Вычисли:
225. Реши задачи способом пропорций: 1) Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? 2) Для класса куплено 120 тетрадей по 12,5 р. Сколько тетрадей по цене 15 р. можно купить на те же деньги?
226. Реши задачи на проценты способом пропорций: 1) За перевозку мебели заплатили 1200 р., что составило 4% ее стоимости. Сколько рублей стоила мебель? 2) Костюм до снижения цен стоил 7500 р. Цена на костюм снижена на 6%. На сколько рублей снижена цена? 3) В растворе массой 280 г содержится 56 г соли. Чему равна концентрация этого раствора?
227. Подводная лодка, передвигаясь со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 30 мин быстрее?
228. Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь - 276 см. На сколько надо увеличить длину, чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см?
229. Реши задачу двумя способами: В зале расставили 288 стульев в 12 одинаковых рядов. Сколько таких рядов получится из 360 стульев?
230. Бригада из 4 человек за 28 дней сшила 560 одинаковых комплектов белья. За сколько дней сошьет 300 таких же комплектов бригада из 6 человек, если все портные будут работать с одинаковой производительностью?
231. Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная. На сколько данная дробь больше, чем
232. Построй треугольник АВС и проведи в нем медианы AM и BN. Пусть О -точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков АО : ОМ и ВО : ON, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным?
233. Вычисли:
234. Адам Рис (1492 - 1559 гг.) Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
235. Бхаскара I (VI в.) Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7.
236. Бхаскара II (1114 — 1185 гг.) Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящены соответственно богам Шиве, Вишну и Сурье, одна четвертая - Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
237. Раздели число: а) 60 в отношении 5 : 7; б) 15,4 в отношении 3 : 8; в) 210 в отношении 1 : 2 : 3; г) 0,32 в отношении 2:5:9.
238. Упрости отношения: а) 2,5: 4,5; в) 2 : 4 : 12; д) 0,2 : 0,4 : 0,5;
239. Раздели число: а) 39 в отношении 0,25 : 6,25; г) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8;
240. В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Его передали двум бригадам, в одной из которых 8 человек, а в другой - 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при пропорциональном распределении заказа между работниками?
241. За компьютерный набор рукописи два оператора получили 3500 р. Один из них набрал 105 страниц данной рукописи, а другой - остальные 35. Какая сумма денег была выплачена за эту работу каждому оператору, если стоимость страницы набора была постоянна?
242. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 5, причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой. Найди длину каждой части.
243. Отрезок MN разделен точками К и Т в отношении 1:2:3, причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой. Чему равна длина всего отрезка?
244. Периметр треугольника равен 150 м. Чему равны длины его сторон, если их отношение равно 3:3:4?
245. Длины сторон четырехугольника пропорциональны числам 2, 5, 3 и 7, а его большая сторона на 30 см превышает меньшую. Чему равен периметр четырехугольника?
246. Для праздника купили красные и белые шары в отношении 5 : 3. 1) Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех шаров? 2) Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех шаров? 3) Сколько процентов всех шаров составляют красные, а сколько - белые шары?
247. Число однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир в доме относится как 2:3:5. 1) Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир? 2) Сколько процентов всех квартир составляют однокомнатные квартиры?
248. Число мужчин, женщин и детей, отдыхающих в пансионате, пропорционально числам 3, 4 и 1. 1) Сколько всего отдыхающих в пансионате, если детей в нем 12? 2) Сколько мужчин в пансионате, если женщин и детей вместе 45? 3) Сколько в пансионате детей, если женщин на 42 больше, чем мужчин? 4) Сколько процентов всех отдыхающих составляют дети?
249. В хоровой студии занимаются 96 детей. Отношение числа детей в младшей, средней и старшей группах равно соответственно 7:5:4. На сколько больше детей занимается в младшей группе, чем в старшей?
250. При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось как 10:3:7. Сколько деревьев каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером 180 м х80 м, если под каждое дерево выделяют участок 45 м2?
251. Лиственные деревья занимают 40% площади лесного участка. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причем их площади относятся как 2:3. Определи площадь всего участка, если сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый.
252. Три коммерсанта вложили в проект соответственно 0,5 млн. р., 1,6 млн. р. и 2,9 млн. р. Проект принес 32% прибыли. На 80% полученной прибыли они закупили оборудование, а остальные деньги распределили пропорционально вложенным суммам. Сколько денег получил каждый из коммерсантов?
253. В трех шестых классах школы 108 учащихся. Число учащихся 6 “А” относится к числу учащихся 6 “Б” как 4 : 5, а число учащихся 6 “В” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “А” и 6 “Б”. Сколько учеников в каждом из шестых классов?
254. Среднее арифметическое трех чисел равно 8,4. Первое из них на 20% меньше второго, а второе относится к третьему как 5:9. Найди эти числа.
255. Раздели число а на три части
256. Для изготовления фарфора берут глину, гипс и песок в следующих отношениях: масса гипса относится к массе глины как 1 : 25, а масса песка относится к массе гипса как 2:1. Сколько этих материалов надо взять, чтобы изготовить 56 кг фарфора?
257. Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника, если АВ относится к ВС как 3 : 4, а ВС относится к АС как 2:3.
258. 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как 3 : 8, второе к третьему - как 2 : 5, а сумма первого и третьего равна 4,6. 2) Найди три числа, если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6, второе к третьему - как, а разность третьего и первого равна о,5. 3) Найди числа а, b, с, если а : 6 = 1:2, b : с = 3:4, с : d = 2 : 7, а их сумма равна 90. 4) Найди числа а, Ь, с и d, если, а их среднее арифметическое равно 1,3.
259. Трем победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн. р. При этом вторая премия составила 60% первой и относится к третьей как. Чему равны размеры этих премий?
260. Фермер засеял три участка земли. Площадь первого составляет 30% площади второго, а площадь второго относится к площади третьего как 2,5 : 3. Чему равна общая площадь всех трех участков, если известно, что площадь третьего больше площади первого на 4,5 га?
261. Вычисли устно. Составь ряд, образованный ответами примеров, и продолжи его на два числа, сохраняя закономерность:
262. Выполни действия и расшифруй математические термины. Какие из них тебе уже известны, а какие - еще нет?
263. Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при a
264. Переведи на математический язык: 1) Разность удвоенного числа а и куба числа б на 4 больше половины числа с 2) 40% числа d на 5 меньше отношения квадратов чисел тип. 3) Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго числа. 4) Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20% от утроенного квадрата уменьшаемого.
265. Дачи двух друзей - Петра и Антона - находятся на одном шоссе: дача Петра - на расстоянии 60 км от Москвы, а дача Антона - на расстоянии 80 км от Москвы. Однажды друзья выехали одновременно со своих дач в Москву на велосипедах. Петр ехал со скоростью 15 км/ч, а Антон - со скоростью 20 км/ч. Запиши формулу зависимости расстояния d км между ними от времени движения t ч (до момента встречи). Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений 0 < t < 4.
266. В физике установлен следующий закон (закон Гука): F = kx, где F - сила упругости при растяжении (сжатии) упругого тела, k - коэффициент упругости этого тела, х - изменение его длины. Укажи вид зависимости между F и х при постоянном k. Вырази из этой формулы значения k и х.
267. Найди среди данных формул прямую и обратную пропорциональности. Построй для каждой из них таблицу и график:
268. Для 6 порций суфле из тыквы требуется 800 г тыквы, 150 г манной крупы, 100 г муки, 8 яиц, 50 г сыра, 0,5 стакана молока, 100 г сливочного масла, 1 столовая ложка сахара и 1 чайная ложка соли. Какое количество каждого из продуктов потребуется для приготовления 15 порций этого суфле?
269. Найди х из пропорций, если значения всех переменных отличны от нуля:
270. Реши уравнения:
271. Реши задачи способом пропорций: 1) Машина грузоподъемностью 2,5 т может перевезти некоторый груз за 18 рейсов. За сколько рейсов сможет перевезти этот груз машина, грузоподъемность которой на 1 т меньше, если загрузка машин в обоих случаях полная? 2) Хозяйка купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 р. за килограмм. Сколько крупы по цене на 3,2 р. за килограмм большей можно купить на эти деньги?
272. Найди неизвестную операцию:
273. Пользуясь числовой прямой, найди ответы примеров:
274. Реши примеры: а) с помощью понятий доходов и расходов; б) пользуясь числовой прямой.
275. Раздели число: а)240 в отношении 4:11; в)56 в отношении 2:3:9;
276. 1) Отрезок АВ длиной 15 см разделен точкой С в отношении 3 : 7. Найди длину каждой части. 2) Отрезок MN разделен точкой К в отношении 3,4 : 1—, причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой. Чему равна длина всего отрезка? 3) Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 6, а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм. Чему равен периметр треугольника?
277. Число девочек в классе относится к числу мальчиков как 2:3. 1) Сколько в классе девочек и сколько мальчиков, если всего в классе 35 человек? 2) Сколько в классе мальчиков, если девочек в нем 8? 3) Сколько в классе девочек, если мальчиков в нем 15?
278. Предприятие выпустило акции. Владельцами 40% акций стали его работники, а остальные акции приобрели фирмы М и N в отношении 7 : 9. У какой из этих фирм акций больше и на сколько, если работникам этого предприятия принадлежат 48 000 акций?
279. Раздели число a на три части
280. Три кладоискателя нашли клад, в котором оказалось 5600 одинаковых старинных монет, государству принадлежит 75% всех монет, а 30% оставшейся части составили налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так, что доли первого и второго относились как 2 : 3, а доли второго и третьего - как 5:8. Сколько монет получил каждый кладоискатель?
281. Реши задачи способом пропорций: 1) Поезд проехал 420 км, что составило 35% его пути. Чему равен путь поезда? 2) За 3,2 м ткани заплатили 284,8 р. Сколько рублей надо заплатить за отрез такой же ткани, в котором на 1,6 м больше, чем в первом?
282. Раздели число 21 на части пропорционально числам А и В:
283. Сделай один ступенчатый разрез фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы из двух получившихся частей молено было сложить квадрат.
284. Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам, показанным на рисунке, и сложи из полученных кусков один треугольник.
285. Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.
286. Задачи для самопроверки. Пусть длина шага пешехода равна I, а число сделанных им шагов - п. 1) Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния s, пройденного пешеходом, от / и п. 2) Какие из двух величин в этой формуле при постоянной третьей прямо пропорциональны, а какие - обратно пропорциональны? 3) Вырази из этой формулы величины.
287. Волк гонится за зайцем. Скорость волка 12 м/с, а скорость зайца - 8 м/с. Сейчас между ними 100 м. Пусть через t секунд расстояние между волком и зайцем станет d м. Запиши формулу зависимости расстояния d от времени движения до момента их встречи.
288. Для определения возможностей спортсменов А, В и С тренер предложил им бежать по шоссе “как можно быстрее и дальше”. Используя графики их бега, определи: 1) Кто пробежал дальше всех? 2) Кто бежал дольше всех? 3) Сколько километров пробежал спортсмен А за первый час? Где в это время находились спортсмены В и С - впереди или позади А? 4) Сколько времени бежал спортсмен В? Сколько километров он пробежал? Чему равна его средняя скорость? 5) Кто бежал быстрее всех (с наибольшей средней скоростью)? 6) Сколько километров пробежал спортсмен В, когда С пробежал 12 км?

289. Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?
290. Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем, ни другим: 1) путь, пройденный за данное время, и скорость движения; 2) время выполнения данного объема работы и производительность труда; 3) число мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников.
291. Чтобы приготовить 10 штук сладкого перца, фаршированного кабачками, потребуется 75 г жира и 400 г кабачков. Сколько жира и кабачков надо взять для приготовления 28 штук такого перца?
292. Пешеход, скорость которого 3 км/ч, прошел некоторое расстояние за 2 ч 40 мин. За сколько времени проедет это расстояние повозка, если ее скорость 6 км/ч?
293. Реши задачи способом пропорций: 1) На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час, если производительность линии постоянная? 2) Оператор набрал на компьютере рукопись за 4,2 ч, работая с производительностью 15 стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого составляет 21 стр./ч? 3) Картошка стоила 15 р. Ее цена увеличилась на 20%. Чему равна новая цена картошки?
294. Раздели число: а) 85 в отношении 3 : 14; б) 9,6 в отношении 0,2 : 0,4 : 0,6.
295. В квартире проживают две семьи. Одна из них состоит из четырех человек, а другая - из трех. Как эти семьи должны распределить абонентскую плату за телефон, которая составляет 350 р. в месяц, если все они в одинаковой степени пользуются телефоном?
296. Периметр треугольника равен 68 см, а длины сторон пропорциональны числам 4, 5 и 8. Найди разность большей и меньшей сторон этого треугольника.
297. Сплав состоит из меди, олова и сурьмы, которые входят в него в отношении соответственно 3:11:6. Найди процентное содержание в этом сплаве меди, олова и сурьмы. Чему равна масса сплава, если олова в нем на 4 кг больше, чем меди?
298. Площадь трех участков земли 45 га. Площадь первого участка составляет 20% общей площади, а площади второго и третьего относятся как 11:7. На сколько гектаров площадь первого участка меньше площади третьего?
299. Вычисли:
300. Используя знаки “+” и запиши: а) 7° тепла; в) расход 140 р.; д) выигрыш 8 очков; б) 12 мороза; г) доход 560 р.; е) проигрыш 4 очка.
301. Используя знаки “+” и запиши: а) увеличение на 12; б) уменьшение на 5 кг; 2) Во время наблюдений за изменениями уровня воды в реке в течение недели были сделаны записи, приведенные в таблице. Что они означают?
302. Приведи примеры использования положительных и отрицательных чисел в практических задачах.
303. а) В чемпионатах но футболу места команд при равном числе набранных очков определяют по разности забитых и пропущенных мячей. Объясни, что означают записи:
Команда Разница забитых и пропущенных мячей “Спартак”, “Сатурн”, “Метеор”. б) Вырази числом разницу забитых и пропущенных мячей у команд: в)Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд, если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом (первое число равно числу мячей, забитых данной командой, а второе - число мячей, забитых ее соперниками):
304. Установи на модели термометра температуру: +5°; -3°; 0°; -10°; +14; +6,6 ; -0,6. 2) Какой станет температура, если она: а) увеличится с -5 на 8°; б) уменьшится с 2° на 6°; в) уменьшится с -3” на 7"; г) увеличится с -4° на 10°?
305. 1) Определи по изображенной на рисунке шкале прибора значение величины, которое показывает стрелка в положении А, В, С, D, Е, F. 2) Пользуясь циркулем и транспортиром, построй данную шкалу прибора в тетради (R = 3 см). Отметь на шкале точки с указанными координатами: М(+20), N(-45), Р(+125), Я(-160), S(-72), Т(+98).
306. Изобрази в тетради шкалу термометра и отметь на ней температуру: а) +6; б)-2; в)-7°; г)+3,6°; д) -5,8; е)-4,3°.
307. Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия “координатная прямая”: а) на прямой выбрано начало отсчета; б) на прямой выбран единичный отрезок;
в) на прямой выбрано направление; г) прямая расположена горизонтально? Сформулируй определение координатной прямой, перечислив все ее существенные признаки. Сравни построенное тобой определение с определением, приведенным в тексте учебника на стр. 70.
308. Какие из прямых на рисунке являются координатными прямыми, а какие - нет?
309. Найди в тексте учебника на стр. 70 определение координаты точки. Построй на координатной прямой точки О (0), А (1), В (-3), С (5,8), D (-12)
310. На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D, Е и F. Запиши их координаты. Какие закономерности ты наблюдаешь?
311. Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь? 1) Л (-9), В (-8), С (-5), D (-4), Е (-1), F (0), G (3), Н (4) (единичный отрезок - 2 клетки); 2) Л (2), В (1,5), С (0,25), D (-1), Е (-2), F (-3,5) (единичный отрезок - 4 клетки); 3) Л (1,4), В (0,8), С (0,2), D (-0,4), Е (-1), F (-1,6) (единичный отрезок - 10 клеток); единичный отрезок - 6 клеток.
312. На координатной прямой даны точки Л (3) и В (-2). Отметь на этой прямой начало отсчета и единичный отрезок. Запиши координаты точек С, D и Е.
313. По данным выражениям придумай задачи о доходах и расходах и реши их. Запиши эти выражения без скобок, используя представления об изменении величин. Проверь ответы с помощью координатной прямой.
314. Запиши сумму чисел и найди ее с помощью координатной прямой. Что ты замечаешь? 1) +5 и -3; 3) -4 и -1; 5)-8 и +2; 7)-5 и 0; 9)+7 и -7; 2) -3 и +5; 4) -1 и -4; 6)+2 и -8; 8) 0 и -5; 10)-7 и +7
315. Переведи запись на язык “изменения температур”. Найди результаты этих изменений, пользуясь координатной прямой:
316. Назови элементы множества, которые являются натуральными числами, целыми числами, рациональными числами.
317. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств N, Z и Q, где N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, a Q - множество рациональных чисел. Отметь на диаграмме числа:
318. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Выпиши истинные высказывания и из соответствующих им букв составь имя русского полярного исследователя.
319. Изобрази точкой на координатной прямой число x, если:
320. Вычисли устно и найди произведение полученных чисел наиболее удобным способом:
321. Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:
322. 1) Моторная лодка прошла по течению реки 9,6 км за -7-4, а против течения это же расстояние она шла на 35 мин дольше. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?2) Собственная скорость катера в 8 раз больше скорости течения реки. Двигаясь против течения, катер прошел 21 км за 1 ч 15 мин. На сколько километров больше пройдет он за то же время, двигаясь по течению реки? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?
323. Найди значения выражений: 1) 3ab, если a = 0,57
324. Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при x = 1,5; у = 1
325. Переведи на математический язык высказывания: 1) Утроенное произведение числа а и квадрата числа b на 50% больше куба числа с. 2) Разность квадратов чисел х и у на 40% меньше их среднего арифметического. 3) Куб частного чисел т и п на 300% больше частного квадратов этих чисел. 4) Произведение суммы и разности чисел c и d на 90% меньше суммы их кубов.
326. 1) Два коммерсанта вложили в проект соответственно 2,8 и 3,2 тыс. долларов. Полученная прибыль составила 1800 долларов. Как ее распределить пропорционально вкладу каждого? 2) Лиственные деревья занимают 20% площади лесного массива. Остальная часть занята кустарником и хвойными деревьями, причем их площади относятся как 3 : 5. Чему равна площадь всего лесного массива, если кустарником занято на 14 га меньше, чем хвойным лесом?
327. Из цифр 2, 5, 7, 8 составь множество чисел, кратных: 1) девяти; 2) трем; 3) пяти; 4) четырем. Каждая цифра может входить в запись числа не более одного раза.
328. Сократи дроби, если значения всех переменных отличны от нуля:
329. Блицтурнир. 1) Скорость парохода по течению реки равна а км/ч, а скорость плота на этой реке - b км/ч. Какое расстояние проплывет пароход за 5 ч, двигаясь по озеру? 2) Скорость течения реки, равная с км/ч, составляет 20% собственной скорости лодки. Чему равна скорость лодки против течения? 3) Скорость теплохода по течению реки равна d км/ч, а против течения -на 20% меньше. Чему равна собственная скорость теплохода? 4) Катер проходит расстояние s км за 2 ч, двигаясь по течению реки, и за 3 ч - против течения. Чему равна скорость течения реки?
330. Запиши с помощью знаков “+” и “-” высоты гор и глубины морей: а) высота пика Победы 7439 м; б) высота горы Эльбрус 5642 м; в) наибольшая глубина Каспийского моря 1025 м; г) наибольшая глубина Тихого океана 10 920 м (Марианский желоб). Пользуясь справочником или энциклопедией, приведи еще 4 примера обозначения величин с помощью знаков “+” и “-”
331. Начерти координатную прямую и отметь на ней данные точки. Выпиши точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета. Что можно сказать о координатах этих точек?
1) А(-5), B(7), С(-2), D(-7), E(1), F(5), G(2), Н(-1) (единичный отрезок -2 клетки); 2) А(2-), B(1,5), С(-3), D(-2), E, F(-1,5), G, H(3) (единичный отрезок - 3 клетки).
332. Построй координатную прямую и отметь на ней точки М(-5), Л(2), У(0), 0(-3), B(4), Д(-1). Если задание выполнено верно, то буквы образуют математический термин. Найди на стр. 79, что он означает, и выпиши его определение в тетрадь.
333. Расстояние между двумя пристанями на реке 32,4 км. За сколько времени катер проплывет этот путь и вернется обратно, если собственная скорость катера 18 км/ч, а скорость течения реки на 80% меньше скорости катера?
334. Найди значения выражений:
335. Предприятие выпустило 50 000 акций. 30% всех акций были распределены между работниками предприятия, а остальные проданы трем фирмам -“Альфа”, “Бета” и “Гамма” - в отношении 1:2:4. На сколько акций больше купила фирма “Гамма”, чем “Альфа”?
336. Сократи дроби:
337. Составь выражение и найди его значение при s = 45,6; b = 1,6: Теплоход проплыл расстояние s км по течению реки за 3 ч. Чему равна его скорость против течения, если скорость течения реки равна b км/ч?
338. Вычисли:
339. Отцу 45 лет, а сыну 10. Через сколько лет их возрасты будут относиться как 9 : 4?
340. Разрежь каждую фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части.
341. 1) Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались. Помоги царю Дадону нарисовать схему расположения дорог и городов. 2) Царь Салтан решил построить для своих вассалов шесть замков и соединить каждые два из них дорогами. Но он хочет, чтобы было только 3 перекрестка и на каждом из них пересекались ровно две дороги. Сможешь ли ты нарисовать такую схему расположения дорог и замков?
342. Какие числа называют противоположными? Найди пары взаимно противоположных чисел:
343. Прочитай равенство и объясни, почему оно верно:
344. Назови и запиши число, противоположное данному:
345. Можно ли считать, что символ (-а) обозначает отрицательное число? Приведи контр пример. Сделай вывод.
346. Запиши без скобок:
347. Допиши равенства так, чтобы получились верные высказывания:
348. Реши уравнения:
349. Закончи предложения: 1) Если число положительно, то противоположное к нему число ... 2) Если число отрицательно, то противоположное к нему число ... 3) Если число неотрицательно, то противоположное к нему число ... 4) Если число не положительно, то противоположное к нему число ...
350. Прочитай высказывания и определи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний:
351. Прочитай равенство, используя слова “модуль” и “расстояние”. Является ли это высказывание истинным?
352. Отметь на координатной прямой точки, модуль которых равен 2,6,0. Сколько точек отмечено в каждом случае? Сделай записи.
353. Запиши множество чисел, модуль которых равен:
354. Найди модули чисел и запиши значение модулей. Расположи данные числа в порядке убывания модулей, сопоставь им соответствующие буквы, и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков. На каком материке находится эта точка?
355. Сравни модули чисел. Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей рациональных чисел.
356. Вычисли:
357. Известно, что. Чему равен? Сделай вывод.
358. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:
359. Реши уравнения с объяснением, пользуясь понятием “расстояние”:
360. 1) А - множество целых чисел, модуль которых меньше 4; В - множество целых чисел, модуль которых меньше или равен 4; С - множество натуральных чисел, модуль которых меньше или равен 4. Запиши множества А, В и С с помощью фигурных скобок и отметь их элементы на координатной прямой. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В и С.
2) Е - множество целых чисел, модуль которых больше 2; F - множество целых чисел, модуль которых больше или равен 2; М — множество отрицательных целых чисел, модуль которых больше или равен 2. Запиши множества Е, F и М с помощью фигурных скобок и сделай рисунки. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств Е, F и М.
361. Найди множество всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству, и сделай рисунки.
362. Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:
363. Вычисли устно и продолжи ряд ответов на два числа, сохраняя закономерность:
364. Найди координаты точек координатной прямой, удаленных: а) на 3 единицы от точки А (1); б) на 2 единицы от точки В (-1); в) на 4 единицы от начала координат.
365. Составь из элементов этого множества подмножества: 1) В - отрицательных рациональных чисел; 2) С -натуральных чисел; 3) D - целых чисел; 4) Е - целых отрицательных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В, С, D и Е.
366. Определи координаты точек А, В, С и D:
367. Прочитай неравенство и найди множество его целых решений. Сделай чертеж.
368. Что общего и что различного в данных выражениях? Какое выражение может быть “лишним”? Запиши остальные выражения в общем виде с помощью переменной х:
369. Прочитай и сравни выражения - в чем их сходство и в чем отличие? Найди значения этих выражений:
370. Сравни числа: а) 29 374 и 9537; б) 805 168 и 840 168; в) 3,57 и 3,517; г) 12,042 и 15,032;
371. 1) Скорости двух пешеходов относятся как 5 : 4. На сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго? На сколько процентов скорость второго пешехода меньше скорости первого? 2) Скорости двух лыжников относятся как 9 : 10. На сколько процентов скорость первого лыжника меньше скорости второго? На сколько процентов скорость второго лыжника больше скорости первого?
372. Из двух городов, расстояние между которыми равно 18 км, выехали одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Через 1 ч 45 мин после выезда расстояние между ними было равно 270 км. На сколько километров в час скорость первого автомобиля меньше скорости второго, если их скорости относятся как 5 : 7?
373. В 8 ч 50 мин из деревни в село вышел пешеход. Через ч навстречу ему из села в деревню вышел другой пешеход, и в 10 ч 10 мин пешеходы встретились. Скорость второго пешехода была на 50% больше скорости первого, и поэтому первый, хотя вышел раньше, до встречи прошел на 0,5 км меньше второго. Чему равно расстояние между селом и деревней?
374. Найди расстояние между объектами через 0,3 ч после начала движения, считая, что в течение этого времени вид движения не менялся. Придай значения переменным и найди ответ.
375. Представь выражения в виде дроби при ненулевых значениях переменных:
376. Найди значение выражения наиболее рациональным способом:
377. Вставь число так, чтобы получилось истинное высказывание. Переведи высказывание с математического языка на русский и сделай чертеж:
378. Реши уравнения и расположи их корни на координатной прямой. Если задание выполнено верно, то соответствующие им буквы образуют имя древнегреческой богини судьбы и случая.
379. Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу. Запиши на математическом языке закономерности, которые ты наблюдаешь.
380. Найди значение выражения:
381. Реши уравнения:
382. Найди множество целых решений неравенства и сделай рисунок:
383. Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:
384. Прочитай выражения и запиши их перевод с математического языка на русский. Найди значения этих выражений при b = 12, с = 3:
385. В классе число мальчиков относится к числу девочек как 8: 5. На сколько процентов мальчиков в классе больше, чем девочек? На сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков?
386. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 27 км, и через 25 мин расстояние между ними стало равно 12 км. Скорости велосипедистов относятся как 5:4. а) Через сколько времени после своего выезда они встретились? б) Какое расстояние проехал до встречи каждый велосипедист?
387. Придумай задачу по схеме, считая, что в течение указанного времени вид движения не менялся. Придай переменным значения, соответствующие условию твоей задачи, и найди ответ.
388. Найди значения выражений:
389. Путешественник Вася, живущий в 50 км от мест проведения турнира Архимеда, решил поехать на турнир на велосипеде. Рассчитав время, он проехал первые 10 км с запланированной скоростью, но затем велосипед сломался и Васе пришлось пойти пешком. Через некоторое время Васе повезло, и последние 24 км он ехал на попутной машине. Удалось ли Васе приехать на турнир к запланированному сроку, если скорость Васиной ходьбы была в 2,5 раза меньше скорости велосипеда, а скорость машины - в 6 раз больше?
390. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?
391. Реши уравнения:
392. Реши неравенства:
393. Какое значение температуры больше, а какое - меньше? Запиши ответ, используя знак или знак:
394. Отметь схематически на координатной прямой числа: 2,4: -5; -14 5 -3,8; -10,5. Сравни их с нулем. Сделай вывод. 2)Сравни с нулем числа: -4,36; 0,01;
395. Запиши на математическом языке: 1) Число a - положительное. 2) Число b - отрицательное. 3) Число, противоположное с, - положительное. 4) Число, противоположное d, - отрицательное.
Отметь числа a, b, с и d на координатной прямой, если
396. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:
397. Отметь схематически числа на координатной прямой и сравни их. Что общего и что различного в примерах каждого столбика? Сделай вывод.
398. Сравни числа:
399. Какие числа соответствуют точкам А, В, С, D и Е координатной прямой? Запиши эти числа: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания.
400. Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?
401. Поставь вместо звездочки знак или знак
402. Прочитай неравенство и запиши множество его целых решений:
403. Известно, что и b - положительные числа, а т и п - отрицательные. Сравни:
404. Найди множество чисел, удовлетворяющих условию, и запиши его, если возможно, с помощью двойного неравенства:
405. Стоимость х р. билета в театр зависит от номера ряда п, в котором расположено место, в соответствии со следующими расценками: Сколько стоит билет в этот театр на места, расположенные в 8-м ряду, 10-м ряду, 15-м ряду, 18-м ряду, 20-м ряду?
406. Скорость v км/ч пешехода изменялась в зависимости от времени его движения t ч следующим образом: 3, если 0 < t < 1,5; 4,2, если 1,5 < t < 2; 0, если 2 < t < 3; 2,8, если 3 < t < 5. Чему была равна скорость пешехода через 40 мин после выхода, через 1 ч 50 мин, через 2 ч 30 мин, через 4 ч 10 мин?
407. Запиши определение модуля в “разветвленной” форме. Пользуясь им, найди модули чисел: 1) 9; 2) -5;
408. Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в “разветвленной” форме:
409. Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера-Венна множеств N, Z и Q и отметь на ней элементы множества

410. Реши уравнения:

411. На четырех полках 180 книг. На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй, а число книг на третьей полке составляет 60°/) от числа книг на второй и от числа книг на четвертой полке. Сколько книг на каждой полке? На сколько процентов число книг на четвертой полке меньше среднего арифметического числа книг на первых трех полках?
412. В четырех классах начальной школы 106 учеников. Во втором классе на 3 ученика больше, чем в первом, а число учеников в третьем классе составляет от числа учеников в первом и 96% от числа учеников в четвертом классе. Сколько учеников в каждом классе? На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе?
413. Выполни вычисления но алгоритму, заданному блок-схемой, сопоставь полученным значениям х соответствующие буквы и расшифруй имя и фамилию известного художника и ученого. Где и когда он жил и чем знаменит?
414. Выполни деление и округли результат до сотых: 1)63,04:0,9; 2)0,0348:0,07; 3)5,554:1,8; 4)11,31:0,56.
415. Вычисли и запиши следующие три числа в ряду ответов так, чтобы сохранялась закономерность:
416. Расположи числа в порядке убывания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических фигур:
417. Поставь вместо звездочки знак или знак
418. Реши уравнения:
419. Юбка, блузка и пиджак стоят вместе 5040 р. Стоимость блузки составляет 40% стоимости пиджака и стоимости юбки. Сколько стоит каждая вещь? Во сколько раз стоимость юбки больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки?
420. Выполни деление 15,5151 : 0,36 и округли результат: 1) до десятков; 2) до единиц; 3) до десятых; 4) до сотых; 5) до тысячных.
421. Старинная задача. У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трех вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трех вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?
422. Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?
423. Запиши данные изменения в виде суммы рациональных чисел и выполни действия: а) доход 5 р. и расход 8 р.; б) расход 30 р. и расход 40 р.; в) расход 2 тыс. р. и доход 7 тыс. р.; г) уменьшение температуры на б °С и увеличение на 2 °С; д) уменьшение температуры на 3 °С и уменьшение на 9 °С; е) увеличение уровня воды в реке на 25 мм и уменьшение на 40 мм; ж) из автобуса вышли 7 человек, а вошли 6 человек; з) со склада увезли 4 т картофеля, а привезли 10 т.
424. Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ: а) (-9) +(+4); б) (+6) + (+3); в) (-5) + (-2); г)(-1) + (+7).
425. Выполни сложение чисел с помощью координатной прямой: а) (-3) + (+8); б) (-1) + (-4); в) (-6) + (+4); г) (-2) + (+5) + (-3).
426. Что больше: 1) сумма двух положительных чисел или одно из них; 2) сумма двух отрицательных чисел или одно из них?
427. Найди результат действия, ориентируясь на некоторую практическую ситуацию, и проверь полученный ответ с помощью координатной прямой. Что общего в примерах каждого столбика? Сделай вывод.
428. Рассмотри блок-схему алгоритма сложения рациональных чисел. Верно ли она составлена?
429. Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму
430. Определи знак суммы:
431. Какое правило иллюстрирует следующая схема: Дорисуй схемы и сформулируй правила:
432. Что общего в примерах каждого столбика? Выполни действия
433. Вычисли и расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам. Если вычисления выполнены верно, то полученное слово - название второго по высоте действующего вулкана в мире. В какой части света он находится?
434. Подбери неизвестные слагаемые в сумме:
435. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:
436. 1) Сформулируй переместительное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь переместительное свойство для значений переменных: а) -4,8 и 0,3; б) -З и -1,15. 2) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь сочетательное свойство для значений переменных: а) -1,5; +2,7; -0,2; б) -2; -1,4; +0,8. 3) Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой рациональных чисел. В чем значение этих свойств для практических вычислений? Приведи примеры.
437. Раскрой скобки и запиши выражение в виде алгебраической суммы. Есть ли в этой сумме противоположные слагаемые? Если да, подчеркни их.
438. Запиши выражение в виде суммы и назови противоположные слагаемые, если они есть:
439. Переставь слагаемые в сумме всеми возможными способами:
440. Вычисли:
441. Переведи с русского языка на математический: 1) Сумма противоположных чисел равна нулю. 2) Модули противоположных чисел равны. 3) Сумма любого числа с нулем равна самому числу. 4) При перестановке слагаемых значение суммы не меняется. 5) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
442. Сложив сначала противоположные числа, найди значения выражений: а) 158 - 392 + 75 - 158 - 75;в) -2,49 + 3,5 + 2,49 - 1,67 - 3,5;
443. Найди значения выражений, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: а) 18 - 72 - 9 + 39 - 54 + 17 - 39; б) -46 + 283 - 745 + 179 - 594 + 745 + 82; в) 0,17-6 + 1,3 + 2,8 - 0,17 - 0,9 + 7,4; г) -6,4 + 12 - 2,5 - 6,4 + 2,5 + 8,9 - 5,8; д) -0,1 - 14 + 3,05 + 4,2 - 0,85 - 0,05 + 0,85; е) -98,9 + 4,38 - 3,27 + 32,7 + 60,215 - 1,15 + 3,27.
444. Выбрав удобный порядок вычислений, найди значения выражений:
445. Вычисли наиболее удобным способом:
446. Вычисли устно:
447. Выбери из множества подмножество: 1) В - положительных чисел; 2) С - отрицательных чисел; 3) D - целых чисел; 4) Е - натуральных чисел; 5) F - неотрицательных целых чисел; 6) К - отрицательных дробных чисел. Построй диаграмму множеств Л, В, С и D и отметь на ней элементы множества А.
448. Расположи числа в порядке возрастания. Запиши ответ с помощью двойного неравенства:
449. Сколько элементов содержит множество целых решений неравенства:
450. Пользуясь рисунками, сравни числа а и b с нулем, между собой и сравни их модули:
451. Объясни, почему равносильны высказывания: Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства:
452. Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Чему равны периметр и площадь прямоугольника, если: 1) длина больше ширины в 1,3 раза; 2) ширина составляет длины; 3) длина на 60% больше ширины; 4) ширина на 10% меньше длины?
453. Блицтурнир. 1) Ширина прямоугольника а см, а длина на 30% больше. Чему равен периметр прямоугольника? 2) Длина прямоугольника Ь дм, а ширина на 20% меньше. Чему равна площадь прямоугольника? 3) Ширина прямоугольника с м, что составляет его длины. Чему равна длина стороны квадрата с тем же периметром 4) Сторону квадрата, равную d см, уменьшили на 40%. На сколько квадратных сантиметров уменьшилась его площадь? 5) Длина прямоугольника а дм, а площадь - п дм2. Чему равен периметр прямоугольника? 6) Ширина прямоугольника b м, а периметр - р м. Чему равна площадь прямоугольника?
454. 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25%, а вторую - увеличили на 60%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов? 2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?
455. Прочитай и упрости отношения, если значения всех переменных отличны от нуля. Какое свойство отношений при этом используется? а) 39: 52; в) 4:1,6; д) 0,3 : 0,18 : 0,12;
456. В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону ЛВ в отношении 1 : 6, а точка N делит сторону CD в отношении 3:4, считая соответственно от вершин А и D. Известно, что АВ = 14 см, AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD1 Найди лишние данные в условии этой задачи.
457. В прямоугольнике ABCD точки М и N делят сторону АВ в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины А. Известно, что АВ = 24 см, AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD1 Найди лишние данные в условии этой задачи.
458. Найди неизвестный член пропорции:
459. Реши уравнения:
460. Знаменатель дроби на 20% больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 4, а знаменатель увеличить в 3 раза, то дробь обратится в . Чему равен знаменатель дроби? 2) Отношение трех чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64, а четвертое число составляет 25% третьего. Чему равно среднее арифметическое этих чисел, если сумма первых двух равна 8?
461. Сумма четырех чисел равна 200. Первое число составляет 24% всей суммы и второго числа, а третье и четвертое относятся как. Найди эти числа. Какую часть четвертое число составляет от среднего арифметического первых трех чисел? Вырази эту часть в процентах.
462. Найди процентное отношение чисел А и В:
463. Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму:
464. Вычисли и расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что обозначает получившееся слово? Что тебе известно о нем? (-7) + (-9)
465. Подбери неизвестные слагаемые в сумме
466. Вычисли
467. Найди значения выражений и расположи их в порядке возрастания. Ответ запиши в виде двойного неравенства. -36 - 14 + 29 - 56 + 67 + 14; 225 - 536 + 439 - 74 - 439 + 382; +0,42 - 9,3 + 2,4 + 3,8 - 0,9 + 1,08.
468. Реши уравнения и неравенства:
469. Ширина прямоугольника на 8 м меньше длины. Найди периметр и площадь прямоугольника, если: 1) ширина составляет длины ; 2) длина больше ширины в 1,4 раза; 3) ширина на 20% меньше длины; 4) длина на 80% больше ширины.
470. 1) Одну сторону прямоугольника увеличили на 50%, а вторую уменьшили на 30%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов? 2) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 60%, а ширину уменьшили на 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?
471. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 20 см, а сторона АВ на 60% больше стороны AD. Точка М делит сторону АВ в отношении 4:1, считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD? Найди лишние данные в условии этой задачи.
472. 1) Числитель дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то получится дробь, равная. Чему равен знаменатель дроби? 2) Отношение двух чисел равно 0,5:0,3, а их разность равна 1 . Чему равно их среднее арифметическое?
473. Сумма четырех чисел равна 4,2. Отношение первых трех чисел равно 1,2:4: 0,8, а четвертое число составляет 60% второго. Найди первое число. Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трех чисел? Вырази эту часть в процентах.
474. Найди процентное отношение чисел А и В:
475. Математические софизмы. Софизм (от греческого sophisma - хитрая уловка, измышление) - логически неправильное рассуждение, выдаваемое за правильное.
476. Назови уменьшаемое и вычитаемое в разности. Замени вычитание сложением и вычисли: а) (+1) - (+9); б) (-3) - (+6); в) (+4)-(-2); г) (-7) - (-5);
477. Выполни предыдущее задание, представляя выражения в виде алгебраической суммы. Какой способ вычислений ты находишь более удобным?
478. Вычисли:
479. Найди значения выражений, расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Как ты думаешь, что обозначает получившийся математический термин?
480. Вставь пропущенное число:
481. Реши уравнения двумя способами. Сделай проверку.
482. Реши уравнения и сделай проверку:
483. Найди значения двух данных выражений и сравни их. Какие закономерности ты наблюдаешь? Запиши их в обобщенном виде.
484. Раскрой скобки в выражении а - (Ь + с) и переведи с математического язы-- ка на русский правило вычитания суммы из числа. Проверь его при: 3)произвольно выбранных тобой значениях переменных.
485. Раскрой скобки и упрости выражения:
486. Раскрой скобки и упрости выражения:
487. Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:
488. На координатной прямой отмечены точки А (-2,4), В (0,8), С (-4) и D (-0,9). Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.
489. Реши уравнения и сделай проверку:
490. Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “имущества”, а отрицательные числа - как “долги”. Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “Сумма двух долгов есть долг”, “Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества”. Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык.
491. Найди значение выражения а + b, если:
492. Вычисли устно, используя переместительный и сочетательный законы сложения, и сопоставь ответы соответствующим буквам. Расшифруй имя древнеиндийского математика (VII в.), сформулировавшего правила сложения “долгов” и “имуществ”.
493. Отметь числа тип на координатной прямой, если известно, что:
494. Реши уравнения (устно): 1) а + 0,2 = 5;
495. Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение: 1) Задумали число, увеличили его в 4 раза, потом увеличили на 12, результат уменьшили в 5 раз, затем вычли 6 и получили 2. Какое число задумали? 2) Задумали число, увеличили его в 3 раза, а затем уменьшили на 18. В результате получилось число в 1,5 раза больше задуманного. Какое число задумали?
496. Составь по данной математической модели задачу и реши ее:
497. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок: Задуманное положительное число сначала увеличили на 0,3, потом его же уменьшили на 0,2, полученные результаты перемножили и получили 0,36. Найти задуманное число.
498. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора: Если цифры двузначного числа поменять местами, то оно уменьшится на 45. Какое это число?
499. Построй треугольник АВС, проведи три его медианы и найди их точку пересечения О (см. № 223, стр. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой О, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер? Как называется высказывание, являющееся предположением?
500. Вычисли:
501. Реши уравнения и сделай проверку:
502. Раскрой скобки и найди значение полученной алгебраической суммы:
503. На координатной прямой отмечены четыре точки М(-0,7), N(-5,2), Р(1,5) и Q(-3,4). Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.
504. Реши уравнения:
505. Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение: Задуманное число уменьшили в 3 раза, результат вычли из 40, то, что получилось, увеличили в 5 раз, потом уменьшили на 50 и получили 90. Какое число задумали?
506. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок: Одно из двух положительных чисел на 0,5 больше другого, а их произведение равно 0,14. Найти эти числа.
507. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора: Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа. Какое это число?
508. Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:
509. Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину от того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?
510. В бассейне с горизонтальным дном площадью 0,5 га содержится 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?
511. Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно, и своего задания, а второй за эти же дни своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?
512. Запиши в виде произведения сумму:
513. Составь блок-схему алгоритма умножения рациональных чисел.
514. Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения рациональных чисел:
515. Выполни умножение:
516. Реши уравнения
517. Сравни с нулем:
518. Запиши на математическом языке: 1) Числа а и b одного знака. 2) Числа х и у разных знаков.
519. Каким числом - положительным, отрицательным или нулем - является произведение:
520. Найди значения выражений:
521. Вычисли:
522. 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой значений переменных. 2) Вычисли, используя законы умножения:
523. Раскрой скобки, пользуясь распределительным законом умножения:
524. Заключи выражение в скобки двумя способами - ставя перед скобками знак
525. Вынеси за скобки общий множитель:
526. Вычисли:
527. По таблице, задающей зависимость между х пу, построй формулу и график зависимости и установи, является ли она прямой или обратной пропорциональностью. Придумай по три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью.
528. Реши задачи, составляя пропорции: 1) Выкурив 3 сигареты, человек принимает 2,4 мг яда никотина. Сколько яда примет человек, если выкурит за день пачку сигарет (20 штук)? 2) Из 0,4 т винограда получается 72 кг изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 0,18 т изюма? 3) Если пешеход будет идти со скоростью 3,6 км/ч, то он пройдет путь от деревни до станции за 0,5 ч. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на 25% ? 4) Фермер засеял под картошку 7,5 га и получил урожай 14 т картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на 0,5 га? (Ответ округли с точностью до целых.)
529. Реши уравнения:
530. Реши неравенства (ответ запиши в виде двойного неравенства):
531. Вычисли:
532. Реши уравнения:
533. Вычисли, используя законы умножения:
534. Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.
535. Реши задачи, составляя пропорции: 1) В 2,5 стаканах 400 г пшеничной муки. Сколько пшеничной муки в 1,5 стаканах? 2) Мясо теряет при варке 36% своей массы. Сколько надо взять свежего мяса, чтобы получить 960 г вареного?
536. Через железнодорожную станцию прошло три военных состава. В первом находилось 462 солдата, во втором - 546 и в третьем - 630. Сколько вагонов было в каждом составе, если известно, что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это число солдат было максимальное из всех возможных?
537. На месте единиц в трехзначном числе стоит цифра 2. Если эту цифру поставить впереди двух остальных, то получится число, большее заданного на одну треть (от заданного числа). Какое число задано?
538. Составь блок-схему алгоритма деления рациональных чисел.
539. Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения:
540. Выполни деление:
541. Найди значения выражений:
542. Реши уравнения:
543. Найди значения выражений:
544. Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Расположи их в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера. Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби, указав период.
545. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:
546. Вычисли и проверь с помощью умножения: а) 44,24 : (-5,6); б) -190,76 : (-3,8);
547. Известны следующие свойства деления для положительных чисел: Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел.
548. Вычисли, используя свойства деления:
549. Выполни действия:
550. Вычисли (устно):
551. 1) Вторая в мире по длине река, Амазонка, на карте с масштабом 1:40 000 000 имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности? 2) Длина самого большого по протяженности пролива, Мозамбикского, равна примерно 1760 км. Чему будет равна длина этого пролива на карте с масштабом 1 : 25 000 000? 3) На плане, масштаб которого 3 : 8, отрезок имеет длину 12 см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом 5 : 4?
552. Через один кран бак наполняется за 2 ч, а через второй - за 3 ч. На сколько времени надо открыть оба крана, чтобы наполнить бака?
553. В бассейн подведено две трубы - большая и маленькая. Через большую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через маленькую - за 15 ч. После того как в течение 2,5 ч работала одна большая труба, дополнительно была подключена маленькая. Через сколько времени работы обеих труб бассейн наполнился на три четверти?
554. Выполни деление:
555. Реши уравнения:
556. Найди значения выражений:
557. Выполни действия:
558. Расстояние от Екатеринбурга до Челябинска равно примерно 202 км. Чему равна длина отрезка, соединяющего эти города, на карте с масштабом 1 : 2 000 000? 2) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Найди его периметр и площадь, если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см.
559. Один экскаватор может вырыть котлован за 24 дня, а второй - за 36 дней. За сколько времени, работая вместе, экскаваторы выроют котлована?
560. Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?
561. 1) Какая разница между цифрами и однозначными числами? 2) Назови классы и разряды в записи чисел: 518,1045, 27 019, 780 780, 1 230 456. Представь эти числа в виде суммы разрядных слагаемых.
562. Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах N, Z, Q?
563. Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств N, Z, Q и отметь на ней элементы множества А.
564. Выбери из множества подмножество: 1) В - положительных чисел; 2) С - отрицательных чисел; 3) D - целых чисел; 4) Е - натуральных чисел; 5) F - неотрицательных целых чисел; 6) К - отрицательных дробных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В, С и D. Обведи на ней красным карандашом множество Е, зеленым - множество F, а желтым - множество К.
565. Является ли рациональным числом: а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2; б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2?
566. Приведи примеры точек координатной прямой, координаты которых не принадлежат множеству рациональных чисел.
567. Вычисли (устно):
568. Сравни числа А и В и их модули:
569. Найди значения выражений:
570. Выбери из множества подмножество: 1) В - натуральных чисел; 2) С - целых чисел; 3) D - рациональных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В, С и D и отметь на ней элементы множества А.
571. Выполни действия:
572. Найди длину отрезка АВ координатной прямой, если координаты точек А и В равны значениям выражений:
573. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике - 50, по информатике - 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ “в двух” дали вдвое меньше человек, чем ответ “в одной”, а ответ “в трех” - втрое меньше, чем “в одной”. Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?
574. Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной системе счисления. Построй в этой системе таблицы сложения и умножения.
575. Переведи в десятичную систему счисления числа: 11 010, 2103, 555, 424, 176
576. Переведи числа 7, 25, 42, 79, 156, 273 из десятичной системы счисления в пятеричную. Сделай проверку.
577. Прочитай стихотворение и переведи числа в десятичную систему счисления. Ей было 1100 лет. Она в 101 класс ходила, По 100 учебников носила. Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней бежал ее щенок С одним хвостом, зато - стоногий! Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали, И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно... Но станет все совсем обычным, Когда поймешь ты наш рассказ. (Стариков А. Н.)
578. Реши уравнения:
579. Найди значения выражений:

580. Построй математическую модель и реши ее методом перебора: На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли 40% стоящих на ней книг, а со второй полки - д- стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
581. Запиши число 1001 в двоичной, пятеричной, восьмеричной, двенадцатеричной системах счисления.
582. Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия:
583. Задачи для самопроверки. Закончи предложение и переведи его на математический язык: 1) Число, противоположное числу +4, равно ... 2) Число, противоположное числу -2,5, равно ...
584. Сравни:
585. Вычисли:
586. Реши уравнения:
587. Найди значения выражений:
588. В доме 126 квартир. Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных, а число трехкомнатных составляет 75% числа двухкомнатных. Остальные 9 квартир - четырехкомнатные. Сколько в доме однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир?
589. Длина прямоугольника на 1,2 см больше ширины. Чему равны площадь и периметр прямоугольника, если: а) длина больше ширины в 1,6 раза; б) ширина составляет длины; в) длина на 30% больше ширины; г) ширина на 20% меньше длины?

Часть 3

1. Запиши на математическом языке: а) правило прибавления суммы к числу; б) правило вычитания суммы из числа; в) распределительное свойство умножения. Переведи полученные равенства на русский язык и проиллюстрируй с помощью графических моделей.

2. Раскрой скобки:

3. Раскрой скобки и найди значения выражений:

4. Упрости выражения; а) 2,8 - (а - 1,4);

5. Реши уравнения: а) -4,3 - (-1,8 - х) = 3;

6. Переведи на математический язык и реши задачи: а) В трех конкурсах приняли участие 80 человек. В первом конкурсе участвовало 28 человек, а во втором - на 6 человек меньше, чем в третьем. Сколько человек участвовало в третьем конкурсе? б) Периметр треугольника равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см, а вторая - на 1,9 см меньше, чем третья. Чему равна длина второй стороны?

7. Упрости выражения, используя распределительное свойство умножения:

8. Найди значение выражения. Есть ли в задаче лишние данные? а) 3(х - 4) + 2(-х + 6), если х = -1,8;

9. Составь и упрости выражения: а) К утроенной разности чисел т и п прибавить их удвоенную сумму. б) Из удвоенной суммы чисел х и у вычесть разность утроенного числа д: и числа у.

10. Составь выражение и найди его значение при данных значениях переменных: а) Сначала поезд ехал 2 ч со скоростью vкм/ч, потом он увеличил скорость на 10 км/ч и с этой скоростью проехал еще 3 ч. Затем поезд проехал 1 ч со скоростью на 5 км/ч меньшей, чем вначале. Сколько километров ему еще осталось проехать, если весь его путь составляет 625 км? (и = 70, 80, 90.)б) Фермер отвез в первый магазин п мешков картофеля, а во второй - на 4 мешка больше, чем в первый. Сколько тонн картофеля у него еще осталось, если весь его урожай составил 3,2 т, а в каждом мешке по 50 кг? (п = 10, 15, 20.)

11. Раскрой скобки и упрости выражения: а) 4х - (Зх + (2л: - 1)); б) у - (2 у - (Зу - 4));

12. а) Докажи, что для любого натурального числа п сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 дает остаток, равный 1. б) Докажи, что сумма четырех последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 дает остаток, равный 6.

13. Расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство:

14. Вычисли устно:

15. Вычисли устно, расположи ответы в порядке возрастания и сопоставь их соответствующим буквам. Зачеркни две буквы так, чтобы получилось название геометрической фигуры. Сможешь ли ты ее нарисовать? А дать определение?

16. Блицтурнир.а) Автобус проехал за первый час а км, за второй - Ь км, а за третий - с км. С какой средней скоростью он ехал? б) Пешеход первые 5 мин шел со скорость п м/мин, а следующие 15 мин - со скоростью kм/мин. Найди среднюю скорость пешехода на этом участке. в) Лодка прошла dкм по течению реки за 2 ч, а против течения - за 3 ч. Чему равна собственная скорость лодки? Чему равна скорость течения реки? г) Катер и плот плывут по реке в одном направлении: катер - со скоростью х км/ч, а плот - со скоростью реки, равной у км/ч. Какое расстояние проплывет катер за 4 ч против течения реки, если его собственная скорость не изменится?

17. Реши уравнение и отметь его корни на координатной прямой. Найди координаты середины отрезка, соединяющего отмеченные точки. Что ты замечаешь?

18. Найди на чертеже и перечисли все пары: а) пересекающихся прямых; б) непересекающихся прямых; в) параллельных прямых; г) перпендикулярных прямых. В каких из заданий (а) - (г) оказались одни и те же пары прямых? Как ты думаешь, почему?

19. Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической фигуры. По справочнику найди определение этой фигуры и начерти ее в тетради.

21. Переведи на математический язык и реши задачу: В цирковом представлении участвовало 8 жонглеров, акробатов было на 6 больше, чем клоунов, а дрессировщиков - на 7 меньше, чем акробатов. Сколько было клоунов, если всего в этом представлении участвовало 28 артистов?

22. Докажи, что для любого натурального числа п среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу.

23. Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания. Расшифруй название математического термина. Что он означает?

24. Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв: Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения. С какой средней скоростью он плыл, если его собственная скорость равна о км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч? (и =28; 29,7; 35,5.)

25. Раздели 25 рублей на 2 части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой.

26. Старинная задача. Имеет некто чай двух сортов - цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

27. Назови коэффициенты выражений. Какое из этих выражений может быть «лишним»? Почему?

28. Прочитай выражения. Чем они похожи и чем отличаются? Найди их коэффициенты и буквенные части:

29. Определи коэффициент выражения (устно):

30. Определи коэффициент и буквенную часть выражения (устно):

31. Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

32. Раскрой скобки и упрости выражение. Найди слагаемые, которые являются буквенными выражениями, и назови их коэффициенты: а) -3(-2а + 5);

33. Запиши на математическом языке переместительное и сочетательное свойства умножения. Пользуясь ими, найди значения выражений:

34. Опровергни утверждения и построй их отрицания: (Q- множество рациональных чисел.)

35. Прочитай выражения: Найди значения этих выражений, если: а) а = 3, b = 5; б) а = -1, b= -4; в) а = -2, Ь = 3. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений а и Ь. Попробуй обосновать ее, используя графическую модель.

36. Арифметический фокус.Объясни арифметический фокус, используя математический язык: Задумали число, увеличили его на 7, сумму умножили на 3, к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число. В ответе получилось 25.

38. Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

39. Раскрой скобки и при необходимости упрости выражение: а) -2(с + 7);

40. а) Задумали число, вычли из него 16, разность умножили на 7, результат вычли из 40 и получили 12. Какое число задумали? б) Придумай и реши свою задачу про задуманное число.

41. Учитель показал ребятам арифметический фокус: он предложил задумать положительное число, умножить его само на себя, к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1. По объявленному результату он назвал задуманное число. Как это сделал учитель?

42. Что общего у слагаемых в каждом выражении? Упрости их, используя распределительное свойство умножения.

43. Найди подобные слагаемые и назови их коэффициенты:

44. Приведи подобные слагаемые (устно):

45. Приведи подобные слагаемые:

46. Найди значения выражений:

47. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые: а) -(у - 16) + 4(2у - 3); г) -6(1 + х) + 6(1 - х); б) 5(а - 26) + 3(-а + 36);

48. Реши уравнения: а) 8(x-4) + 3(2-x) = -21; б) 2(3у + 4) - (9у - 7) = 15;

49. Найди значения выражений: а) 2(6а - 1) + 4(2 - а), если а = -0,625;

50. а) В магазин привезли 32 кг конфет. Их разложили в пакеты и коробки, причем пакетов было на 16 меньше, чем коробок. В каждый пакет положили по 1,5 кг конфет, а в каждую коробку - по 0,5 кг. Сколько всего пакетов и коробок для этого потребовалось? б) Патрульный катер плывет по реке, скорость течения которой 2 км/ч. За 6 ч по течению реки и 8 ч против течения катер проплыл 164 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы проплыть 54 км по озеру, если он будет плыть с той же скоростью?

51. Вычисли, используя рисунки:

52. Вычисли, применив распределительный закон умножения:

53. Прочитай выражения: Найди значения этих выражений, если: a= 4, 6 = 1; б) a= -3, b= 2; в) a= -1,6 = -5. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений а и b. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

54. Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

55. а) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. б) Найди отрезки, являющиеся высотами треугольников на рисунке. в) Сколько высот в треугольнике? г) Начерти треугольник и проведи все его высоты. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

56. Вырази в процентах указанную часть величины: а) половина; б) четверть; в) пятая часть; г) треть; д) три четверти; е) три пятых.

57. На сколько процентов изменилась величина, если она: а) удвоилась; б) утроилась; в) уменьшилась в 4 раза; г) уменьшилась на четверть; д) увеличилась на половину?

58. Блицтурнир. а) В одном классе а человек, а в другом - на 20% больше. Сколько человек в двух классах? б) Товар продали за р. Прибыль составила 8% от себестоимости. Чему равна себестоимость товара? в) До снижения цены футболка стоила х р., а после снижения - у р. На сколько процентов снизилась цена? г) Зарплату рабочего, равную п р., повысили сначала на 10%, а потом еще на 40% от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения? д) Цену на компьютер снизили сначала на 20%, а потом еще на 50% от новой цены. После этого компьютер стал стоить к р. Какой была его первоначальная цена?

59. Реши уравнения методом проб и ошибок:

60. Обед в столовой состоит из салата, борща, котлет и компота. Салат стоит 24 р., стоимость борща составляет 25% стоимости всего обеда, котлеты на 60% дороже борща, а компот - на 16 р. дешевле борща. Сколько стоит обед в этой столовой?

61. Найди значения выражений:

62. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

63. Реши уравнения: а) -2(х - 9) + 5(х - 4) = 25;

64. Составь выражение и найди его значение: а) Чернослив при сушке теряет 64% своей массы. Сколько надо взять свежего чернослива, чтобы получить 27 кг сушеного? б) Коммерческое предприятие продало товара на 5100 р. Убыток составил 15% от себестоимости. Чему равна себестоимость этого товара? в) Метр ткани до повышения цен стоил 96 р., а после повышения стал стоить 120 р. На сколько процентов повысилась цена?

65. В магазин привезли 180 кг яблок. Некоторая часть яблок была продана по цене 16 р., а затем их цена увеличилась на 25%. После продажи всех яблок выручка составила 3360 р. Какая часть яблок была продана по более высокой цене?

66. Найди значение выражения:

67. Найди целые корни уравнения методом проб и ошибок:

68. Крестьянина на рынке спросили: «Сколько стоит десяток яиц?» Он ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». По какой цене продавал крестьянин десяток яиц? (1 полушка - это — копейки.)

69. Какие из следующих записей являются уравнениями:

70. Докажи, что: а) число -3 является корнем уравнения х² - 5 = 2х + 10; б) число 5 не является корнем уравнения в) число 0 является корнем уравнения k² = 2k; г) число -2 не является корнем уравнения a(a- 1 )(а + 1) = 0.

71. Является ли корнем уравнения 2х² + 5х + 2 = 0 число:

72. Имеет ли корни уравнение и сколько:

73. Докажи, что корнем уравнения является любое число:

74. Докажи, что уравнение не имеет рациональных корней:

75. Найди множество корней уравнения:

76. Реши уравнение Зх(x + 2)(3x- 5) = 0 на множестве: a) Q; б) Z; г) положительных чисел; д) неотрицательных чисел.

77. Вычисли устно. Что ты замечаешь?

78. Прочитай выражения, используя понятия обратного и противоположного числа. Устно найди значения выражений при х = -2.

79. Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания:

80. Составь уравнения и реши их, используя правило весов: а) Задумали число, уменьшили его на 4, разность удвоили, результат увеличили на 9 и получили число, которое меньше задуманного на 2. Какое число задумали? б) Число, которое больше задуманного на 3, относится к утроенному задуманному числу как 11 : 15. Найти задуманное число.

81. а) Реши уравнение методом проб и ошибок: х (х + 12) = 64, х е N. б) Реши уравнение методом перебора:x(x- 9)(15-x) = 70, х е N.

82. Найди множество корней уравнения: а) 6(4х - 7) - 3(5 - x) = 0;

83. а) Реши уравнение методом проб и ошибок: х (х - 4) = 96, х N. б) Реши уравнение методом перебора: х² + Зх = 40

84. Составь уравнение и реши его, используя правило весов: «Задумали число, увеличили его в 5 раз, затем уменьшили на 8 и разность утроили. В результате получили утроенное задуманное число. Какое число задумали?»

85. Задача Ньютона.Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Чему был равен первоначальный капитал?

86. Реши уравнения различными способами. Какой из способов ты находишь более удобным?

87. Реши уравнения, используя прием переноса слагаемых:

88. Повтори правила раскрытия скобок и реши уравнения:

89. Реши уравнения, приводя обе его части к целым коэффициентам:

90. Реши уравнения, используя основное свойство пропорции:

91. Реши уравнения на множестве натуральных чисел методом перебора

92. Найди множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок: а) х(х + 8) = 33;

93. а) В первой банке в 2 раза больше молока, чем во второй. Если из первой банки перелить во вторую 0,5 л, то молока в обеих банках станет поровну. Сколько молока в каждой банке? б) В первой бочке в 4 раза больше меда, чем во второй. Если из первой бочки перелить во вторую 60 л, то в первой станет в 1,5 раза больше меда, чем во второй. Сколько меда в каждой бочке?

94. а) В школе 50% всех учеников начальных классов изучает французский язык, у всех учеников - английский, а остальные 45 - немецкий. Сколько всего учеников в начальных классах этой школы, если каждый ученик изучает один язык? б) Автомобиль прошел весь путь за три часа. За первый час он прошел треть всего пути, за второй - на 12 км больше, чем за первый, а за третий - 80% пути, пройденного за второй час. Чему равен весь путь?

95. а) В столовую завезли 150 кг гречки и 120 кг риса. Ежедневный расход равен 3 кг риса и 5 кг гречки. Через сколько дней гречки и риса станет поровну? б) Двум рабочим требуется изготовить одинаковое количество деталей. Однако первый рабочий делал в день 25 деталей, а второй - только 20 деталей. Поэтому через 10 дней первому рабочему осталось сделать в 2 раза меньше деталей, чем второму. Сколько деталей осталось сделать каждому рабочему?

96. Найди множество корней уравнения:

97. В древнеегипетском папирусе (1700 лет до н.э.) содержится решение уравнения, которое на языке современной математики можно записать так:

98. Вставь пропущенные числа:

99. Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое? Найди х:

100. Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Найди

101. Вычисли, используя рисунки:

а) Миша придумал схему для правила перевода смешанного числа в неправильную дробь (рис. 1). Расшифруй его схему, б) Представь числа в виде неправильной дроби и продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность. Выдели из найденных чисел целую часть.

103. Найди значения выражений:

104. Какие способы сравнения дробей ты знаешь? Сравни дроби:

105. Найди неизвестный член пропорции:

106. Реши уравнения:

107. Найди множество натуральных корней уравнения:

108. В первой канистре в 2 раза больше бензина, чем во второй. Если из каждой канистры отлить по 6 л, то в первой канистре станет бензина в 3 раза больше, чем во второй. Сколько литров бензина в каждой канистре?

109. В парке 20% всех деревьев составляют березы, третью часть - клены, дубов на 18 больше, чем кленов, а остальные 94 дерева - липы. Сколько всего деревьев в этом парке?

На овощную базу завезли 140 т картофеля и 80 т капусты. Потом с базы ежедневно вывозили картофеля в 2,5 раза больше, чем капусты, и через 8 дней их количество на базе стало одинаковым. Сколько всего тонн овощей вывозили ежедневно с базы, если овощи вывозили равномерно?

111. Найди значения выражений:

112. Увеличь на 300% число:

113. Запиши возможно большее число с помощью трех двоек. Реши ту же задачу, используя три четверки.

114. На гробнице замечательного математика древности Диофанта надпись составлена в форме задачи. Реши ее, пользуясь одним из переводов этой надписи: Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей- и камень Мудрим искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая - с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил - Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе Тут и увидел предел жизни печальной своей.

а) От начала суток прошло 20% времени, которое осталось до конца суток. Который сейчас час? б) До конца суток осталось — времени, прошедшего от начала суток. Который сейчас час?
а) Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик - за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученика. б) Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 ч, а пассажирский - за 12 ч 30 мин. Пассажирский поезд идет со скоростью на 28 км/ч меньшей, чем скорый. Чему равно расстояние между городами?
а) Грузовик проехал в первый день треть всего пути, во второй день - 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день - остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день? б) В апреле было отремонтировано дороги от села до станции, в мае - остатка, а в июне - остальные 5 км. Сколько километров дороги было отремонтировано в мае?
а) Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом еще четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке? б) От бревна отпилили сначала 30%, а йотом 40% остатка. После этого длина оставшейся части бревна стала 2,1 м. Сколько метров отпилили от бревна во второй раз.
а) В питомнике было 450 саженцев яблонь и 180 саженцев слив. За день продали в 4 раза больше яблонь, чем слив, и саженцев слив осталось на 150 меньше, чем яблонь. Сколько всего саженцев продали за этот день? б) В первом бассейне было в 3 раза больше воды, чем во втором. Когда из обоих бассейнов выкачали по 200 м³ воды, во втором осталось в 5 раз меньше воды, чем в первом. Сколько кубических метров воды было в каждом бассейне первоначально?

120. а) В первой пачке было в 1,5 раза больше тетрадей, чем во второй. После того как из первой пачки переложили во вторую 6 тетрадей, в обеих пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было в каждой пачке? б) В первом бидоне было в 4 раза больше оливкового масла, чем во втором. Когда из первого бидона перелили во второй 1,6 л, то во втором бидоне стало в 1,5 раза больше масла, чем в первом. Сколько литров масла стало в каждом бидоне?

а) Отрезок АВ в 2 раза короче отрезка CD.Если длину отрезка АВ увеличить на 3 см, а длину CDуменьшить на 40 мм, то длина АВ составит 75% длины CD.Чему равна длина отрезка CDб) Отрез ткани разрезали на два куска так, что 80% длины первого куска были равны 90% длины второго. На сколько процентов первый кусок длиннее второго?

122. а) В двух пакетах 5 кг сахара. После того как из первого пакета отсыпали части, а из второго часть, в обоих пакетах сахара стало поровну. Сколько сахара было в каждом пакете первоначально? б) В первом вагоне трамвая ехало в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором. На остановке из первого вагона вышел 1 человек, а вошли 6. Из второго вагона вышли 4 человека, а вошли 3, и во втором вагоне стало на 8% меньше пассажиров, чем в первом. Сколько пассажиров стало в каждом вагоне?

а) В одном классе на 5 учеников меньше, чем во втором. Когда в нервом классе число учеников увеличилось на 8%, а во втором - уменьшилось на 10%, в обоих классах учеников стало поровну. Сколько учеников стало в каждом классе? б) На просмотр фильма «Сибирский цирюльник » из двух классов пошло одинаковое число учеников. Девочек из первого класса было 12, а из второго - на 25% больше. Мальчиков из первого класса было на 33 % больше, чем из второго. Сколько учеников каждого класса посмотрели этот фильм?
а) Чайник и 6 чашек стоят вместе 480 р. Чайник стоит на 50% дороже чашки. Сколько стоит чайник с 2 чашками? б) Футболка, шорты и жакет стоят 792 р. Футболка на 20% дешевле, чем шорты, а жакет на 20% дороже, чем шорты и футболка вместе. Сколько стоят футболка вместе с жакетом?
а) За контрольную работу часть класса получила пятерки, четверки, троек было на 10 меньше, чем четверок, а двоек - 3. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4»и«5»? Сколько было четверок, а сколько - пятерок? б) Первое число больше второго на 3. Если меньшее число увеличить на 50%, а большее уменьшить на 40%, то их сумма не изменится. На сколько процентов первое число больше второго? На сколько процентов второе число меньше первого?
а) Трем братьям вместе 45 лет. Возраст младшего брата на 60% меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата - на 60% больше возраста среднего. Сколько лет каждому? б) В библиотеке книги на французском языке составляют 48% от числа книг на английском языке, а вместе они составляют 5% числа всех книг в библиотеке. Сколько всего книг в библиотеке, если книг на английском языке на 260 больше, чем на французском?
а) Смешали сухие листья зверобоя и мяты, причем мята составила 40% смеси. Если в эту смесь добавить еще 80 г мяты, то она будет составлять половину смеси. Сколько смешали первоначально граммов зверобоя и сколько - мяты? б) В 5% -й раствор соли добавили еще 50 г соли, и концентрация соли в нем увеличилась до 24% . Сколько граммов соли было в растворе первоначально?
а) Первая сторона треугольника составляет — его периметра, вторая – на 10% меньше первой, а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника. б) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60% второй, третья - на 25% меньше суммы первых двух, а четвертая - на 7 см больше первой. Чему равна длина каждой стороны?
а) Ширина прямоугольника на 48% меньше длины, а его периметр равен 7,6 см. Чему равна площадь этого прямоугольника? б) Длина прямоугольника на 3,6 см больше ширины, а ширина составляет его периметра. Чему равна площадь прямоугольника?
а) Пароход, собственная скорость которого 22 км/ч, прошел за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние, как и за 1 ч 30 мин против течения. Чему равна скорость течения реки? б) Моторная лодка за 2 ч против течения реки прошла расстояние, на 25% меньшее, чем за то же время по течению. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 2,5 км/ч? Найди лишнее данное в условии этой задачи.

131. Составь задачи и найди скорости движения автомобилей по схемам: расстояние между автомобилями в указанный момент времени)

а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода и они встретились через 5 мин? б) Пассажирский и товарный поезд вышли одновременно в одном направлении с двух станций, расстояние между которыми 256 км. Скорость пассажирского поезда была на 50% больше скорости товарного, и через 8 ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

133. а) Грузовик и легковой автомобиль ехали по шоссе навстречу друг другу. Через 20 минут после встречи расстояние между ними стало равно 54 км. Скорость грузовика относится к скорости автомобиля как 4 : 5. За сколько времени каждый из них пройдет расстояние, равное 324 км? б) От автобусной станции отъехал междугородный автобус, а через 15 мин вслед за ним в том же направлении - рейсовый. Скорость междугородного автобуса на 20% больше скорости рейсового. С какими скоростями они ехали, если через 30 мин после выхода рейсового автобуса расстояние между ними было равно 20 км?

134. Счет-тест (записываются только ответы).

135. Как найти часть от числа, выраженную дробью? Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди: 140% от числа; з) число, 250% которого равны d.

Увеличь число х: а) в 5 раз; б) на четверть; в) на 70%; г) на 320%. Уменьши число у: а) на 2; б) на треть; в) на 20%; г) на 5%.

137. Найди процентное отношение чисел: а) 4,8 и 12; б) 12 и 4,8. На сколько процентов 4,8 меньше 12? На сколько процентов 12 больше 4,8?

138. Рассмотри равенства. Сколько процентов составляет число а от числа? Сколько процентов составляет число от числа а? На сколько процентов каждое из этих чисел больше или меньше другого?

а) Увеличивается или уменьшается дробь при сокращении? Запиши свое высказывание на математическом языке и обоснуй его. б) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

140. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

141. Найди значения выражений:

142. Составь выражения для вычисления площади фигур:

143. Выполни действия и найди следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:

144. Построй четырехугольник ABCDпо координатам вершин: А (4; 2), В (2; 8), С (14; 12), D(10; 0). Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырехугольника ABCD.

Зависимости между величинами заданы с помощью формул. Переведи высказывания с математического языка на русский. S= ab; Р = 2(а + 6); s= vt;

146. На графике показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции. Определи по графику: а) момент их выхода и направление движения; б) время и место встречи; в) скорости движения на всех участках; г) время и продолжительность остановок.

Вырази в указанных единицах измерения: а) в метрах в минуту: 12 км/ч; 1,8 км/ч; 3 км/ч; 1,5 м/с; 4 м/с; 0,8 м/с; б) в километрах в час: 25 м/мин; 150 м/мин; 400 м/мин; 5 м/с; 12,5 м/с; 40 м/с; в) в метрах в секунду: 9 км/ч; 54 км/ч; 126 км/ч; 90 м/мин; 120 м/мин; 144 м/мин.
Два пешехода идут с разной скоростью: 5,4 км/ч и 3,6 км/ч. Сейчас расстояние между ними равно 50 м. Каким оно станет через tс, если они движутся: а) навстречу друг другу; б) в противоположных направлениях; в) вдогонку; г) с отставанием? Запиши для каждого случая формулу зависимости расстояния dм между пешеходами от времени движения tс. (Встречи за это время не произойдет.)
Реши задачи № 149 - 152 с помощью уравнений: а) Олег разместил в первый альбом 20% своих марок, во второй - остатка, а в третий - остальные 56 марок. Сколько всего марок у Олега? б) В течение июня солнечных дней было на 20% больше, чем пасмурных, а дождливых - на 4 дня меньше, чем солнечных. Какой процент солнечных дней был в июне?

150. На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго - в 2,5 раз больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на элеваторах первоначально?

151. Семья заготовила на зиму 180 кг картофеля. К концу зимы картофеля было израсходовано на 40% больше, чем его осталось. Сколько килограммов картофеля осталось к концу зимы?

152. На обивку дивана и двух кресел потребовалось 12,3 м² ткани. На обивку одного кресла пошло на 68% меньше ткани, чем на обивку дивана. Сколько ткани идет на обивку одного кресла?

153. Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

154. В субботу утром Иван Иванович вышел из дачного поселка к автобусной остановке. Через 0,25 ч вслед за ним их того же поселка и к той же остановке выехал на велосипеде со скоростью 14 км/ч Иван Петрович и через 6 мин догнал Ивана Ивановича. С какой скоростью шел Иван Иванович? На сколько минут быстрее него проехал расстояние от поселка до остановки Иван Петрович, если Иван Иванович прошел это расстояние за 42 мин

155. Измерь стороны прямоугольников. Вычисли площадь каждого прямоугольника и отношение его большей стороны к меньшей. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Найди значение выражения: а) a(a+ х) - х(а - х) - (-а² + х2), если а = -0,6, х =

157. Построй многоугольник A, А₂...А₃₇ по координатам его вершин:

158. Группа туристов вышла в 9 ч из пансионата «Ока» на экскурсию в дом- музей Есенина в деревне Константиново. Их путь проходил вдоль реки. Первые 2 ч они шли со скоростью 3 км/ч. Затем после часового привала туристы увеличили скорость на 1 км/ч и через 2,5 ч дошли до музея. Обед и экскурсия длились 2 ч, и обратный путь туристы проделали в лодке по той же реке со скоростью 8 км/ч. Построй график движения туристов и определи по графику, успеют ли они к ужину, который начинается в пансионате в 19 ч?

Вырази в указанных единицах измерения: а) в метрах в минуту: 9 км/ч; 5 м/с; б) в километрах в час: 400 м/мин; 20 м/с; в) в метрах в секунду: 27 км/ч; 150 м/мин.

160. Найди число, 11% которого составляет число:

161. Найди 45% от числа:

162. На сколько процентов число 27 больше числа:

163. Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков? Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

Составь все возможные двузначные числа из цифр 1, 3, 5 и 7, если: а) цифры в записи числа могут повторяться; б) цифры в записи числа не повторяются.

165. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи числа: а) не повторяются; б) могут повторяться?

166. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, б, 8 и 0, если цифры в записи числа а) не повторяются; б) могут повторяться?

167. У Тани 4 юбки, 5 блузок и 2 жакета. Сколькими различными способами она может составить костюм, состоящий из одной юбки, одной блузки и одного жакета?

168. Определи по рис. 12, сколько клеток надо пройти налево или направо, вверх или вниз, чтобы попасть из точки О в точки А, В, С, D.

169. Определи координаты точек А, Б, С и О (рис. 13). Назови их абсциссы и ординаты. В каких координатных четвертях они расположены?

170. Точка М имеет абсциссу х и ординату у. Запиши координаты точки М. Определи знаки х и у, если М принадлежит I, И, III, IV координатной четверти.

171. Построй систему координат на плоскости и отметь точки А (-3; 4), В (9; 4), С (9; -2) и D(-3; -2). Что интересного в их расположении? Найди координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

а) Где на координатной плоскости расположены точки с абсциссой, равной 0? Построй точки А (0; -5), Б (0; -4), С(0; -2), D(0; 1) и Е(0; 5). Найди закономерность и запиши координаты следующей точки. б) Построй точки А (5; 0), Б (1; 0), С (-2; 0), D(-4; 0). Что ты замечаешь? в) Какая точка имеет координаты (0; 0)?
а) Отметь на координатной плоскости несколько точек, абсцисса которых равна -2. Где расположены все такие точки? б) Где расположены все точки координатной плоскости, ордината которых равна 3? Отметь несколько таких точек

174. Построй треугольник АВС по координатам его вершин: а) А (8; -6), В (3; 4), С (-6; 1); б) А (-3; -2), В (1; 6), С (9; -6). Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

175. Построй точки А (-6; -3), В (6: 1), С (0; -1) и D(3; 0). Что ты замечаешь? Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок АВ точка С, точка D

Построй точки А (-6; -3), В (6: 1), С (0; -1) и D(3; 0). Что ты замечаешь? Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок АВ точка С, точка Dа) Построй прямые АВ и CD,если А (0; 8), В (5; ~2), С (-6; 0), D(4; 5). Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые? б) Построй окружность с центром в точке А (-3; 1) и радиусом 4 единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой ВС, если В (-5; 7), С (4; -2). Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность? в) Построй одну окружность с центром в точке А (-2; -1) и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую - с центром в точке В (6; -1) и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?
Построй четырехугольник ABCD,проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырехугольника тебе известны? а) А (-4; 0), В (0; 6), С (3; 4), D(-1; -2); б) А (1; 4), В (4; 0), С (0; -3), D(-3; 1); в) А (-6; 1), В (0; 3), С (2; 0), D(-4; -2); г) А (3; 0), В (0; -2), С (-4; 0), D(2; 4).
Построй замкнутую ломаную линию по координатам ее вершин: Что получилось?

179. Построй на координатной плоскости две окружности: одну - с центром в точке А (-1; 0) и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую - с центром в точке В (1; 5) и радиусом 4 единичных отрезка. Найди приближенное значение координат точек пересечения этих окружностей (1 ед. отр. = 1 см).

180. На миллиметровой бумаге отмечены точки А, В, С, D, Е и (рис. 14). Найди их координаты.

181. На координатной плоскости проведена линия (рис. 15). Найди на этой линии точку: а) абсцисса которой равна: -3,4; -2,5; -1,8; -0,6; 0; 0,7; 1,5; 2,9; 3,6; б) ордината которой равна: 2,3; 1,6; 0,8; 0; -0,4; -0,7; -1,9; -2,4; - 2,8.

Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка. Найди на окружности точки: а) абсцисса которых равна: -2,8; -0,5; 1,9; б) ордината которых равна: -2,8; -0,5; 1,9. Что ты замечаешь?
На миллиметровой бумаге проведи прямые АВ и CDи найди координаты точки их пересечения, если: а) А(-1,2; 5,6),

184. В таблице приведены данные об изменении температуры воды в чайнике в зависимости от времени: Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс время в минутах, а по оси ординат - температуру воды в градусах Цельсия (1 см - 1 мин, 1 см - 10 °С). Определи по графику: Сколько времени потребовалось, чтобы довести температуру воды в чайнике до 50°, 75°, до кипения (100°)? Сколько времени кипела вода в чайнике? В какие моменты времени температура воды в чайнике была равна 90°?

185. Вычисли устно

186. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

187. Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

188. а) Сумма трех последовательных целых чисел равна (-9). Какие это числа? б) Найди пять последовательных целых чисел, сумма которых равна 5.

189. Выполни деление с остатком и сделай проверку, используя формулу

190. а) Сумма двух чисел равна 130. При делении большего из них на меньшее в частном получается 3 и в остатке 2. Чему равна разность этих чисел? б) Разность двух чисел равна 75. При делении большего на меньшее в частном получается 7 и в остатке 3. Чему равна их сумма?

Составь выражение и найди его значение, если а = -1,5; b= а) разность числа а и квадрата числа Ь; б) разность квадратов чисел а и Ь; в) квадрат разности чисел аи Ь; г) частное квадрата числа а и куба числа Ь; д) число, обратное сумме квадратов чисел а и Ь; е) число, противоположное квадрату суммы чисел а и Ь.

192. Найди значения выражений:

193. Найди неизвестный член пропорции:

а) Какие зависимости между величинами называются прямой и обратной пропорциональностью? Приведи примеры этих зависимостей и запиши их формулы. б) Какие из приведенных ниже зависимостей между величинами являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?
Определи вид зависимости между величинами и реши задачи: а) Тракторист должен был вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывал в день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше. Чему равна площадь поля, если тракторист работал равномерно? б) Пешеход за 40 мин прошел 30% всего пути, а еще через час ему осталось пройти всего 3 км. С какой скоростью он шел, если скорость его была постоянной?

196. Расшифруй имена известных ученых. Прочитай о них в энциклопедии.

а) Построй ломаную линию по координатам ее вершин. Что получилось? б) Начерти на координатной плоскости фигуру, составленную из ломаных линий, и закодируй ее с помощью координат.

198. В таблице приведены данные об изменении роста сосны в зависимости от ее возраста. Построй на миллиметровой бумаге график этой зависимости и определи по графику: а) высоту сосны в 25 лет, 42 года, 76 лет, 84 года; б) возраст сосны, когда ее высота была 5м, 10м, 15м, 17 м; в) на сколько метров выросла сосна за первые 15 лет, с 55 до 70 лет?

199. Сумма трех последовательных целых чисел равна (-6). Чему равно их произведение?

200. Сумма двух чисел равна 100. При делении большего из них на меньшее в частном получается 5 и в остатке 10. Меньшее число увеличили на треть, а большее - уменьшили на 20%. Чему теперь равны частное и остаток от деления большего числа на меньшее?

Составь выражение и найди его значение, если a= ; b= 0,5; с = -1: а) произведение квадрата суммы чисел а и bи куба разности чисел а и с; б) частное удвоенного куба числа а и разности квадратов чисел bи с.
Реши задачи способом пропорций: а) Мотоциклист проехал за некоторое время расстояние 43,2 км. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то за это же время проедет на 4,8 км больше. С какой скоростью ехал мотоциклист? б) Цена тетради снизилась на 2 рубля. Теперь за 80 тетрадей надо заплатить столько же, сколько раньше за 70 тетрадей. Чему равна новая цена тетради?

203. На сколько процентов число А больше числа Б:

204. Найди значение выражения

205. Из дома в школу Саша вышел на 3 мин позже своей сестры, но шел в 1,5 раза быстрее нее. Через сколько минут он ее догнал?

206. Докажи, что если к трехзначному числу приписать справа (или слева) то же самое число, то полученное шестизначное число будет кратно 11.

207. Когда трехзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и частное?

208. У одного из крупнейших современных писателей-фантастов Рея Бредбери есть книга под названием «451" по Фаренгейту», где речь идет о варварском процессе сжигания книг. Определи с точностью до десятых, о какой температуре по Цельсию идет речь в названии этой книги.

Пользуясь формулой у = (х- 32), где у - температура по Цельсию, а х - температура по Фаренгейту, определи с точностью до единиц: а) у, если х = 0; 5; 32; 110; -4; -9; -300; б) х, если у = 0; 10; 25; 100;-40; -5,8; -273,1.

210. По таблице установи формулу зависимости между переменными у и х и построй график этой зависимости на координатной плоскости. Какие из этих зависимостей являются функциональными? Какие из них являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью?

211. Какие из зависимостей у от х, приведенных на рисунке, являются функциями:

212. Построй на одной координатной плоскости графики трех данных зависимостей у от х: Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида у = kx, если: a) k= 2 и k= -2; б) /г = 1 и /г = - 1; в) k=2,5 и k= -2,5. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.
Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида у - kx², если: a) k= 1, k=2- и к = 2; б) k= 1 и k= -1; B)k = 2nk = -Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

215. Вычисли устно:

Зависимость между переменными величинами у и х задана с помощью формулы: Приведи несколько примеров таких зависимостей.

217. Запиши зависимости между величинами с помощью обобщенной формулы:

Составь выражение и найди его значение, если а = -0,2; а) частное числа а и разности квадратов чисел Ьис; б) произведение утроенного числа а и квадрата разности чисел Ьис; в) разность удвоенного произведения квадратов чисел а и bи утроенного числа с; г) число, противоположное квадрату суммы утроенного числа а и частного чисел Ьис

219. Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи:

220. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

221. Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

222. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, пройдет намеченный путь за 3 ч 50 мин. Но, увеличив эту скорость на 1 км/ч, он прошел этот путь за 3 ч. Чему равна длина пути?

223. Расстояние между двумя пристанями на озере катер проплывает по расписанию за 2 ч 30 мин. Через час после отправления из-за штормовой погоды он снизил скорость на 10 км/ч и поэтому в пункт назначения прибыл с опозданием на полчаса. С какой первоначальной скоростью плыл катер?

224. Пользуясь формулой, определи:

225. Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Построй на одной координатной плоскости графики зависимости у= kx. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

227. Запиши выражение в виде дроби и, если возможно, сократи

228. Расстояние от дома до школы Петя проходит пешком за треть часа, а на велосипеде проезжает за 8 мин. На каком расстоянии от школы он живет, если его скорость на велосипеде на 9 км/ч больше, чем скорость пешком?

229. Найди значение выражения:

230. Существуют ли такие натуральные числа тип, что. А если 0,01 заменить на 0,005?

Сформулируй предложения, используя глагол «следует»: а) если животное млекопитающее, то оно кормит детей молоком; б) если вода превратилась в лед, то ее температура меньше или равна нулю.
Прочитай предложения и назови условие и заключение. Что ты замечаешь? а) Если натуральное число оканчивается на 0, то оно кратно 5. б) Если число кратно 5, то оно оканчивается на 0. в) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3. г) Если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. д) Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то их сумма тоже делится на это число. е) Если сумма чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.
Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. В каких высказываниях условие и заключение поменялись местами? а) п кратно 8 => п кратно 4; в) а > b=> b< а; б) п кратно 4 => п кратно 8; г) а < Ь => Ь>а.
Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке. а) Число, противоположное отрицательному, положительно. б) Произведение правильных дробей является правильной дробью. в) Параллельные прямые не пересекаются. г) Вертикальные углы равны.

235. Придумай предложение, являющееся логическим следованием, и запиши его на математическом языке.

236. Вычисли устно и продолжи ряд ответов на одно число, сохраняя закономерность:

237. Пусть А - множество чисел, кратных 5, В - множество чисел, кратных 10, С - множество чисел, кратных 3, и D - множество чисел, кратных 9. На диаграмме Эйлера-Венна точками обозначены элементы множеств А, В, С и D, являющиеся трехзначными числами. Придай возможные значения переменным a, b, с, d, е и g.

Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв имя древнегреческого философа, которого считают основоположником науки логики: 815 кратно 3; 815 делится на 5; 1536 не делится на 9; 1536 не кратно 4; 52 704 делится на 2 и на 9; 52 704 кратно 18; 14 625 не кратно 3 или 25; 75 является делителем625; 340 не кратно 5; 47 делится на 9; 325 – 120 - 79 кратно 10; 79 не делится на 200; 9 является делителем 438; 405 делится на 25 и на 81; 246 кратно 8; 210 - 60 не делится на 100.

239. Упрости выражение, найди его коэффициент и буквенную часть:

240. На дискотеке девочек было на 6 больше, чем мальчиков. Если число девочек увеличить на 100% , а число мальчиков увеличить на 150%, то девочек и мальчиков станет поровну. Сколько девочек и сколько мальчиков было на дискотеке?

241. Найди значения выражений:

Запиши высказывание на математическом языке с помощью знака =>, подчеркни условие одной чертой, а заключение - двумя. Найди ложные высказывания. Как их опровергнуть? а) Произведение двух отрицательных чисел положительно. б) Сумма двух правильных дробей является правильной дробью. в) Разность двух целых чисел является целым числом. г) Частное двух рациональных чисел - число рациональное.
На мороженое Аня истратила ^ имевшихся у нее денег, а на блокнот остатка. Сколько денег у нее осталось после этого, если за блокнот она заплатила 6 рублей?

244. Увеличь число на 40%:

245. Запиши в десятичной системе счисления числа: 1010101, 1212, 3210, 4040, 20406, 1234, 500.

Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй отрицания: а) Если светит солнце, то вода в реке теплая. б) Человек, знающий нотную грамоту, умеет играть на скрипке. в) Стрелки часов совмещаются в полдень. г) Любая неправильная дробь больше единицы. д) Все углы четырехугольника прямые. е) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

247. Переведи высказывания с математического языка на русский. Найди ложные высказывания и построй их отрицания. Обоснуй свой ответ.

а) Назови тему и рему высказываний. Что общего в высказываниях и чем они отличаются? Квадрат является прямоугольником. Прямоугольник является квадратом. б) Сформулируй данные высказывания с помощью глагола «следует». Что ты замечаешь? в) Найди ложное высказывание и построй его отрицание.
Запиши высказывания на математическом языке с помощью знака =>. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность. а) Если первое число меньше второго, а второе - меньше третьего, то первое число меньше третьего. б) Если первое число на 5 меньше второго, а второе - на 5 меньше третьего, то первое число на 5 меньше третьего. в) Если первое число кратно второму, а второе — кратно третьему, то первое число кратно третьему. г) Если первое число в 2 раза больше второго, а второе - в 2 раза больше третьего, то первое число в 2 раза больше третьего. Что ты замечаешь?

250. Запиши в общем виде правила деления суммы, разности и произведения на число. Пользуясь этими правилами, вычисли устно: а) (15* 86) : 43; в) 6986 : 7 + 14 : 7; д) (15 • 19 + 38): 19; б) (9494 • 5): 94; г) 5564 : 52 - 364 : 52; е) (3500 - 48 • 70): 35.

251. Восстанови цепочки вычислений и расшифруй логические термины. Что они означают?

252. Найди множество корней уравнения:

а) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см, ширина составляет 28% длины, а сумма площадей его боковых граней 192 см². Найди объем параллелепипеда. б) Длина прямоугольного параллелепипеда на 40% больше ширины, а ширина в 5 раз меньше высоты. Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объем равен 56 дм³?

254. Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй их отрицание. а) Простое число всегда нечетно. б) Нечетное число всегда является простым.

255. Реши уравнения:

256. Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60% длины, высота на 20% больше ширины, а сумма трех его измерений равна 5,8 дм. Найди объем и площадь боковой поверхности этого параллелепипеда.

Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием d = 2.
Найди в предложении условие и заключение и построй утверждение, обратное данному. а) Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9. б) Если число кратно 3 и 5, то оно кратно 15. в) Если дробь сократима, то ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. г) Если дробь правильная, то числитель дроби меньше ее знаменателя.

259. Переведи высказывания с математического языка на русский. Запиши на математическом языке и прочитай обратные высказывания:

Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания. а) Если число меньше или равно 5, то оно меньше 6. б) Если число кратно 40, то оно кратно 4 и 10. в) Если числа равны, то равны и квадраты этих чисел. г) Если числа равны, то равны и модули этих чисел. д) Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. е) Две перпендикулярные прямые имеют общую точку.
Для данных общих высказываний построй обратные высказывания. Найди ложные высказывания, построй их отрицания и обоснуй истинность построенных отрицаний. а) Любое натуральное число больше или равно 1. б) Все числа, кратные 10, оканчиваются на 0. в) Треугольник является многоугольником. г) Квадрат является прямоугольником. д) Сумма противоположных чисел равна 0. е) Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

262. Придумай общее высказывание и построй для него обратное.

263. Найди взаимно обратные высказывания. С помощью каких союзов можно объединить их в одно предложение?

264. Придумай высказывание с союзом «если..., то...» и построй для него обратное. Как объединить эти два высказывания в одно предложение?

265. Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов, сохраняя закономерность:

Увеличь число х: а)на 3; б) в 4 раза; в) на треть; г) на 160%. 2) Уменьши число у: а) на 2; б) в 5 раз; в) на четверть; г) на 30%.

267. Найди: б) 0,08 от 12; в) 25% от 5,6; г) 70% от а; д) число, которого равны 1,8; е) число, 0,9 которого равны 72; ж) число, 2% которого равны 0,64; з) число, 40% которого равны Ь.

Блицтурнир. Составь выражения и упрости их: а) Груши дороже яблок на 15 р., а яблоки дешевле винограда в 2 раза. На сколько груши дешевле винограда, если яблоки стоят а р.? б) Первый букет цветов стоит Ъ р., второй - на 40% дороже первого, а стоимость третьего составляет треть общей стоимости первого и второго букетов вместе. Сколько рублей надо заплатить за все три букета? в) От куска ткани длиной dм отрезали в первый раз 20% всей длины, во второй раз - 30% всей первоначальной длины, а в третий раз - на 5 м меньше, чем во второй раз. Сколько метров ткани осталось в куске? г) В бидоне было х л молока. Сначала из него отлили 25% всего молока, а потом 20% остатка. Сколько молока еще осталось в бидоне?
Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное: а) 18 и 21; б) 28 и 245; в) 16 и 160; г)27 и 100. 2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения: Если число а является делителем числа Ь, то НОД (a,b) = .„, НОК (а,b) = „ Если число а кратно числу Ь, то НОД (а,b) = .... НОК (а, b)
Значение выражения принадлежит множеству. Найди значение этого выражения, не вычисляя сумму.

271. Найди корни уравнения (устно):

272. Реши уравнение

273. Пшеницей засеяно 2 участка земли общей площадью 75 га. На первом участке собрали урожай 32 ц с гектара, а на втором - 28 ц с гектара. Сколько тонн пшеницы собрали с двух участков, если с первого собрали на 30 т пшеницы больше, чем со второго?

274. С первого поля собрали на 25% меньше хлопка, чем со второго, а с третьего - на 20% меньше, чем с первых двух. Сколько тонн хлопка собрали с трех полей вместе, если с третьего поля собрали хлопка на 48 ц больше, чем со второго?

Запиши высказывания на математическом языке и построй обратные к ним: а) если прямая а перпендикулярна прямой Ь, то прямая bперпендикулярна прямой а; б) из того, что натуральное число больше 9, следует, что оно больше или равно 10; в) если число кратно 4 и 25, то оно кратно 100; г) если число неотрицательно, то модуль числа равен самому числу.
Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания: а) если число кратно 10, то оно кратно 2; б) если число больше 4, то оно больше или равно 3; в) равные фигуры имеют равные площади; г) сумма двух неправильных дробей - неправильная дробь.
Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное: а) 24 и 80; 6)25, 90 и 105; в) 108 и 972; г) 176 и 875.

278. Семья израсходовала 35% своего месячного дохода на питание, седьмую часть суммы на питание - на коммунальные услуги, 80% остатка - на покупки, а остальные 3000 р. были положены на счет в Сбербанк. Чему равен месячный доход семьи?

279. Кастрюля в 3 раза дороже сковородки. Ковш дороже сковородки на 96 р., но дешевле кастрюли на 32 р. Сколько стоит набор из кастрюли, сковородки и ковша?

280. Найди значения выражений:

Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием: d= 3; б) d= 5; в) d= 9; г) d= 12.

282. В классе учатся 24 мальчика и 32 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны все эти сведения, если система счисления одна и та же?

283. Прочитай высказывания разными способами: в) Число а на 7 меньше, чем число Ь <=> а = b- 7; г) Число п кратно 9 <=> Сумма цифр числа п кратна 9.

Запиши высказывания на математическом языке и прочитай два следования, которые объединены в каждом предложении. а) Число х в 2 раза больше, чем число у, тогда и только тогда, когда х = 2у. б) Для того чтобы число а было кратно 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа а была кратна 3. в) Вычесть из числа а число Ь - это значит найти такое число с, которое при сложении с Ь дает а. г) Квадрат числа х равен 9 в том и только в том случае, когда х = 3 или х = -3.

285. Докажи с помощью контр примера, что следующие утверждения не являются равносильными:

286. Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания

287. Придумай два равносильных высказывания и объедини их в одно предложение тремя разными способами.

288. Запиши решение уравнений, используя знак

289. Найди неизвестные члены пропорции. Расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруй слово. Что оно означает?

290. Отметь на координатной прямой цветным карандашом множество точек, удовлетворяющее данному неравенству. Запиши множество его целых решений и 2 дробных решения:

291. Начерти на координатной плоскости произвольный отрезок, абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным неравенствам: Сколько таких отрезков можно провести?

а) У причала стояли двухместные и четырехместные лодки. Сколько было лодок каждого вида, если всех лодок было 40, а мест в них - 128? б) У Миши были двухрублевые и пятирублевые монеты на общую сумму 77 руб. Всего монет было 25. Сколько монет каждого вида было у Миши?

293. Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:

294. Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания. Какие два взаимно обратных следования объединены в каждом предложении?

295. Запиши решение уравнений, используя знак

296. В 30 больших и маленьких коробок расфасовано 33 кг печенья. Сколько было коробок каждого вида, если в маленькую коробку помещалось 0,5 кг печенья, а в большую - 1,5 кг печенья?

297. Найди неизвестный член пропорции:

Найди два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.
На какие классы разбивают данное множество объектов следующие свойства: а) «г не тонет в воде» (г е С, где С - множество металлов); б) «к имеет парламент» (к е D,где D- множество государств); в) «л кратно 9»
Какие свойства описывают следующие предложения? Какие из этих свойств являются признаками? а) п кратно 9 => сумма цифр числа п кратна 9
Запиши, используя знак def, определение: а) умножения рациональных чисел; б) правильной дроби; в) прямоугольника; г) трапеции.

302. Выполни действия:

303. Реши уравнения:

304. На тренировке лыжник пробежал первый круг на 5% быстрее, чем второй, а третий крут - на 14% медленнее, чем второй. Сколько времени в среднем он тратил на один круг, если третий круг он пробежал на 4 мин 45 с медленнее, чем первый? На сколько процентов больше времени он затратил на прохождение третьего круга, чем первого?

305. Прочитай выражения и найди их значения при у = -0,5:

Запиши, используя знак def,определение: а) неправильной дроби; б) гипотенузы прямоугольного треугольника.

307. В двух селах было 800 жителей. Через год в одном селе число жителей уменьшилось на 10%, а в другом - увеличилось на 10%. В результате общее число жителей в двух селах увеличилось на 10 человек. Сколько жителей было в каждом селе первоначально?

308. Найди неизвестный член пропорции:

309. Участок квадратной формы расширили так, что получили новый квадрат, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь при этом увеличилась на 225 м². Чему равна площадь первоначального участка?

310. Задачи для самопроверки. Найди значения выражений:

Реши уравнения: а) 10 - Зу = -4 + 7у; б) 3(4 - с) = 6 - (8с + 3);
В магазин завезли фрукты и продали их за 3 дня. В первый день продали 30% всех фруктов, во второй день - остатка, а в третий день - остальные 168 кг. Сколько всего килограммов фруктов завезли в магазин?

313. В двух мешках 80 кг моркови, причем в первом мешке на 40% моркови меньше, чем во втором. Сколько килограммов моркови в каждом мешке?

314. Двум рабочим было поручено изготовить по 60 деталей. Однако производительность первого рабочего была на 20% выше, чем у второго, и через 9 ч второму рабочему осталось сделать в 2,5 раза больше деталей, чем первому. На сколько деталей в час больше делал первый рабочий, чем второй, если их производительность была постоянной?

а) В прямоугольной системе координат построй четырехугольник ABCD, если А (-6; 2), В (6; 8), С (8; -5) и D(-4; -2). Найди координаты точки пересечения его диагоналей. б) Построй окружность с центром в точке А (-3; 5) и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты ее точек пересечения с осями координат.
Построй в одной координатной плоскости графики зависимостей у — kx,если k= и k =-2. Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу о расположении графиков зависимостей вида у = kx (k< 0) и проверь ее для k= - — и k= -4.
Найди истинные высказывания и запиши их на математическом языке с помощью знака =>. Построй отрицания ложных высказываний и обоснуй их. а) Если первое число больше второго, а второе - больше третьего, то первое число больше третьего. б) Если число кратно 2 и 5, то оно кратно 25. в) Модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.
Запиши данное высказывание и обратное к нему с помощью знака =>: Если число кратно 2 и 3, то оно кратно 6. Объедини оба высказывания в одно предложение разными способами.
Два пешехода идут с разной скоростью: 50 м/мин и 70 м/мин. Сейчас расстояние между ними равно 600 м. Каким оно станет через tмин, если пешеходы движутся: а) навстречу друг другу; б) в противоположных направлениях; в)вдогонку; г) с отставанием? Запиши для всех четырех случаев формулу зависимости расстояния dм между ними от времени движения tмин. (Встречи за это время не произойдет.)

320. Найди число, 20% которого составляют:

321. Уменьши на 20% число:

322. Реши уравнение методом проб и ошибок:

323. Реши уравнение методом перебора:

Татьяна и Петр дали следующие определения квадрата. Татьяна: «Квадратом называется четырехугольник с равными сторонами». Петр: «Квадратом называется параллелограмм, все углы которого прямые. Почему нельзя согласиться с такими вариантами определения? Предложи свой вариант и сравни его с вариантом, данным в тексте учебника.

325. В 325 - 329 по определениям сделай рисунки, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Построй логическую последовательность введения этих определений и установи, в каких случаях ее можно изменить, а в каких - нет. а) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. б) Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. в) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. г) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки принадлежат отрезку и называются его концами.

а) Два луча с общим началом, составляющие прямую, называются дополнительными лучами. б) Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом. в) Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого. г) Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла.
а) Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой. б) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. в) Прямым углом называется угол, величина которого равна 90. г) В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.
а) Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. б) Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности. в) Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. г) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две ее точки.
а) Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. б) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. в) Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. г) Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

330. Сформулируй определение квадрата, основываясь на понятии: а) прямоугольник; б) ромб; в) параллелограмм.

Прочитай определение биссектрисы угла. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит часть плоскости, ограниченную углом, на две равные части. Пользуясь им, предложи свой вариант определения биссектрисы угла треугольника. Сделай рисунки биссектрисы угла и биссектрисы угла треугольника.

332. Как ты считаешь, какой из нарисованных углов называют центральным? Почему? Проверь по справочнику. Нарисуй несколько центральных углов окружности и сформулируй определение этого понятия.

333. Какую из прямых на рисунке можно назвать касательной к окружности, а какую - секущей? Почему? Предложи свои варианты определений касательной и секущей и сделай рисунки. Сравни свои определения с определениями этих понятий в справочнике.

334. Что общего у окружности и круга и чем они отличаются друг от друга? Предложи свой вариант определения круга, пользуясь понятиями «окружность», «плоскость». Изобрази круг и окружность с помощью циркуля и цветных карандашей.

335. Исходя из значения слова «дуга» в обыденной речи, найди рисунок, на котором цветом изображена дуга окружности. Предложи свой вариант определения дуги окружности и сделай рисунок.

336. На рисунках изображены секторы круга. Выяви существенные свойства сектора и предложи свой вариант его определения. Сделай свой рисунок сектора.

Что означает запись: Изобрази с помощью геометрических фигур числа:

338. Сравни дроби, если значения всех переменных - натуральные числа:

339. Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слово. Что оно означает?

340. Реши уравнения:

а) Длина окружности переднего колеса повозки равна 2,8 м, а заднего - 3,5 м. Какое расстояние проехала повозка, если переднее колесо сделало на 50 оборотов больше заднего? б) Длина окружности заднего колеса кареты на 0,8 м больше длины окружности переднего колеса. Какое расстояние проехала карета, если заднее колесо сделало 450 оборотов, а переднее — на 75 оборотов больше?
а) Печник должен был сложить печь за 12 дней. Но он выкладывал в день на 0,25 м^я больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 дня раньше намеченного срока. Чему равен объем печи, если печник работал равномерно? б) Бригада рабочих должна была сделать ремонт дороги за определенный срок, ремонтируя в день 2 км. Однако в день она ремонтировала на 0,1 км больше, и поэтому за 3 дня до срока ей осталось отремонтировать 4,5 км. Сколько километров дороги бригада уже отремонтировала?
Прочитай определения, найди определяемые понятия и укажи понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки, соблюдая логическую последовательность введения определений. а) Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. б) Замкнутая ломаная линия без самопересечений, все точки которой принадлежат одной плоскости, называется многоугольником. в) Многоугольник, имеющий четыре вершины (стороны), называется четырехугольником. г) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

344. На рисунках изображены сегменты круга. Выяви существенные свойства сегмента и предложи свой вариант его определения. Сделай рисунок.

345. Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй математические термины. Найди в тексте учебника и запиши в тетрадь их определения.

346. Реши уравнения:

347. Найди число, 24% которого составляют:

Реши задачу разными способами: Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 часа. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 мин быстрее. Чему равно расстояние от города до озера?

349. Сколько диагоналей можно провести в четырехугольнике? А в треугольнике, пятиугольнике, шестиугольнике, n-угольнике?

350. Сколько возникает на окружности дуг, если на ней поставлены две точки? А если точек 3, 4, 10, n?

351. а) Найди и отметь на рисунке соответственно острые, прямые и тупые углы. Сформулируй и запиши с помощью знака <=> определение углов каждого вида. На какие понятия опираются эти определения? б) На какие классы можно разбить все углы а, где 0" < а < 180°, по их виду? Докажи, что это разбиение является классификацией. Нарисуй для этого разбиения диаграмму Эйлера-Венна и отметь на ней углы А, В, С, D, Е, F, К.

а) Начерти в тетради произвольный треугольник и определи вид его углов. б) Сколько острых, сколько прямых и сколько тупых углов может иметь треугольник? Сделай рисунки. в) На какие классы можно разбить множество треугольников по виду углов? Как они называются? Является ли это разбиение классификацией? Почему? Нарисуй соответствующую диаграмму Эйлера-Венна.
а) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Запиши определение равнобедренного треугольника с помощью знака <». На какие понятия опирается это определение? б) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона называется основанием. Нарисуй в тетради несколько равнобедренных треугольников с одним и тем же основанием. Где расположены их вершины? Сформулируй гипотезу.
а) Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. Запиши определение равностороннего треугольника с помощью знака <=>. На какие понятия опирается это определение? б) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? А наоборот? Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна, иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников, множеством равнобедренных и множеством равносторонних треугольников.
Определи на глаз, какие из треугольников, изображенных на рисунке, являются: а) остроугольными; б) прямоугольными; в) тупоугольными; г) равнобедренными; д) равносторонними? Есть ли треугольники, которые обладают сразу несколькими из перечисленных свойств?
а) Может ли быть треугольник равнобедренным и тупоугольным? А равнобедренным и прямоугольным? Сделай рисунки. б) Нарисуй в тетради диаграмму Эйлера-Венна, показывающую классификацию треугольников по виду углов. Покажи, как располагаются на ней подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников. Какие сочетания видов треугольников возможны?
а) Начерти равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) и измерь транспортиром углы при основании АС. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. б) Начерти равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) и проведи медиану к его основанию АС. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Как ты считаешь, на какие виды треугольников можно распространить построенные гипотезы? Обоснуй свой ответ.
а) Построй отрезок АВ, равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках А и В до их пересечения в точке С. Соедини точки А, В и С отрезками и определи вид треугольника АВС. Измерь с помощью транспортира углы получившегося треугольника. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. На какие виды треугольников ее можно распространить?

359. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Рассмотри все возможные случаи и сделай рисунки. Является ли это разбиение классификацией?

360. Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью одну общую точку. Начерти прямую, касательную к окружности, и проведи радиус в точку касания. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли распространить ее на секущие к окружности? Почему?

361. Какие из окружностей на рисунке являются вписанными в треугольник, а какие - описанными около него? Выяви существенные признаки вписанной и описанной окружностей и предложи свой вариант определений этих понятий.

362. Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй общенаучное понятие. Что оно означает?

363. Прочитай предложения. Определениями каких понятий они могут служить? Почему? Поясни их с помощью диаграммы Эйлера-Венна и проиллюстрируй примерами из разных областей знания:

364. Прочитай высказывания и проиллюстрируй их с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

Как найти часть от числа? Как найти число по его части? Найди: д) число, которого равны 1,5; е) число, 6% которого составляют 4,2; * 2 ж) число, — которого составляют х; з) число, 140% которого равны у.
Найди часть, которую одно число составляет от другого, и вырази ее в процентах: а) 18 от 50; в) 1,2 от 15; б) 9 от 72;
Блицтурнир. а) Посадили dсемян. Из них kсемян проросли. Чему равен процент всхожести семян? б) Цена товара на складе равна а р. Торговая наценка в магазине равна 24%. Сколько стоит этот товар в магазине? в) Акции фирмы в январе стоили п р., что составило 80% их стоимости в феврале. Сколько стоили акции этой фирмы в феврале? г) За месяц построено 60% дороги. Чему равна длина всей дороги, если осталось построить с км? д) Бак автомобиля вмещает х л бензина. На каждые 100 км пути расходуется 20% объема бака. Сколько литров бензина потребуется на 350 км пути? е) Фермер с каждого гектара из 4 га своего поля собрал по bт картофеля. На семена он оставил 25% всего урожая, а остальной картофель отвез на рынок. Сколько тонн картофеля он отвез на рынок?
В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трех партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. а) Сколько депутатов от каждой из трех партий представлено в городской думе? б) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее) всех депутатов думы?
1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках. 2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются: а) остроугольными; б) прямоугольными; в) тупоугольными; г) равнобедренными.

370. Переведи с математического языка на русский определение касательной к окружности: Прямая a - касательная к окружности (О; г) в точке А. Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности? А из точки, лежащей на окружности? Сделай рисунки и сформулируй гипотезу. Можем ли мы считать ее верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

371. Учеников шестых классов попросили высказать свое мнение об утверждении: «Чтобы хорошо учиться по математике, надо заучивать текст учебника». Распределение их мнений приведено на круговой диаграмме. Сколько шестиклассников высказали то или иное мнение, если всего в опросе приняли участие 160 человек? А что по этому поводу думаешь ты?

372. В трех школах поселка 1260 учеников. Число учащихся первой школы на 10% меньше, чем второй, а число учащихся второй школы составляет 80% от числа учащихся третьей школы. Сколько учащихся в каждой из этих трех школ?

373. Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название геометрической фигуры. Начерти эту фигуру и придумай ее определение:

374. Найди процентное отношение чисел: 1)А и В; 2) В и А.

Дан прямоугольник, длины сторон которого относятся как 2:1. Разрежь его на части так, чтобы из них можно было составить: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) равнобедренный тупоугольный треугольник; в) равнобедренный остроугольный треугольник.

376. Сколько равносторонних треугольников ты видишь на рисунке?

По описанию построения фигур, данному в тексте учебника, построй: а) отрезок, равный данному (задача 1); б) треугольник, равный данному (задача 2); в) угол, равный данному (задача 3); г) биссектрису данного угла (задача 4); д) середину данного отрезка (задача 5); е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6).
Построй треугольник АВС по трем сторонам а, 6 и с и определи вид этого треугольника: Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами? Всегда ли эта задача имеет решение?

379. Можно ли построить треугольник, у которого периметр равен 24 см, а сумма длин двух сторон - 9 см?

380. Построй треугольник АВС по стороне b и прилежащему к ней углу А. Является ли решение однозначным? Всегда ли оно возможно? Какие виды треугольников могут получиться?

381. Построй треугольник АВС по стороне b и двум прилежащим к ней углам А и С. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным? Определяется ли треугольник этими элементами единственным образом?

382. Построй треугольник АВС по двум сторонам а и b и углу А, прилежащему к стороне Ь. Является ли решение однозначным?

383. Построй треугольник АВС по двум сторонам а и с и углу В, заключенному между ними. Однозначно ли определяется треугольник этими элементами?

384. Проанализируй решение задач № 378-383 и сформулируй гипотезу: из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников? Как можно назвать эти свойства равенства треугольников? Можно ли считать твою гипотезу верной для любых треугольников? Почему?

385. Построй биссектрисы углов А, В и С треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

386. Построй серединные перпендикуляры к сторонам a,bnc треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Построй медианы сторон a, bи с треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

388. Построй высоты треугольника АВС, проведенные к сторонам а, b и с, если треугольник ЛВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

389. Вычисли, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй названия знаменитых геометрических задач древности:

а) Первая сторона треугольника составляет 30% его периметра, а вторая - 25% периметра. Чему равна длина третьей стороны этого треугольника, если вторая сторона на 0,4 дм короче первой? б)Первая сторона треугольника составляет 48% второй стороны, а третья сторона - на 0,8 см больше первой. На сколько процентов третья сторона треугольника меньше второй, если его периметр равен 5,7 см?
а) Увеличь число 12: на половину, на треть, на 10%, на 25%, на 100%, на 200%. б) Уменьши число 60: на треть, на четверть, на 20%, на 50%, на 75%, на 90%. в) Увеличь число а: на 4, на четверть, в 4 раза, на 30%, на 50%, на 250%. г) Уменьши число b: на 5, на пятую часть, в 5 раз, на 10%, на 25%, на 70%.
Блицтурнир. а) Цена на товар увеличилась сначала на 30%, а потом еще на 20% от новой цены. На сколько процентов увеличилась цена товара по сравнению с первоначальной? б) В школе за счет профилактических мероприятий число заболевших гриппом уменьшилось за первый год на 20%, а за второй - еще на 15% по сравнению с первым годом. На сколько всего процентов уменьшилось число заболевших гриппом в школе за эти два года? в) Температура воздуха за ночь понизилась на 20%, а за день - повысилась на 20%. На сколько процентов и как изменилась температура воздуха за сутки? г) За первый месяц число вкладчиков банка увеличилась на 10%, а за второй - уменьшилось на 10%. На сколько процентов и как изменилось число вкладчиков за эти два месяца?

393. В городе Пряничном мэр задумал ввести налог на пряники - каждый, кто покупает пряник, должен заплатить 20% от стоимости пряника в городскую казну. А заместитель мэра предложил поднять цену на пряники на 20% и забирать в казну 20% выручки продавцов. Какое из двух предложений (мэра или его заместителя) принесет в казну больше денег, если в обоих случаях покупать будут одинаково?

а) В треугольнике первая сторона на 50% больше второй, но на 25% меньше третьей. Меньшую сторону увеличили на 40%, а большую - увеличили на 25%. Как изменился периметр треугольника и на сколько процентов? б) Одна сторона прямоугольника на 200% больше второй. Меньшую сторону увеличили на 30%, а большую - уменьшили на 30%. Как изменился периметр прямоугольника и на сколько процентов?
Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке. Построй обратные высказывания. Как объединить прямое и обратное высказывания в одно предложение? а) Параллельные прямые не имеют общих точек. б) Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.

396. Построй обратные высказывания к данным общим высказываниям. Докажи, что обратные высказывания являются ложными, и построй их отрицания. а) Вертикальные углы равны. б) Сумма смежных углов равна 180°.

Прочитай определения и сделай рисунки. Назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. В какой последовательности могут вводиться эти определения? а) Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. б) Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a(А <£ a, Н е а), если прямые АН и а перпендикулярны. в) Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. г) Прямая, пересекающая прямую р и не перпендикулярная ей, называется наклонной к прямой р.

398. Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства чисел помогают упростить вычисления? Запиши их в буквенном виде.

399. Найди значения выражений:

400. Найди множество корней уравнения:

Построй треугольник АВС по двум сторонам а и Ь. Сколько решений имеет эта задача?

402. Периметр треугольника АВС равен 17 см. Первая его сторона на 40% меньше второй стороны, а третья - на 3,8 см больше первой. Построй треугольник АВС.

403. Построй треугольник АВС: 1) по стороне а и прилежащему к ней углу В; 2) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач?

404. Построй треугольник АВС по двум сторонам Ь и с и углу А, заключенному между ними. Проведи биссектрису угла В.

405. Начерти произвольный треугольник АБС, построй середины его сторон - точки М, N и К и соедини их отрезками. Измерь и сравни углы треугольников АВС и MNK. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

406. Построй произвольный равнобедренный треугольник АВС (АБ = ВС) и опусти высоту из вершины В на сторону АС. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

407. Василий добежал от дома до школы за 5 мин и опоздал в школу на 1 мин. На сколько процентов ему нужно было увеличить скорость, чтобы не опоздать в школу?

408. Банк выплачивает вкладчикам доход в размере 12% годовых по вкладам. Пенсионер положил в этот банк 9000 р. Через 8 месяцев ему потребовались деньги, и он снял вклад. Какую сумму он получил в банке?

409. Найди квадрат суммы чисел А и В:

410. Найди множество корней уравнения:

411. Костя решал пример на черновике, затем переписал его в тетрадь, но забыл расставить скобки. Расставь скобки в Костином примере так, чтобы получилось верное равенство:

412. Найди площадь фигуры, составленной из 9 квадратов (рис. 31), если ее периметр равен 32 см.

413. Найди последнюю цифру числа:

414. В магазине после снижения цен на яблоки их продали за день на 50% больше, чем продавали в день до снижения цен. Выручка за день возросла при этом на 12,5%. На сколько процентов была снижена цена?

415. Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь 12 см², а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания?

416. Построй окружность, описанную около треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

417. Построй окружность, вписанную в треугольник АВС, если треугольник АВС". а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

418. Построй ортоцентр треугольника АВС, если треугольник АВС: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

Практическая работа. Точка пересечения медиан является одновременно центром тяжести треугольника. Чтобы познакомиться с этим свойством, начерти на плотном листе картона произвольный треугольник АВС и найди точку О пересечения его медиан. Затем вырежи треугольник АВС, расположи его горизонтально и помести на вертикальный стержень (например, на острие карандаша или ручки) сначала в точке О, а потом в других точках. Что ты наблюдаешь?
Сравни дроби: а) 3,6 и 3,600; в) 0,207 и 0,21; д) 1,76 и 1,756; б) 0,4 и 0,09; г) 5,03 и 4,98; е) 0,0938 и 0,1.

421. Прочитай число: 0,2803951476. Зачеркни пять цифр так, чтобы получилось: а) возможно большее число; б) возможно меньшее число.

Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй имя великого ученого-геометра античности: 0,51; 0,05; 0,1; 0,508; 0,058; 0,008; 0,8; 0,5;
Выполни действия: а) -0,286- 18,4; б) 17,9 - 20,205; в) -5,98+ 48,004; г) -3,08-4,192;
Закончи предложение: «Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае, когда ее знаменатель не имеет простых делителей, кроме ...»

425. Найди дроби, которые можно перевести в десятичные, и выполни перевод:

426. Реши примеры по столбцам и предложи правило, по которому можно было бы записать следующее число в ряду ответов:

427. Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную, и запиши ее в виде бесконечной периодической дроби, указав период:

428. Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

Автомобиль проехал расстояние от А до Б со скоростью v_г км/ч за t, часов, а обратный путь от В до А - за t₂часов. Запиши с помощью буквенного выражения, чему равны: а) расстояние от А до Б; б) скорость о₂ движения от Б до А; в) общее время движения туда и обратно; г) средняя скорость движения за все время пути.
а) Поезд длиной 400 м прошел мимо неподвижного наблюдателя за 20 с. За сколько времени он проедет тоннель длиной 400 м? б) Поезд проехал с одной и той же скоростью мимо столба за 7 с, а вдоль платформы длиной 378 м - за 25 с. Чему равна скорость и длина поезда?

431. Турист выехал на велосипеде из пункта А. Проехав 1,5 ч со скоростью 16 км/ч, он сделал остановку на 0,5 ч, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через 3 ч после выезда первого туриста из пункта А по той же дороге выехал на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от пункта А второй турист догонит первого?

432. От станции А в 12 ч отправился товарный поезд. В 14 ч с той же станции вышел пассажирский поезд, который догнал товарный в 20 ч. Чему равна скорость обоих поездов, если сумма их скоростей равна 140 км/ч?

433. Грузовик выехал из села А в 10 ч. Через 15 мин из того же села в противоположном направлении выехал мотоциклист, скорость которого была на 20% меньше скорости грузовика. Чему равны скорости грузовика и мотоциклиста, если в 11 ч расстояние между ними составило 96 км?

434. Из города А в 9 ч 30 мин выехал автомобиль, а в 11 ч в том же направлении выехал автобус. В 12 ч 15 мин расстояние между автомобилем и автобусом составило 130 км. В котором часу автобус прибудет в пункт В, если скорость автомобиля на 40% больше скорости автобуса, и автомобиль прибыл в пункт В в 12 ч 30 мин?

435. Катер проплыл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 1,5 ч, а против течения - на 15 мин дольше. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

436. Моторная лодка шла 40 мин по течению реки и 1 ч 30 мин против течения. За все это время она прошла 41,4 км. Чему равна скорость течения реки, если скорость лодки по течению на 20% больше ее скорости против течения?

437. Теплоход проплыл некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а то же расстояние по течению реки - за 5 ч. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть это же расстояние по реке?

438. Построй треугольник АВС по трем сторонам а, b и с и опиши около него окружность.

439. Построй треугольник АВС по двум сторонам а и & и углу С, заключенному между ними, и впиши в него окружность.

440. Построй треугольник АБС по стороне с и двум прилежащим к ней углам А и В. Построй центр тяжести треугольника АВС.

441. Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

442. Трамвай проехал мимо светофора за 2 с, а по мосту длиной 175м - за 16с. Чему равна длина трамвая?

443. Находясь в пункте А на дороге, Таня увидела своего младшего брата, который появился на дороге в пункте В. Вместо того, чтобы пойти навстречу сестре, он направился в противоположную сторону, а Таня побежала за ним. Сколько минут продолжалась «погоня», если расстояние от А до В Таня преодолела за 3 мин, а скорость брата на 60% меньше, чем у нее?

444. Плот и яхта плывут по реке навстречу друг другу. В 15 ч 30 мин расстояние между ними было 90 км, а в 16 ч 10 мин оно сократилось до 70 км. Чему равна собственная скорость яхты?

445. Найди квадрат разности чисел А и В:

Выполни действия и зачеркни числа в квадрате по образцу (каждое число принадлежит только одному ответу): а) 0,078 + 15,382; д) 5,872 • 0,45; е) 23,6 • 3,05; ж) 15,9258 : 0,762; б) 4,245 + 5,86; в) 7,1 -6,937; г) 15,20316-9,7026;з) 18,78:37,5.

447. В произвольном треугольнике АВС построй точку А_х - середину стороны ВС, точку B - середину стороны АС, и точку C - середину стороны АВ. Построй окружности, описанные около треугольников АВ_ХС_Х, А_]ВС_Х и А_ХВ_ХС. Что ты замечаешь?

а) В произвольном треугольнике АВС проведи высоты АА,, ВВ_Х и CC_VПострой окружность, описанную около треугольника А_ХВ_ХС_Х, и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника АВС. Определи свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот. б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки АН, ВН и СН, где Н - ортоцентр треугольника АВС. Что ты замечаешь?
В произвольном треугольнике АВС построй центр описанной окружности - точку О, центр тяжести - точку М, и ортоцентр - точку Н. Рассмотри взаимное расположение точек О, М и Н и найди отношение отрезков ОМ : МН. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

450. Найди в окружающей обстановке предметы, имеющие форму куба, прямоугольного параллелепипеда, шара, пирамиды, цилиндра, конуса.

451. Какие геометрические тела изображены на рисунке? Перерисуй их по клеточкам в тетрадь.

452. а) На рисунках изображены фигуры, которые называются «усеченными пирамидами». Что в них общего и чем они отличаются? б) Какие плоские фигуры ограничивают усеченные пирамиды? Какие из них являются видимыми для наблюдателя, а какие - нет? в) По аналогии с усеченными пирамидами начерти «усеченный конус».

453. Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью, проходящей через точки М, N и К. Проверь правильность построения с помощью модели куба.

454. Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки М, Nи К. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.

455. Сложи фигуры из кубиков. Перенеси рисунки в тетрадь и дорисуй их проекции.

456. По рисункам фигур изобрази их проекции. Проверь свои изображения, сложив фигуры из кубиков.

По данным проекциям фигуры сложи ее из кубиков и нарисуй. Вид спереди Вид слева Вид сверху
Закончи предложения так, чтобы получились истинные высказывания, и запиши их на математическом языке. Что объединяет эти предложения? Подбери для них общее название. а) Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма ... б) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое - не делится на это число, то их сумма ... в) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то их произведение... г) Если первое число делится на второе число, а второе число делится на третье, то ...

459. Сформулируй признаки делимости на 10, 2, 5, 3, 9, используя обороты: «если и только если*, * тогда и только тогда*, « необходимо и достаточно*. Какие два логические следования в них содержатся? Почему для их названия используется слово «признаки»?

460. Найди истинные высказывания и составь из соответствующих им букв название учебника по геометрии, который использовался более 2000 лет. Кто его автор? 285 является делителем 3 17 500 кратно 100 3048 делится на 2 и на 9 123 456 кратно 6 54 207 не делится на 9 15 не является делителем 73 510 3 • 140 • 17 кратно 10 815 + 72 413 делится на 5 9 не является делителем 34 • 567 6402 - 78 кратно 3 279 + 1300 • 45 делится на 9 70 707 • 160 • 23 не кратно 30

Что значит - сократить дробь? Сформулируй определение. На какие понятия оно опирается? Запиши на математическом языке основное свойство дроби. Пользуясь им, определи, увеличивается или уменьшается дробь при сокращении?

462. Найди значения выражений:

463. Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

464. Для тиражирования рукописи были использованы две копировальные машины. Первая машина может выполнить всю работу за 20 мин, а вторая - за полчаса. За сколько минут они размножат эту рукопись, работая вместе?

465. На путь между городами А и В один поезд тратит 2 ч, а второй - 1 ч 45 мин. Через какое время они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из городов А и В?

466. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 5 ч 20 мин, а через вторую трубу - опорожнить наполненный бассейн за 12 ч. За сколько времени наполнится пустой бассейн, если обе трубы будут открыты одновременно?

467. Три каменщика выложили фронтон дома за 5 ч. Первый каменщик один может выложить фронтон за 12 ч 30 мин, а второй - за 18 ч 45 мин. За сколько времени может выполнить эту работу один третий каменщик?

а) Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время может вырыть котлован каждый из них в отдельности, если второй работает в 1,5 раза быстрее, чем первый? б) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 8 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если производительность первого крана на 20% меньше, чем второго?

469. Изобрази в тетради форму предметов, которые ты видишь на рисунке.

470. Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей.

471. Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

472. Трое рабочих отремонтировали квартиру за 4 дня. Первый, работая один, может отремонтировать эту квартиру за 10 дней, а второй - за 12. За сколько дней сможет отремонтировать ее третий рабочий?

473. Рыжий и серый коты вместе могут съесть миску сметаны за 6 мин. За сколько времени может съесть эту сметану каждый кот в отдельности, если рыжий кот ест сметану на 25% быстрее, чем серый?

474. Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?

475. Белый куб с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см (рис. 49). Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани? Сколько неокрашенных кубиков?

476. В стаде 8 овец. Первая съедает копну сена за 1 день, вторая - за 2, третья - за 3, ... , восьмая - за 8 дней. Кто быстрее съест копну сена - две первые овцы или все остальные вместе?

а) Какие из геометрических тел - конус, прямоугольный параллелепипед, цилиндр, шар, пирамида, куб - являются многогранниками? Обоснуй свой ответ, пользуясь определением многогранника. б) Найди примеры многогранников в предметах окружающего мира. в) Сформулируй определение вершины, ребра, грани многогранника и покажи их на предметной модели.
а) Может ли у многогранника быть три вершины? Почему? б) Какое наименьшее число вершин, ребер и граней может быть у многогранника?

479. Воспроизведи в тетради рисунок пирамиды. Сколько у нее вершин, ребер, граней, боковых граней? Какие из них являются невидимыми?

480. а) Сколько ребер семиугольной пирамиды выходят из вершины, не принадлежащей основанию? Сколько у нее всего ребер? б) Существует ли пирамида, у которой 999 ребер? в) У пирамиды 100 ребер. Какая это пирамида? г) У пирамиды 725 вершин. Сколько вершин у основания этой пирамиды?

а) Сколько вершин у угольной пирамиды? Сколько у нее ребер? Сколько граней? б) У пирамиды а граней. Сколько у нее ребер и сколько вершин? Сколько вершин у многоугольника в ее основании?

482. Развертка какой фигуры изображена на рис. 62? Перенеси ее на лист бумаги, увеличив размеры в 4 раза, затем вырежи и сверни многогранник.

483. Какие из заготовок на рис. 63 могут быть развертками пирамиды и почему?

а) Сколько ребер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой вершины? Сколько граней сходится к одной вершине? б) Сколько у прямоугольного параллелепипеда всего: ребер, граней, вершин? в) На спичечном коробке закрась одним цветом равные ребра. Сколько цветов для этого требуется? А сколько цветов понадобится, чтобы раскрасить равные грани?
а) Начерти прямоугольный параллелепипед ABCDA_XB_XC_XD_X.Какие вершины, ребра, грани являются невидимыми? Проверь с помощью модели. б) Сколько измерений имеет прямоугольный параллелепипед? Раскрась равные ребра одним цветом. в) Выпиши пары равных граней. Сколько получилось пар?

486. На рис. 64 изображена развертка прямоугольного параллелепипеда. Перечерти ее на лист бумаги, увеличив размеры в 2 раза, вырежи и сверни многогранник.

487. Какие точки совместятся с точками A, D, N при склеивании развертки прямоугольного параллелепипеда на рис. 65?

488. а) Почему заготовка на рис. 66 не может быть разверткой прямоугольного параллелепипеда? б) Какие из заготовок на рис. 67 не могут быть развертками куба?

489. Мысленно сверни куб и определи, какая грань является верхней, если нижняя грань закрашена?

а) Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нем отрезком. Какие из многогранников на рис. 50 (см. стр.111) являются выпуклыми, а какие - нет? Почему? Какие еще выпуклые многогранники ты знаешь? б) Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин (В), числом ребер (В) и числом граней (Г) выпуклого многогранника. Восстанови эту формулу но записи:
а) Прямоугольный параллелепипед сложили из одинаковых кубиков (рис. 68). Сколько кубиков для этого понадобилось? б) Запиши формулы объема и площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, bи с. в) Запиши формулы объема и площади полной поверхности куба с ребром а.
а) Хватит ли проволоки длиной 1 м, чтобы сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 см, 9 см и 14 см? б) Прямоугольный лист бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить всю поверхность прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 5 см?

493. Сравни сумму длин всех ребер (L), объем (V) и площадь (S) полной поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда:

494. На ребрах куба (рис. 69) отметили две точки А и В. Через эти точки провели прямую, на которой отметили еще 6 точек. Какие из них являются точками пересечения прямой с ребрами куба или их продолжениями?

а) На ребрах куба (рис. 70) отмечены точки М, Nи К. Принадлежат ли граням куба отрезки MN, МК и KN? б) Плоскость а проходит через точки М, Nи К. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью а по следующему алгоритму. Соединить точки М и N. В плоскости грани AA_yD_xD провести прямую МК до ее пересечения с прямой DD_f в точке Р. В плоскости грани DD^C^Cпостроить точку пересечения прямых DCи PN.Обозначить ее Т. Соединить точки К и Т. Четырехугольник MNTK- искомый. в) Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели куба.

496. Замени отношение дробных чисел несократимой дробью:

Реши задачи методом пропорций: а) Два маляра покрасили за некоторое время 17 м². Сколько потребуется рабочих, чтобы с той же производительностью и за то же время покрасить 85 м² ? б) Бассейн при одновременном включении 4 кранов наполняется за 45 мин. За сколько минут бассейн можно заполнить при одновременном включении 6 таких кранов, если их производительность постоянна?

498. Реши уравнения:

а) Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода равно 440 км. Каким должен быть масштаб карты, чтобы это расстояние изображалось на карте отрезком длиной 17,6 см? б) За какое время турист пройдет расстояние, которое изображается на карте отрезком длиной 3,6 см, если масштаб карты 1 : 10 000, а скорость туриста равна 5 км/ч?

500. Склей из бумаги модель тетраэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см.

501. Склей из бумаги прямоугольный параллелепипед с измерениями 9 см, 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе 1:2.

502. Найди неизвестный член пропорции и расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что означает полученное слово?

503. Реши уравнения:0

504. а) Для кругосветного путешествия длительностью 144 дня был заготовлен запас продовольствия для 75 туристов. В плавание отправились 50 человек. На сколько дней хватит этого запаса продовольствия, если расход продовольствия на каждого туриста одинаков? б) За четверть суток корабль прошел 189 км. Сколько километров он пройдет с той же скоростью за 14 ч?

505. Найди неизвестный член пропорции:

506. Сравни суммы длин всех ребер, объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м, 5 м и 6 м.

507. Кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6 сквозных дырок, параллельных ребрам (рис. 71). Сколько маленьких кубиков остались неповрежденными?

508. На ребре ADтетраэдра ABCDотметили точку М, на ребре АС - точку N, а на ребре ВС - точку К (рис. 72). Построй сечение тетраэдра ABCDплоскостью а, проходящей через точки М, Nа К.

а) Продемонстрируй, как с помощью 4-5 карандашей цилиндрической формы одного диаметра осуществить перемещение какого-нибудь предмета.б) Сверни из бумаги коническую поверхность и продемонстрируй, как можно использовать ее в виде пробки.

510. Нарисуй от руки окружность и постарайся с помощью штриховки придать «объемность» получившемуся кругу.

Практическая работа. Вырежи из картона прямоугольник, прямоугольный треугольник, круг и закрепи их на стержне (рис. 83). Вращая стержень между ладонями, понаблюдай, как образуются цилиндр, конус, шар.
Нарисуй в масштабе 1 : 4 тело вращения и три его проекции, если оно получается в результате вращения: а) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны; б) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета; в) круга радиуса 6 см вокруг диаметра.
Практическая работа. а) Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник, одна из сторон которого равна длине окружности основания. Проведи эксперимент, позволяющий выявить зависимость между длиной окружности С и ее диаметром d.Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами d, = 4 см, d₂= б см и d₃= 8 см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки, отмечая положение конца полоски (рис. 84). Разверни полоску и измерь отрезки, показывающие длины окружностей С_{, С₂ и С_г Найди отношение соответствующих значений С и dс точностью до сотых. Что ты замечаешь? б) Вычисли с точностью до сотых среднее арифметическое полученных отношений и обозначь его т. Запиши формулу зависимости С от d. в) Найди с точностью до сотых разность полученного тобой числа л и числа Архимеда
а) Сколько больших окружностей можно провести на сфере через одну точку? Проиллюстрируй с помощью предметной модели шара. б) Можно ли провести на шаре две большие окружности так, чтобы они не пересекались? А две произвольные окружности? в) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью, 2 большими окружностями, 3 большими окружностями, имеющими общий диаметр?

515. На сфере проведены две большие окружности (рис. 85). По рисунку можно предположить, что они пересеклись в четырех точках. А сколько на самом деле точек пересечения?

516. Отрезок О А на рис. 86 равен 5 см. Что можно сказать о длинах отрезков О В и ОС на этом рисунке?

517. Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела, которые получаются при вращении вокруг прямой / данных фигур. Опиши их.

518. Пусть радиус основания конуса равен г, а его боковую поверхность можно «развернуть* в сектор круга радиуса R. Величина угла а этого сектора в градусах вычисляется по формуле: Вычисли угол а и построй развертку конуса для значений г = 2 см и Л = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и, свернув ее в конус, убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания.

а) Масштаб карты равен 1:100 000. Каким отрезком на карте изображается расстояние на местности, равное 50 км? б) Запиши масштаб карты, если отрезок в 3 км на местности изображается отрезком на карте в 2,4 см. в) Рисунок сделан в масштабе 10:1. Как изменены на нем реальные размеры предметов? г) Запиши масштаб рисунка, если фигура на рисунке увеличена в 5 раз.

520. Счет-тест (5 мин).

а) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3. б) Раздели число 520 на три части в отношении

522. Акциями предприятия владеют фирмы А, В и С. Количество их акций находится в отношении 3 : 5 : 7 и составляет 60% от числа всех акций предприятия. Остальными 200 000 акций владеют работники предприятия. Сколько акций имеет каждая фирма?

523. Три каменщика за выполненное вместе задание получили 4700 р. Первый каменщик может выполнить все задание за 3 дня, второй - за 4, а третий - за 5. Как распределить между ними выплаченную сумму пропорционально их производительности?

При строительстве дома по известным размерам стен можно вычислить, сколько кирпичей потребуется для ее укладки. Для этого используется формула где N- количество кирпичей, / м - длина стены и hм - высота стены. а) Найди N,если 1 = 8, h =3,5. б) Найди /, если N= 2440, h= 2,5. в) Найди Л, если N= 5000,1 = 4. (Ответ округли с точностью до десятых.) В каждом случае придумай соответствующую задачу.
В физике при расчете сопротивления Rпроводника используется формула: где I - длина проводника, S- площадь его поперечного сечения и р - удельное сопротивление. Вырази из этой формулы значения р, I и S.
Количество теплоты Q,необходимое для нагревания физического тела, можно вычислить по формуле: Q= cmгде с - удельная теплоемкость вещества, т - масса тела, f_х - начальная и t₂ — конечная температуры тела. Вырази из этой формулы значения с, т, f, и t₂.

527. Выполни действия и упрости, если возможно, полученные выражения (значения всех переменных отличны от нуля):

528. Склей из бумаги модель цилиндра, радиус основания которого равен 3,5 см, а развертка боковой поверхности - прямоугольник со сторонами 7л см и 10 см, где л - число, равное примерно 3,14.

529. Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали, если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела.

530. Упрости выражения и найди их значения:

531. На выполнение домашних заданий у Димы ушло 2 ч. Это время он распределил между математикой, русским языком, английским языком и биологией в отношении 2:2:3: 1. Сколько времени ушло на каждый из предметов?

532. Скорость v, с которой тело движется по окружности, можно вычислить по формуле: число, равное примерно 3,14. Вырази из этой формулы значения.

533. Раздели число 64 в отношении а : Ь, если:

534. Сделай модель конуса, радиус основания которого равен 5 см, а радиус развертки боковой поверхности - 15 см.

535. Из 6 одинаковых квадратов легко составляется развертка куба. Можно ли из 5 одинаковых прямоугольников составить развертку параллелепипеда?

536. Вырази в единицах измерения: а) длину отрезка; б) площадь прямоугольника ABCD; в) объем прямоугольного параллелепипеда ABCD; Как изменяется результат измерения величин при увеличении мерки, при уменьшении мерки?

В каких единицах обычно измеряют: а) длину шага; б) вместимость банки; в) площадь поля; г) объем бассейна; д) площадь квартиры; е) расстояние между городами; ж) рост человека?

538. Вырази: а) 1 дм в миллиметрах, в километрах, в метрах; б) 1 а в гектарах, в квадратных метрах, в квадратных километрах; в) 1 см³ в кубических миллиметрах, в кубических метрах, в кубических дециметрах, в литрах.

Заполни пропуски и прочитай полученные числа: а) 2 м 45 см = ... см б) 2 м 45 см = ... м в) 2 м 45 см = ... дм 2 м² 45 см² = ... см² 2 м² 45 см² = ... м2 м² 45 см² = ... дм²2 м³ 45 см³ = ... см³2 м³ 45 см³ = ... м³2 м³ 45 см³ = ... дм³

540. Вычисли разными способами площади закрашенных фигур:

а) Длина прямоугольника на 16 см больше ширины, а периметр равен 22,4 дм. На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром? б) Периметр квадрата равен 6 м, а периметр прямоугольника на 20% больше. Ширина прямоугольника в 5 раз меньше длины. На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата?
Выполни действия: а) 4,1 м - 3,7 дм + 72,6 см; б) 10,2 дм + 8,4 см - 0,125 м; г) 3 дм² 2 см² + 35,4 см²: 0,05; д) 1,5 м³ - 1,5 дм³ + 51 500 см³;

543. Измерения прямоугольного параллелепипеда 36 см, 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объем и вырази: а) в кубических дециметрах; б) в кубических метрах; в) в кубических сантиметрах.

544. Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если: а) ребро куба равно 5 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см, 1 м и 8 дм; б) ребро куба равно 4 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм, 3 см и 25 мм. Что ты замечаешь?

545. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 240 см³, ширина - 5 см, а высота - на 20% больше ширины. Длину этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. На сколько процентов уменьшился его объем?

546. Найди объем тела, изображенного на рис. 89, и построй три его проекции в масштабе 1:10.

а) На изготовление какого из двух аквариумов на рис. 90 потребовалось больше стекла? б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края насм, а во втором - на 5 см.В каком аквариуме больше воды?
Сравни: а) 40 см² и 4 дм²; 500 мм² и 5 см²; 8000 дм² и 8 м²; 10 000 м² и 1 га; б) 9000 дм³ и 9 м³; 700 см³ и 7 дм³; 20 000 мм³ и 2 см³; 600 000 см³ и 6 м³.
Из текста учебника выпиши формулы, выражающие зависимости между величинами в круге и в шаре. Пользуясь ими, реши задачи: Радиус окружности равен 5 см. Чему равна длина этой окружности? Число л округли до сотых. Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число л округли до целых. Выполни измерения и найди площади заштрихованных фигур. Число л округли до десятых. Радиус мяча равен 1,5 дм. Найди его объем и площадь поверхности. Число л округли до сотых, а полученные ответы - до десятых.

550. Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса г больше площади круга того же радиуса?

551. Докажи, что фигуры .Д, В и С равновелики (имеют равные площади):

а) Перечерти и вырежи из бумаги параллелограмм (рис. 91). Покажи, как его можно «перекроить» в прямоугольник. б) Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны а и длине перпендикуляра h,опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону (рис. 92).
Назови тему и рему общих высказываний и переформулируй их, используя союз «если..., то...»: а) Куб является прямоугольным параллелепипедом. б) Диаметр окружности является хордой этой окружности. Построй обратные утверждения разными способами: меняя местами тему и рему и меняя местами условие и заключение. Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания.

554. Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры:

555. Чем похожи и чем отличаются выражения? Найди их коэффициенты и буквенные части:

556. Выполни действия:

а) Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби, чтобы получить число, равное 0,5? б) Некоторое число вычли из числителя, прибавили к знаменателю дроби и после сокращения получили. Какое это число?

558. Упрости выражения и найди их значения:

В произведениях Ж. Верна встречаются такие строки: а) «Аэростат несся вперед со скоростьюмиль в час...» б) «Туземцы были ростом от 5 футов 4 дюймов до 5 футов 7 дюймов». в) «Аппарат, напоминавший огромного кита, был длиной приблизительно в 250 футов и возвышался на 10 - 12 футов над уровнем моря...» г) «Было решено ограничить дневные переходы 15-18 милями». Переведи выделенные величины в метрическую систему, если: миля = 4448 м; 1 фут = 32,5 см; 1 дюйм = 2 см 7 мм.
Заполни пропуски и прочитай полученные равенства: а) 3 м 8 см = ... см; б) 3 дм 8 см = ... дм; в) 3 км 8 м = ... км; 3 дм² 8 см² = ... дм²; 3 км² 8 м² = ... км²; 3 дм³ 8 см³ = ... дм³; 3 км³ 8 м³ = ... км³.
Выполни действия: а) 7 м 25 мм- 72,5 см; б) 9 км 48 м + 3,52 км - 556 м; в) 8 см² 5 мм² • 24 + 680 мм²; г) 0,02 дм³-2,7 см³: 0,25.

562. Поле имеет форму прямоугольника. При проведении землеустройства длину поля увеличили на 5%, а ширину - на треть. На сколько процентов увеличилась площадь поля?

563. Измерения одного прямоугольного параллелепипеда равны 0,4 м, 25 см и 1,5 дм, а измерения другого параллелепипеда — 0,3 м, 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем? Какой имеет большую площадь поверхности?

564. Докажи, что < 0,1, если:

Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры:
а) Чему равна площадь циферблата часов, если его радиус составляет 4,5 см? Ответ округли до целых (л = 3,14). б) Колесо на расстоянии 1 км сделало 400 оборотов. Найди диаметр колеса с точностью до сотых (л ~ 3,142).

567. Реши уравнения:

568. Найди площади закрашенных треугольников:

569. Перерисуй треугольники в тетрадь. Вычисли их площади, достраивая до прямоугольников:

570. Запиши формулы для вычисления площадей треугольников.

571. Вырази величину угла в единицах измерения. а) Как изменяется результат измерения углов при увеличении единицы измерения? При уменьшении единицы измерения? б) Какими единицами измерения удобнее измерять углы - большими или маленькими? Почему? в) Какая единица измерения углов является общепринятой? Известны ли тебе другие единицы измерения углов?

Чему равна градусная мера: а) прямого угла; б) острого угла; в) тупого угла; г) развернутого угла; д) угла, вертикального углу 75°; д) угла, смежного с углом 30"?

573. Найди ошибки в измерении углов

По рис. 100 определи градусные меры углов: а) АОС, AOD, АОЕ, AOF, АОК; б) ВОК, BOF, ВОЕ, BOD, ВОС; в) COD, EOF, FOK, EOC, DOK, COF. Почему транспортир удобно прикладывать так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале ?

575. Определи на глаз величины углов и проверь себя, измерив углы транспортиром. Заполни таблицу.

576. Начерти луч О А. С помощью транспортира отложи от него углы 35° и 120°. Приведи все возможные варианты решения.

577. Построй с помощью транспортира угол АВС, равный: а) 58"; б) 116". Проведи биссектрису угла АВС.

578. Построй с помощью транспортира угол CDE, равный: а) 72°; б) 150°. Раздели его на три равные части.

Построй с помощью транспортира угол MNK,если известно, что: а) он равен — развернутого угла; б) 0,75 его составляет прямой угол.

580. Построй с помощью транспортира два смежных угла, если один из этих углов: а) на 28 больше второго; б) в 5 раз меньше второго; в) составляет 25% второго; г) на 40% больше второго; д) на 20% меньше второго угла.

Найди но рисункам, не выполняя измерений, величину угла АОВ (на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами): Сколько на каждом из рисунков острых углов (*), прямых углов (у), тупых углов (г), развернутых углов (f)? Ответ дай в виде четырехзначного числа xyzt.
В треугольнике АВС угол А равен 36", а угол В равен 84°. Биссектрисы углов лис пересекаются в точке и. Найди величину угла, считая сумму углов треугольника равной 180".
Построй четырехугольник ABCDпо координатам его вершин: А (-4; 0), В (2; 3), С (5; 0), D(0; -8). Измерь углы четырехугольника ABCDи найди их сумму. Начерти два произвольных четырехугольника и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сделай вывод. Можно ли распространить этот вывод на любой четырехугольник? Почему? Начерти произвольный четырехугольник и проведи его диагональ. Сколько получилось треугольников? Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного четырехугольника? Закончи предложение: Если сумма углов треугольника равна 180, то сумма углов четырехугольника равна

Будет ли это предложение истинным для любого четырехугольника? Почему?

Построй треугольник АВС, используя линейку с делениями и транспортир, если: а) АВ = 5 см, ВС = 3,5 см, ZB= 76"; 6) АС = 4 см, ZA= 32°, ZB= 58 ; в) АВ = 6 см, ZA= 47°; г) ВС = 3 см, ZB= 110", ZC= 24°. Какие из приведенных задач имеют единственное решение?

585. По рис. 101 объясни способ деления окружности на 5 равных частей с помощью транспортира. Раздели тем же способом окружность: а) на 6 равных частей; б) на 9 равных частей.

а) Ученикам 6 «А» класса был задан вопрос: «Какое из следующих занятий тебе нравится больше всего: чтение, спорт, прогулка, просмотр телевизионных передач?» При этом каждый выбирал только одно из этих занятий. Проанализируй результаты опроса с помощью круговой диаграммы (рис. 102). Измерь транспортиром углы секторов диаграммы и определи, сколько человек выбрали каждый ответ, если в 6 «А» всего 24 учащихся. б) Тот же вопрос в 6 «Б» классе дал следующие результаты: Построй круговую диаграмму и сравни вкусы учащихся обоих классов. в) Проведи в твоем классе аналогичный опрос, построй круговую диаграмму и проанализируй полученные результаты.

587. Перенеси рис. 103 в тетрадь. Построй без транспортира, используя клеточки, угол в 90", одной из сторон которого является: а) луч АВ; б) луч CD.

588. Сколько градусов содержит угол между часовой и минутной стрелками часов в 3 ч, 6 ч, 8 ч, 10 ч, 11 ч, 14 ч 30 мин?

589. Вычисли устно и найди следующее число в ряду ответов при условии сохранения закономерности:

Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв: а) модуль числа, противоположного удвоенному произведению чисел а и bб) сумма модулей чисел с и d(с = -0,8; d= 0,7); в) модуль разности частного чисел утроенного числа k(т = 1,6; п = -3, k= -0,4).
Переформулируй предложения, используя союз «если..., то...». Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания: а) Четырехугольник является многоугольником. б) Квадрат отрицательного числа положителен.

592. Где расположена на координатной плоскости точка М

593. Построй на координатной плоскости несколько точек М (х; у), у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 (л: е Q, у е Q). Выскажи гипотезу о том, где расположены все такие точки. Где расположено множество точек, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5, меньше 5? Является ли проведенное исследование доказательством высказанных утверждений?

594. Упрости выражения. Что ты замечаешь?

595. Реши уравнения

а) Раздели число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5. б) Площади трех участков земли находятся в отношении, а сумма их площадей равна 90 га. На сколько гектаров третий участок больше первого?

597. Потренируй свой глазомер: начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3 тупых угла, определи на глаз их градусную меру, а затем проверь себя, измерив углы транспортиром. Составь таблицу и занеси в нее полученные результаты (см. таблицу в № 575, стр. 135).

598. Начерти с помощью транспортира угол АВС, если известно, что: а) биссектриса делит его на два угла, равных 54"; б) угол АВС дополняет угол, равный 32", до прямого угла; в) угол, смежный углу АВС, равен 160"; г) угол, вертикальный углу АВС, равен 127°.

599. Внутри прямого угла АО В провели луч ОМ так, что угол АОМ: а) в 4 раза больше угла МОВ; б) на 24° меньше угла МО В; в) составляет 50% угла МОВ; г) на 50% больше угла МОВ. Найди величину образовавшихся углов и сделай чертеж.

600. Начерти три произвольных параллелограмма и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сформулируй гипотезу. Почему проведенное исследование не является доказательством этой гипотезы?

Два луча, проведенные из вершины развернутого угла, разбивают его на 3 части пропорционально числам. Найди величины этих углов и сделай чертеж.

602. Периметр прямоугольника равен 12 см, одна из сторон - х см, а площадь равна Sсм². Запиши формулу зависимости Sот х. Заполни таблицу и построй график этой зависимости: Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади. Почему проведенное исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Прочитай выражения и сравни их значения, если а = -5,4, b= 0,84: Сравни эти же выражения еще для нескольких значений а и Ь, взятых по собственному выбору. Сформулируй гипотезу и попробуй доказать ее в общем виде.

604. Реши уравнения:

605. Вычисли и раздели полученное число в отношении 5:4

606. На угол в 20° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением. Чему равна величина угла, наблюдаемого сквозь стекло?

607. Сколько пятиметровых прыжков надо сделать кенгуру, чтобы преодолеть дистанцию длиной 5032 м + 5032 дм +5032 см +5032 мм?

608. Приведи примеры сочетания симметрии и асимметрии из разных областей действительности.

609. На лист бумаги капни чернилами, сложи его пополам, а потом разверни. Что можно сказать о получившихся на листе фигурах?

610. Как ты думаешь, симметричны ли данные фигуры относительно прямой /? Проверь свою гипотезу с помощью кальки.

611. Перенеси рисунок в тетрадь и построй на глаз фигуру, симметричную данной относительно прямой I. Проверь правильность построения с помощью кальки.

Является ли прямая осью симметрии данных фигур? Проверь с помощью кальки

613. Определи с помощью кальки, получена ли фигура F₂ из фигуры F₁ с помощью поворота относительно точки О.

614. Укажи угол и направление поворота вокруг точки О, при котором фигура переходит сама в себя. Для каких фигур точка О является центром симметрии?

615. Являются ли фигуры центрально-симметричными относительно точки О? Проверь с помощью кальки.

616. Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники, квадрат, параллелограмм, окружность. С помощью перегибания и поворотов найди их оси симметрии и центры симметрии. Сделай рисунки. Какая из этих фигур является «самой симметричной»?

617. Плоскость а называют плоскостью симметрии, если пространственные фигуры «отражаются» в ней, как в зеркале. Какие из плоскостей, приведенных на рисунке, являются плоскостями симметрии данных фигур? Как можно было бы назвать этот вид симметрии?

618. Воспроизведи рисунок и укажи вектор d, задающий параллельный перенос фигуры F_xв фигуру F₂:

619. Построй бордюр, который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических (имеющих один центр) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо.

620. Найди закономерность и запиши п-й член последовательности чисел: б) -1, -4, -9, -16, -25, г) 5, 8, 11, 14, 17, в) 3, 6, 9, 12, 15,д) 1, 0, 1, 0, 1,

621. Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний: Верны ли обратные утверждения? Какие утверждения равносильны? Запиши их и прочитай разными способами.

622. Заполни таблицу и сделай вывод. Запиши его на математическом языке.

623. Вычисли устно, если т

624. Найди значения выражений:

625. Реши уравнения:

Составь равенства, используя взаимосвязь условий. Какие задачи можно составить по этим условиям? Поставь вопросы так, чтобы решение задач было одинаковым. а) Катер плыл 4 ч по реке со скоростью х км/ч и 2 ч по озеру со скоростью на 3 км/ч большей. Весь путь составил 78 км. б) В зале расставили 78 стульев. В первых четырех рядах было по х стульев, а в каждом из двух остальных рядов — на 3 стула больше. Придумай другие задачи, которые решаются так же.
Приведи примеры величин, которые связаны зависимостью a= be. Построй математические модели задач, используя табличный способ записи условий. Придумай задачи с другими величинами, которые решаются так же. а) На 160 р. можно купить тетрадей в линейку на 2 больше, чем в клетку. Сколько тетрадей каждого вида можно купить, если тетрадь в линейку на 4 р. дешевле, чем тетрадь в клетку? б) В каждом из двух домов по 112 квартир. Однако в первом доме на каждом этаже на одну квартиру больше, и поэтому число этажей в нем на 2 меньше, чем во втором. Сколько этажей в каждом доме? в) Первый автомат упаковывает в минуту на 3 пачки печенья больше, чем второй. Первому для упаковки 600 пачек печенья требуется на 10 мин меньше, чем второму. Сколько пачек в минуту упаковывает каждый автомат?
а) Проанализируй ритмическую структуру нескольких строк какого- нибудь стихотворения. Наблюдается ли в них симметрия? Приведи несколько примеров симметрии из разных областей жизни, б) Согни полоску бумаги несколько раз пополам, вырежь по контуру элемент орнамента и разверни, как показано на рисунке. Какие виды симметрии можно наблюдать в получившемся орнаменте? в) Согни последовательно лист бумаги, как показано на рисунке. Сделай вырезы на заготовке и разверни. Что получилось? Какими видами симметрии обладает получившаяся фигура?
Выполни построения и проверь их правильность с помощью кальки: а) Перенеси рисунок в тетрадь и построй фигуры, симметричные данным относительно прямой I: б) Покажи на чертеже оси симметрии и центр симметрии прямоугольника. в) Перерисуй орнамент в тетрадь и продолжи его. Какие виды симметрии можно наблюдать в этом орнаменте? г) Придумай и нарисуй свой орнамент.

630. Реши уравнения:

631. У лисы Алисы в 5 раз больше монет, чем у кота Базилио. Если она подарит ему 16 монет, то монет у них станет поровну. Сколько монет у каждого?

632. Вычисли:

Построй математическую модель задачи: «Дядя Федор должен был проехать 30 км, чтобы успеть к поезду. Однако из-за кота Матроскина он задержался с выездом на 20 мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем предполагал. С какой скоростью ехал дядя Федор?»

634. Слово СЕНО имеет горизонтальную ось симметрии, а слово ШАЛАШ - вертикальную. Кроме того, слово ШАЛАШ является палиндромом — при чтении его справа налево получается то же самое слово. Палиндромом является также предложение АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА. Придумай свои примеры симметричных слов и палиндромов.

Сколько плоскостей симметрии имеют: а) прямоугольный параллелепипед; б) куб; в) конус; г) цилиндр; в) шар?

636. Перегни лист бумаги по прямой I и проткни его ножкой циркуля. Разверни лист и обозначь полученные точки буквами А и А,. Найди их характеристическое свойство и сформулируй определение точек, симметричных относительно прямой I. Сравни свое определение с определением на стр. 149 учебника.

637. Для проведения перпендикуляра к прямой часто используют чертежный угольник, как показано на рис. 119. На бумаге без клеток начерти прямую I и отметь точку А £ I. Построй точку Aj, симметричную точке А относительно прямой /: а) с помощью чертежного угольника; б) с помощью циркуля и линейки (без делений).

638. Перенеси рисунок в тетрадь и построй отрезок ABсимметричный отрезку АВ относительно прямой I.

Построй окружность, симметричную данной относительно прямой I, если: а) прямая I не имеет с окружностью общих точек; б) прямая I касается окружности; в) прямая I пересекает окружность в двух точках.

640. Перечерти фигуры в тетрадь в масштабе 2 : 1 и проведи их оси симметрии:

641. На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой I, содержащей: а) большую сторону; б) меньшую сторону; в) медиану, проведенную к его меньшей стороне.

642. Отметь на кальке точки О и А и поверни кальку вокруг точки О на угол а. Чем определяется положение точки А_Л, полученной в результате поворота точки А? Сравни свои выводы с определением поворота на стр. 149 учебника.

643. Воспроизведи чертеж и поверни: а) точку А на угол а = -80"; б) отрезок АВ на угол а = 100"; в) треугольник АВС сначала на угол а = 90", а потом на угол а = -90". Что можно сказать о полученных треугольниках?

644. Скопируй рисунок в тетрадь и построй отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О.

Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник АВС. Построй треугольник, симметричный треугольнику АВС: а) относительно точки О, лежащей вне треугольника АВС; б) относительно середины М стороны ВС; в) относительно вершины А

646. Точка О - центр симметрии шестиугольника ABCDKM(рис. 120). Назови точки, симметричные точкам С, К, D, М относительно точки О. Какая фигура симметрична относительно точки О отрезку ВО, треугольнику АОМ, четырехугольнику АОКМ, ломаной BODK, семиугольнику ABOCDKM?

647. На рисунке 121 изображена часть фигуры, центром симметрии которой является точка О. Начерти эту фигуру в тетради.

648. Точка А при параллельном переносе на вектор dпереходит в точку А,. Что означает равенство АА_Х = d? Сделай чертеж.

649. Начерти в тетради параллелограмм ABCD. Построй фигуру, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма: а) на вектор ВС; б) на вектор DB; в) на вектор АО, где О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

650. а) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки, то, проводя прямые вдоль другой его стороны, можно получить параллельные прямые (рис. 122). Построй указанным способом несколько параллельных прямых. б) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник АВС и вектор d. Построй параллельный перенос треугольника АВС на вектор d.

651. Имеют ли отрезок, прямая, луч оси симметрии и сколько? Имеют ли они центры симметрии? Проиллюстрируй с помощью рисунков.

652. Начерти фигуру, которая: а) имеет и центр, и ось симметрии; б) не имеет оси, но имеет центр симметрии; в) не имеет центра, но имеет ось симметрии.

653. Построй фигуры, симметричные сектору круга (рис. 123, а) и сегменту круга (рис. 123, б) относительно точки О.

654. Проведи на бумаге без клеток прямую I и ломаную ABCD, которая пересекает прямую Г. а) в одной точке; б) в двух точках. Построй фигуру, симметричную ломаной ABCDотносительно прямой I.

655. Начерти отрезок АС и построй его серединный перпендикуляр I. Отметь на прямой I точку В и проведи отрезки АВ и ВС. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что: а) треугольник АВС - равнобедренный; б) углы при основании треугольника АВС равны; в) медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника ЛВС, равны.

656. Начерти отрезок АВ и отметь точку О £ АВ. Построй отрезок A_XB_Vсимметричный отрезку АВ относительно точки О. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков АВ и А?

657. Перенеси рис. 124 в тетрадь и построй на прямой I точку С так, чтобы длина ломаной АС В была наименьшей.

658. Пожарная машина должна как можно быстрее добраться до горящего дома, заехав на реку за водой (рис. 125). Воспроизведи рисунок и построй кратчайший путь пожарной машины.

659. Вычисли устно:

660. Известно, что 123 • 456 = 56 088. Вычисли устно: а) 1,23-45,6; 6) 12,3-0,456; в) 0,123 • 4560; г) 0,0123 • 4,56.

661. Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

662. Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны: а) модули противоположных чисел равны; б) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям; в) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым.

663. Сократи, если возможно, дроби со знаменателями, не равными нулю:

664. Найди значения выражений:

665. Сравни с нулем:

666. Реши уравнения:

667. Катер проплывает расстояние между двумя поселками, стоящими на берегу реки, за 3 ч против течения реки и за 2 ч 20 мин по течению реки. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Чему равна собственная скорость катера?

668. Рыболов отправился на лодке от пристани по течению реки. Назад ему надо вернуться через 6 ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. На какое наибольшее расстояние может отъехать рыболов, если во время своей поездки он планирует пробыть на берегу 4 часа?

669. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 200 км, одновременно выезжают автомобиль и автобус. Скорость автомобиля на 60% больше скорости автобуса. Во время пути автомобиль делает получасовую остановку, но, несмотря на это, прибывает в пункт В на час раньше автобуса. С какой скоростью ехал автомобиль?

Построй математическую модель задачи: а) Лыжник должен был проехать 8 км с определенной скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, приехал в лагерь вовремя. С какой скоростью ехал лыжник вторую половину пути? б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и еще 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

671. Найди значения выражений:

672. Скопируй рисунок и построй треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно прямой I. Проверь правильность построений с помощью кальки.

а) Построй треугольник АВС, у которого ZА = 90", АВ = ВС = 4 см. Определи вид этого треугольника. б) Построй треугольник AjBjCj,который получается из треугольника АВС при повороте вокруг вершины А на угол а = 45”. в) Начерти прямую /, относительно которой треугольники АВС и ABC,симметричны. Проверь это с помощью кальки.

674. Начерти треугольник АВС со сторонами АВ = 4 см, ВС = 2 см, АС = 5 см. Построй треугольник AC, центрально-симметричный треугольнику АВС относительно вершины В. Является ли точка В центром симметрии четырехугольника ACAC,? Как это доказать?

675. Построй орнамент, который получается при последовательном параллельном переносе трех концентрических окружностей с радиусами 1 см, 2 см и 3 см на 3 см вправо. Начерти вектор d, задающий этот параллельный перенос. Раскрась орнамент, соблюдая «ритм».

676. На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси симметрии. Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии? При каких поворотах равносторонний треугольник переходит сам в себя?

677. Реши уравнения:

Спортивная лодка, двигаясь против течения реки, проплыла расстояние от турбазы до города за 2 ч 15 мин, а обратный путь - за 1,5 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Чему равна собственная скорость лодки?

679. В воскресный день Денис с друзьями отправляются на лодке от причала, предполагая вернуться назад через 4 ч. Перед возвращением они хотят побыть на берегу не менее 2 ч 30 мин. На какое наибольшее расстояние они могут отплыть, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч, а собственная скорость лодки - 7,5 км/ч?

680. Болельщик хочет успеть на стадион к началу матча. Если он пойдет из дома пешком со скоростью 4 км/ч, то опоздает на 15 мин, а если поедет на велосипеде со скоростью 16 км/ч, то приедет на полчаса раньше. На каком расстоянии от дома находится стадион?

681. Найди 40% от числа:

682. Найди число, 3,6% которого равны:

Построй математическую модель задачи: «Поезд был задержан у семафора на 8 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 40 км, увеличив скорость на 15 км/ч. Чему равна скорость поезда по расписанию? »
Выполни действия: а) 999...9 + 2; б) 999...9 + 222...2;
Числовые ребусы. Поставь вместо букв цифры так, чтобы указанные равенства выполнялись. Одним и тем же буквам в каждом примере всегда соответствуют одни и те же цифры, а разным - разные.

686. Перегни лист бумаги так, как показано на рисунке. Отметь на линиях сгиба равные отрезки ОА и ОВ, сделай разрез по отрезку АВ и разверни лист. Как называется полученная фигура? Какими видами симметрии она обладает?

а) Вычисли периметр правильного шестиугольника со стороной 4,5 см. б) Периметр правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его стороны?

688. Построй: а) правильный шестиугольник со стороной 3 см; б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см; в) квадрат с диагональю 7 см; г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см. Есть ли у этих многоугольников оси симметрии, центр симметрии? Обладают ли они поворотной симметрией?

а) Центр О окружности, описанной около правильного л-угольника, соединен с двумя его последовательными вершинами Л и В (рис. 135). Чему равна величина угла AOB. б) Как, зная величину угла АОВ, построить правильный л-угольник с помощью транспортира? Построй правильный пятиугольник и определи, есть ли у него оси симметрии, центр симметрии. При каких поворотах он переходит сам в себя?

690. Паркет составлен из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 136). Найди величину угла правильного восьмиугольника.

Величина угла правильного л-угольника вычисляется по формуле: Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного л-угольника для л = 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 20.

692. Можно ли составить паркет: а) из правильных треугольников и квадратов; б) из правильных пятиугольников; в) из правильных треугольников и шестиугольников; г) из правильных восьмиугольников? Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине.

693. Нарисуй в тетради паркет, составленный: а) из одинаковых ромбов; б) из одинаковых параллелограммов.

694. Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?

695. Найди корни уравнений (устно):

Запиши высказывание на математическом языке и определи, истинно оно или ложно: а) сумма противоположных чисел равна 0; б) произведение взаимно обратных чисел равно единице; в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям; г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям.
Что больше: а) 88...8 • 33...3 или 55...5 • 66...6; цифрб) 252,5 -3,636 или 25,25-36,36;
а) Найди два числа, разность которых равна 6, а одно из них составляет другого. б) Одно число на 40% меньше другого, а их сумма равна 16,8. Какие это числа?
В феврале в городе Nвыпало рекордное количество снега. В первую неделю выпало 20% всего снега, во вторую - на 25% больше, чем в первую, в третью - того, и что выпало за первые две недели вместе, а в четвертую - остальные 45 мм. Сколько всего миллиметров снега выпало в городе Nв феврале?
Построй математическую модель задачи: а) Расстояние между городами А и В равно 120 км. Из А в В выехал грузовик, а через 20 мин вслед за ним - автобус, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. С какой скоростью ехал грузовик, если он прибыл в В на 10 мин позже автобуса? б) Из поселков А и В, расстояние между которыми 16 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 6 км от А. Чему равна скорость пешехода, вышедшего из А, если до встречи он сделал получасовую остановку и его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из В?

701. Найди значения выражений:

702. Реши уравнения, пользуясь разветвленным определением модуля:

703. а) Построй «цветок», изображенный на рис. 137. б) Построй правильный двенадцатиугольник.

а) На рис. 138 изображен паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников. Найди величину угла правильного двенадцатиугольника. б) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников, треугольников и квадратов?

705. Килограмм моркови дороже килограмма картофеля на 3,6 р. За 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 115,2 р. На сколько процентов картофель дешевле моркови?

Построй математическую модель задачи: «Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 6 км, вышли два пешехода. Первый пешеход вышел из А на 10 мин позже, чем второй, но пришел в В на 5 мин раньше. С какой скоростью шел каждый пешеход, если скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго?»

707. Реши уравнения, пользуясь разветвленным определением модуля:

708. Найди значения выражений:

709. Составь паркет из правильных треугольников и шестиугольников.

710. Можно ли составить развертку параллелепипеда, не являющегося кубом, из шести одинаковых прямоугольников?

711. Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра? Выведи их общее свойство.

712. а) Сосчитай число ребер (Р), граней (Г) и вершин (В) каждого правильного многогранника и заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: Г + В - Р = 2.

713. На рис. 142 изображены развертки правильных многогранников. Определи, какая развертка какому многограннику соответствует.

714. Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра, гексаэдра (куба)? Построй сечение тетраэдра ABCDплоскостью, проходящей через его вершины -А, В и середину М ребра CD. в) Построй сечение куба ABCDA_JB₁CDплоскостью, проходящей через вершины А, D, С.

715. Реши примеры, сопоставь полученным ответам соответствующие буквы и расшифруй латинское название многогранника, открытого в XVI веке Леонардо да Винчи. На русском языке он называется «звездчатый октаэдр».

Вычисли среднее арифметическое ряда чисел: 8; 14; 52; 67; 93; 126. Используя полученный результат, определи среднее арифметическое ряда чисел: а) 0,8; 1,4; 5,2; 6,7; 9,3; 12,6; б) 800; 1400; 5200; 6700; 9300;600.

717. От пристани в город, расстояние между которыми по озеру равно 24 км, отправилась лодка, а через 15 мин вслед за ней вышел теплоход. Скорость лодки относится к скорости теплохода как 1,5 : 4. С какой скоростью шел теплоход, если он пришел в город на час раньше лодки?

718. Пароход за 10 ч прошел вниз по реке 224 км, а вверх - на 62,5% меньше. Чему равна средняя скорость парохода?

719. Склей из бумаги модель правильного октаэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см.

720. Катер прошел некоторое расстояние против течения реки за 4 ч, а то же самое расстояние по течению реки - на 30 мин быстрее. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

721. Найди неизвестный член пропорции:

722. Раскрась грани разверток всех правильных многогранников так, чтобы было минимальное число цветов, а соседние грани склеенной модели не были одного цвета.

Задачи для самопроверки.Прочитай определения, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки и установи логическую последовательность введения этих определений. а) Диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр. б) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две ее точки. в) Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности.

724. Углы А и С на рисунке являются вписанными в окружность, а углы Виснет. Придумай определение угла, вписанного в окружность.

725. Построй с помощью циркуля и линейки треугольник АВС: а) по двум сторонам а и Ь; б) по трем сторонам а, bи с; в) по двум сторонам а и Ъ и углу между ними С; г) по стороне а и двум прилежащим к ней углам В и С (стороны и углы задай произвольно). Сколько решений имеет задача? Всегда ли решение возможно?

726. Найди множество корней уравнения:

Катер за полчаса по течению реки и 1 ч 20 мин против течения проплыл 58 км. Какое расстояние проплывет по этой реке плот за 2 ч 40 мин, если скорость катера против течения на 16% меньше его скорости по течению?
Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв: а) Килограмм сметаны стоит а руб., а килограмм сыра на 50% дороже. Сколько стоит покупка 200 г сметаны и 400 г сыра? (а = 60) б) Цена акций некоторого предприятия сначала увеличилась на 10%, а затем уменьшилась на 10%. Сколько стала стоить акция, если ее прежняя

решебники и ГДЗ

гдз - готовые домашние задания

ГДЗ и РЕШЕБНИКИ

ВСЕ КЛАССЫ