решебники и ГДЗ

 

 

 

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ УЧЕБНИКА ЗУБАРЕВОЙ 6 КЛАСС

>>>  ЗДЕСЬ  <<<

 

 

 

 

 

Список упражнений учебника по математике для 6 класса

Авторы: И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович.

 

1. На рисунке 7 укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 1.

2. Скопируйте рисунок 8 в тетрадь и отметьте точки, симметричные точкам М, N, К относительно точки О.

3. Скопируйте рисунок 9 и постройте фигуру, симметричную отрезку АВ относительно точки О. Понятно, что фигура, симметрич­ная отрезку АВ, - это отрезок. Но тог­да нам достаточно знать, где расположены концы этого нового отрез­ка, т. е. достаточно построить точки, симметричные точкам А и В относительно точки О. На рисунке 10 отрезки АВ и АД симмет­ричны относительно точки О.

4. Начертите треугольник АВС и отметьте точку О вне его (как на рисунке 11). Постройте фигуру, симметричную треугольнику АВС относительно точки О.

5. Начертите треугольник KMNи постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно: а) его вершины - точки М; б) точки О - середины стороны MN.

6. Постройте фигуру, симметричную: а) лучу ОМ относительно точки О; запишите, какая точка сим­метрична точке О; б) лучу ОМ относительно произвольной точки А, не принадлежа­щей этому лучу; в) прямой АВ относительно точки О, не принадлежащей этой прямой; г) прямой АВ относительно точки О, принадлежащей этой пря­мой; запишите, какая точка симметрична точке О. В каждом случае охарактеризуйте взаимное расположение цент­рально-симметричных фигур.

7. Подумайте, какая фигура симметрична углу АВС относительно его вершины - точки В. Выполните задания: а) постройте фигуру, симметричную углу АВС относительно точки В; б) постройте фигуру, симметричную углу АВС относительно точки М, лежащей на биссектрисе этого угла.

8. 1) На рисунке 12 изображены различные геометрические фигуры “ и показано, какое положение займёт прямоугольник, если его по­вернуть на 90° вокруг точки пересечения его диагоналей. Если же продолжить этот процесс и повернуть прямоугольник на 180°, то он сольётся (совпадёт) со своим первоначальным изображением. Такую точку, при повороте вокруг которой на 180° фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры, а саму фигуру называют центрально-симметричной. Ука­жите центры симметрии остальных фигур. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 2.

9. На рисунке 13 выберите те геометрические фигуры, которые име­ют центр симметрии. Изобразите их в тетради. Выделите центр симметрии и точки, симметричные отмеченным точкам, там, где это возможно.

10. Укажите, какие фигуры имеют центр симметрии (рис. 14).

11. Запишите, в каких случаях на рисунке 15 правильно изображены координатные лучи. Ответ поясните.

12. (Устно.) а) Как изменится координата точки А(5), если она передвинется по координатному лучу вправо на 2 единицы; влево на 2 единицы; вправо на 3,7 единицы; влево на 3,7 единицы; вправо на 5 единиц; влево на 5 единиц? б) Определите, в какую сторону по координатному лучу передвину­лась точка B(14), и назовите её новую координату, если её координата увеличилась на 7; уменьшилась на 7; увеличилась на 4,9; умень­шилась на 4,9; увеличилась на 13,1; уменьшилась на 13,1.

13. Прочитайте числа: 1 345 610; 3,4; 0,7; 1; 0; 6,01; 15; 0,058; 24. Выберите из них: а) натуральные числа; б) десятичные дроби; в) обыкновенные дроби; г) смешанные числа. Какое число вы не отнесли ни к одному из перечисленных видов чисел?

14. Вычислите: а) 2,31 + 15,7; б) 0,81 + 0,092; в) 4,327 - 2,05; г) 45,8 - 6,75; д) 15,6 + 0,671; е) 12,3 - 4,548.

15. Вычислите: а) 91,05 • 3,2; б) 8,7 • 0,206; в) 268,8 : 5,6; г) 700,7 : 35; д) 7,02 • 0,0055; е) 0,0064 : 0,008.

16. Слово «симметрия», как и многие другие математические тер­мины, пришло к нам из Древней Греции. Выполните вычисления и заполните таблицу. Зашифрованное слово - перевод слова «симмет­рия» на русский язык. О. 7,2 + 0,045; С. 16,09 + 3,1; А. 5 • 0,24; Р. 4,5 : 5; Е. 6,15 - 2,07; О. 16,9 + 3,01; Ь. 48 • 0,25; С. 4,5 : 0,5; 6,15 - 2,7; Н. 16,9 + 3,1; М. 3,2 • 1,25; Т. 4,5 : 50.

17. Решите устно: На оптовую базу поступило 8 т яблок. Фирма «Фрукт & Овощ» приобрела 22%, а магазин «У дяди Пети» - 12% этих яблок. На сколько больше тонн яблок приобрела фирма, чем магазин?

18. Решите устно: Вороне где-то Бог послал кусочек сыра, В нём содержалось 45 процентов жира. Белка же было 35. Хотели б массу сыра мы узнать, Но только знаем с вами мы пока, Что жира было в нём на 50 г больше, чем белка.

19. Вычислите:

20. Точка координатного луча А(8) - центр симметрии. Укажите точку, симметричную относительно этого центра точке: а) М(2); б) N(5); в) K(10); г) L(15).

21. Центр симметрии - точка Б(21). Укажите точку, симметрич­ную относительно этого центра точке: а) P(15,5); б) S(33,7); в) Т(2,06); г) Q(38,38).

22. Укажите координаты точки, симметричной данной относитель­но точки К( 19,3): а) А(2,7); б) B(23,08); в) С(9,75); г) D(34,19).

23. Точка А - центр симметрии для пары симметричных точек (№ 23, 24). Укажите координату этой точки. а) М(15) и N(25); б) К(28) и L(32); в) Е(41) и F(49); д) Е(5) и Н( 10); г) G(14) и H(20); е) M(18) и N(35).

24. Точка А - центр симметрии для пары симметричных точек (№ 23, 24). Укажите координату этой точки. а) М(3,4) и N(25,8); б) K(0,98) и L(3,54); в) E(52,48) и F(84,5); г) G(0,036) и H(0,96).

25. На рисунке 16 изображены флаги различных государств. Запи­шите, используя образец, какая часть флага закрашена указанным цветом. Образец: Франция: синим белым красным

26. Определите координаты отмеченных точек (рис. 17). Сделайте в тетради такой же рисунок, отметьте точки, симметричные данным относительно точки М( 1), и запишите их координаты.

27. Определите, какая часть квадрата закрашена (рис. 18). Ответ запишите двумя способами: в виде обыкновенной и в виде десятичной дроби.

28. Выполните действия: а) 0,5 + 1/2;

29. Султан государства Карамба решил изменить государственный флаг. Он призвал визиря и повелел ему разработать образцы флага прямоугольной формы, отвечающие следующим условиям: флаг должен состоять из трёх полос одинаковой ширины; использовать можно только два цвета - белый и красный; фигура в целом (и по цветам, и по форме) должна иметь центр симметрии. Существует ли решение этой задачи? Если да, то сколько вариантов на выбор визирь сможет представить султану?

30. Напомним, что: событие, которое в данном опыте обязательно произойдёт, назы­вают достоверным событием; событие, которое в данном опыте произойти не может, называют невозможным событием; событие, которое в данном опыте может произойти, а может не произойти, называют случайным событием. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь в приведённом ниже задании, как достоверное, невозможное или случайное. а) При подбрасывании монеты выпала «решка». б) В российском магазине вам на сдачу дали бумажную ассигна­цию достоинством 3 р. в) В мешке находятся 10 шаров, все они белого цвета. Вынутый шар оказался белого цвета. г) В мешке находятся 5 белых и 5 красных шаров. Вынутый шар оказался белого цвета.

31. На рисунке 19 изображён знакомый вам прибор - термометр. Та­кие термометры используются для измерения температуры воздуха за пределами помещения. Постарайтесь определить, какую температуру показывает каждый из изображённых на рисунке термометров. Проверьте себя. Показания термометра можно прочитать и записать по-разному: 15 градусов тепла, или 15 градусов выше нуля, или +15 °С (плюс 15 °С); 0°С; 5 градусов мороза, или 5 градусов ниже нуля, или -5°С (минус 5°С). На шкале термометра знаки «плюс» и «минус» не ставятся. Од­нако их используют при записи показаний термометра вместо слов «тепла» или «выше нуля» и «мороза» или «ниже нуля». Температу­ру, которая записывается со знаком « + », называют положительной, а температуру, которая записывается со знаком «-», называют от­рицательной. Заметим, что положительные значения температуры записывают и без знака « + »: 15°С - это то же самое, что и +15 °С.

32. 1) Днём температура воздуха была +10 °С, а к вечеру понизилась на 4 градуса. Какой стала температура воздуха к вечеру? Вечером температура воздуха была +6°С, а к полуночи пони­зилась на 6 градусов. Какой стала температура воздуха в полночь? В полночь температура воздуха была 0°С, а к утру понизи­лась на 3 градуса. Какой стала температура воздуха утром? Во всех случаях речь идёт о понижении, т. е. об уменьшении, температуры на определённое число градусов. Значит, результат может быть получен вычитанием: +10°С - 4°С = +6°С, +6°С - 6°С = 0°С, 0°С - 3°С = -3°С.

33. Даны числа: 1; -1; 3; -3; 9; -9. Начертите координатный луч, взяв единичный отрезок, рав­ный 0,5 см. Определите, какие из данных чисел можно на нём от­метить, и сделайте это. Подумайте, как надо дополнить координатный луч, чтобы оставшиеся числа тоже можно было отметить. Как бы вы назвали то, что у вас получится? Проверьте себя. Чтобы отметить отрицательные числа, надо координатный луч дополнить противоположным ему лучом и нанести на него такие же деления: Получится прямая, которую называют координатной прямой.

34. 1) Рассмотрите рисунок 20. Какие прямые, изображённые на этом рисунке, можно назвать координатными прямыми? Постарай­тесь обосновать свои ответы. 2) Запишите координаты точек, изображённых на прямых в слу­чаях г) и д). Проверьте себя: г) F (-1), К(-2), Е( 1), N(3); д) К{-1), E(-2), N( 1), М(3). Можно ли указать координаты точек в других случаях? Ответ обоснуйте. Попытайтесь объяснить, что такое координатная прямая. Проверьте себя. Координатная прямая - это прямая с указанными на ней нача­лом отсчёта, направлением отсчёта и единичным отрезком. Термометр, изображённый на рисунке 19, - это фактически фрагмент координатной прямой. Координатную прямую можно располагать на плоскости по-разному (рис. 21), но мы пока будем располагать её так, как показано на рисунке 21, б.

35. Около стрелочки, указывающей направление отсчёта на коорди­натной прямой, часто ставят букву: х, у, t и т. п. (рис. 22). В таких случаях говорят соответственно: ось х, ось у или ось t. . Координату точки при этом можно записывать так: х = 1, х = 3, х = -1; у = -2,5, у = 1/3 , у = 10; t= 0, t= 5, t= -2,73. Изобразите три координатные прямые - ось х, ось у и ось t- и от­метьте на них точки с указанными выше координатами. Отметим ещё одно важное обстоятельство. Математики, работая ! с координатной прямой, обычно под словами «точка с координатой а» и «число а» подразумевают одно и то же. Поэтому можно говорить так: «Точка расположена слева от точки 0(0)», но можно говорить и так: «Число расположено слева от точки 0(0)».

36. 1) Запишите координаты отмеченных на рисунке 23 точек: В Как называются числа, расположенные справа от точки 0(0), слева от этой точки? Как записывают эти числа? Проверьте себя. Числа, расположенные на координатной прямой справа от нуля, называются положительными, а слева - отрицательными. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 3.

37. Запишите, какие из чисел 12; -15; +8; 0,5; -9; +17; 0; -2,1: а) положительные; б) отрицательные; в) не относятся ни к по­ложительным, ни к отрицательным числам.

38. Запишите координаты точек А, В, С, D (рис. 24).

39. Отметьте на координатной прямой точки: б) А(50), B(-25), С(150), D(200), E(-300), F(+250); г) А(40), B(-80), С(20), D(-ЮО), E(120), F(-200).

40. Точка координатной прямой 0(0) взята в качестве центра сим­метрии. Укажите точку, симметричную относительно этого центра точке: а) М(12); б) N(-0,5); в) K(120); г) L(-152).

41. Центр симметрии - точка B(5). Укажите точку, симметричную относительно этого центра точке:

а) P(12); б) S(-3); в) Т(25); г) Q(-38).

42. Укажите координату точки, симметричной данной относительно точки K(-10): а) А(15,5); б) B(-28,1); в) С(-9,9); г) D(-12,8).

43. Укажите координату центра симметрии, точки А, для каждой пары симметричных точек (№ 43, 44): а) М(-15) и N(-25); б) К(-8) и L(8); в) Е(-2) и F(1); г) G(-14) и Н(4); д) Р(-4) и Q(-l); е) В(-10) и С(5).

44. Укажите координату центра симметрии, точки А, для каждой пары симметричных точек (№ 43, 44): а) М(-3,4) и N(3,4); б) K(-10) и L(O); в) E(-12) и F(-8); г) G(-3) и H(5); д) Р(-8) и Q(12); е) B(-15) и С(3).

45. Вычислите: а) 4,8 : 0,4 + 2,8 : 7 - 20,5 • 0,002; б) 52,2 : 30 + (3,07 • 0,2 - 2,04 • 0,05); в) 3,58 • 3,9 - 0,01 : 4 - 5,5838 • 2,5; г) 7,14 : 3,5 - (5,02 • 0,55 - 4,5 • 0,34).

46. Определите, какая часть фигуры закрашена (рис. 25).

47. Сравните числа: а) 12,15 и 12,71; в) 28,154 и 28,54; д) 0,780 и 0,78; б) 0,582 и 0,59; г) и 0,09;е) и 0,17

48. Сравните числа:

49. Вычислите:

50. Вычислите:

51. Определите, какая часть фигуры закрашена (рис. 26)

52. Сравните числа:

53. Сравните числа:

54. Выполните действия:

55. Найдите разные способы решения следующих задач. а) Площадь одного огорода б соток, а другого - 8 соток. На каж­дом из них 1% площади занят посевами фасоли. На сколько пло­щадь, занятая фасолью, на первом участке меньше, чем на втором? б) В течение года из бюджета одного города на нужды образова­ния выделено 12 783 000 р., а из бюджета другого - 38 349 000 р. В обоих случаях сумма, выделенная на образование, составила 1 % городского бюджета. Во сколько раз бюджет второго города превы­шает бюджет первого?

56. В бригаде по уборке моркови работают 12 человек, а в бригаде по уборке картофеля - в 5 раз больше. Сколько человек надо пере­вести с уборки картофеля на уборку моркови, чтобы в обеих брига­дах людей стало поровну?

57. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное. На координатной прямой взяли произвольную точку и определи­ли её координату. Оказалось, что координата: а) положительное число; б) отрицательное число; в) ни положительное, ни отрицательное число.

58. а) Алёша с папой принесли из леса 13,2 кг грибов. После обработки оказалось, что - их массы ушло в отходы. Определите массу отходов. б) Для приготовления варенья была куплена вишня, из которой Лера и Даша вынимали косточки. Масса вынутых косточек оказа­лась равной 1,3 кг, что составило массы переработанной вишни. Определите массу купленной вишни.

59. Даны числа: 2; 5; 7; 11. Перед ними надо поставить знак « + » или «-» так, чтобы: а) получить два положительных и два отрицательных числа; б) получить три положительных и одно отрицательное число; в) получить одно положительное и три отрицательных числа; г) получить все отрицательные числа. Постарайтесь найти все способы.

60. Отметьте на координатной прямой точки А(-3) и Б(+5) и определите расстояние между ними в единичных отрезках. Говоря о расстоянии между точками координатной прямой, всегда подразумевают, что оно измеряется в единичных отрезках этой прямой. Поэтому в дальнейшем будем говорить просто «расстояние между точками координатной прямой», опуская слова «в её единич­ных отрезках».

61. Укажите расстояние от точки 0(0) до точек А(-4), D(-3,5), Р(15), М(-100) В{6), С(-6), Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки 0(0), называют модулем числа а и обозначают |а|. Например, |-4| = 4, |6| = 6 (читается: «модуль минус четырёх равен четырём», «модуль шести равен шести»).

62. Укажите модули чисел: а) 25; -9,71; -78; 0;

63. Найдите значения выражения |х|, если: а) х = 13,5; -18; 0,4; -11; б) x = -17;

64. Из данных чисел выберите то, которое имеет наибольший модуль: а) 1,2; -1,11; 1,19; -1,3; б) 7,81; -7,392; 7,085; -7,9.

65. Запишите модули координат точек, отмеченных на координат­ной прямой (рис. 28).

66. 1) Отметьте на координатной прямой точки А(2), B(-2), С(+4), D(-3), E(-5,2), F(5,2), G(-6), H(7). 2) Среди этих точек найдите и укажите симметричные относи­тельно точки 0(0). Что можно сказать о координатах симметричных точек? Проверьте себя. Точки, симметричные относительно точки 0(0): А(2) и В(-2), E(-5,2) и F(5,2). Координаты симметричных точек - это числа, которые отли­чаются только знаком. Такие числа называют противоположными.

67. 1) Отметьте на координатной прямой числа, модули которых равны 2, 6, 0, 3. 2) Что можно сказать о модулях противоположных чисел? По­пробуйте объяснить, что такое противоположные числа, используя понятие модуля числа. Проверьте себя. Противоположные числа - это числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком. Например, 2 и -2, у и-у,2 ^ и -2 у , -3,17 и 3,17. Лишь одно число противоположно самому себе - это число 0, поскольку 0 = -О (поэтому -0 писать не принято).  Натуральные числа, числа, им противоположные, и число 0 называют целыми числами. Все целые числа и все дроби (положительные и отрицательные) называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 4.

68. а) Можно ли о противоположных числах сказать, что это нерав­ные числа с равными модулями? б) Объясните, почему числа +2 и -2 - противоположные, а +2 и -3 - нет.

69. Укажите числа, противоположные данным: а) 31; +1,5 б) -8,3; -44; 0.

70. Из чисел 15; 2,5; -2,5; -18; 0; 45; -45 выберите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) неотрицательные числа; г) неположитель­ные числа. Проверьте себя. Задания под буквами а) и б), скорее всего, затруднений не вы­звали: натуральные числа - это числа 15 и 45, целые числа - это числа 15; -18; 0; 45 и -45. Поэтому разберём только задания под буквами в) и г), где говорится о неотрицательных и неположитель­ных числах. Что означает прилагательное «неотрицательное»? Очевидно, что если число положительное, то оно неотрицательное, но нельзя забы­вать о числе, которое не относится ни к отрицательным, ни к поло­жительным числам, - это число 0. Следовательно, неотрицательные числа - это все положительные числа и число 0. Аналогично неположительные числа - это все отрицательные числа и число 0. Значит, среди указанных в № 70 чисел неотрицательными явля­ются числа 15; 2,5; 0 и 45, а неположительными - числа -2,5; -18; 0 и -45.

71. Запишите число, противоположное числу а. Укажите число, противоположное числу а, если: а- 5, а =-3, а = 0, а = - 2/5. Проверьте себя. Число, противоположное а, - это число -а. Если а = 5, то -а = -5. Если а = -3, то -а = -(-3) = 3 и т. д.

72. Укажите число, противоположное числу b, если: a) b = +1,2; б)6 = -2/5; в) b = -7; г) b = 4,3.

73. 1) Подумайте, что означает запись: -(-а). 2) Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: Проверьте свои рассуждения. Запись -(-а) означает: «число, противоположное числу -а». Но число, противоположное числу -а, - это а, значит, -(-а) = а. Поэтому -(-5) = 5, 3 = -(-3) и т. д. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 5.

74. Укажите число, противоположное числу -а, если: а) -а = 4; б) -а = -7; в) -а = +12,8; г) -а = 0.

75. Укажите число, противоположное числу -b, если: а) -b = -2; б) -b = +15; в) -b = -3,1; г) -b = 3/4.

76. Изобразите число а точкой координатной прямой, если: а) а = +2; б) -а = -1,5; в) а = 2,25; г) -а = 3,75.

77. Изобразите число -а точкой координатной прямой, если: а) -а = -2; б) а = +2,5; в) а = -1,2; г) -а = +0,25.

78. Изобразите число b точкой координатной прямой, если: а) b = 3; б) -b = +4; в) b = -2; г) -b = -5.

79. Изобразите число -b точкой координатной прямой, если: а) b = -3,5; б) -b= +7; в) b = -6; г) -b = -4,5.

80. Найдите значение выражения: а) -k, если k = 4,5; -10; 8; -(-2,3); б) т, если -т = 5; -16; +4,2; -(-9); в) -(-b), если b~ -7; 3,4; -21; -(-6); г) -с, если с = -0,85; 12; -41,2; -(-8).

81. Укажите координаты точек М, N, К (рис. 29).

82. Найдите расстояние между точками координатной прямой: а) А(-2) и В(2); в) М(-15) и N(+15); б) С(-3,4) и D(+3,4); г) K(-21,8) и L(+21,8).

83. Найдите х из равенства: а) -х = 8,5; в) -х = 101; б) -х = -4,2;

84. 1) Укажите: а) |-х|, если |х| = 5; б) |х|, если |-х| = 8. 2) Верно ли, что |х| = |-х|? Почему?

85. Сравните: а) 12,15 и |-12,71|; в) 128,1541 и 128,541; б) 10,5821 и 0,59;

86. Сравните:

87. Вычислите:

88. Вычислите:

89. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: а) -8,2 и 3,4; -5,7 и -0,5;

90. Решите уравнение: а) |х| = 9; б) |х| = 25; в) |х| = 0; г) |х| = -7.

91. Вычислите: а) 1,5 • -31;

92. Вычислите:

93. На одной полке стояло х книг, а на второй - в 4 раза больше. Когда со второй полки переставили на первую 21 книгу, то книг на полках стало поровну. Запишите выражения для следующих величин: число книг на второй полке первоначально; число книг на второй полке, после того как оттуда убрали 21 книгу; число книг на первой полке, после того как туда поставили 21 книгу. Найдите равные величины и составьте уравнение - математиче­скую модель данной ситуации.

94. В одной цистерне 11,3 т нефти, а в другой - на 15,1 т больше. В первую цистерну долили столько нефти, что её масса увеличилась в 4 раза. Сколько нефти надо долить во вторую цистерну, чтобы масса нефти в обеих цистернах стала одинаковой?

95. Маша и Саша вышли одновременно навстречу друг другу из сво­их домов, расстояние между которыми 1,82 км. Через какое время они встретятся, если Маша идёт со скоростью 4,2 км/ч, а Саша - на 0,7 км/ч быстрее?

96. Найдите значение выражения:

97. Найдите значение выражения:

98. Найдите значение выражения:

99. Найдите значение выражения:

100. Запишите все целые числа, модули которых: а) меньше 5; б) больше 5, но меньше 12.

101. Укажите (сделайте рисунок), где на координатной прямой рас­положены числа, модули которых равны 1; больше 1; меньше 1.

102. Укажите (сделайте рисунок), где на координатной прямой рас­положены числа, модули которых равны 3; меньше 3; больше 3.

103. Укажите (сделайте рисунок), где на координатной прямой расположены точки М(х), координаты которых удовлетворяют не­равенству:

104. Определите, какая часть фигуры на рисунке 30 закрашена. Запишите ответ разными способами, если возможно.

105. Вычислите:

106. Вычислите: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 1.

107. 1) Днём температура воздуха была +7°С, а к вечеру понизилась на 5 градусов. Какой стала температура воздуха к вечеру? 2) Сравните числа, соответствующие показаниям термометра днём и вечером. Отметьте их на координатной прямой. Какое из них расположено правее: большее или меньшее?

108. 1) Вечером температура воздуха была +2°С, а к полуночи по­низилась на 4 градуса. Какой стала температура воздуха в полночь? 2) Сравните вечернюю и полуночную температуры воздуха. От­метьте на координатной прямой эти числа. Какое число расположе­но правее: большее или меньшее?

109. 1) В полночь температура воздуха была -2°С, а к утру понизи­лась на 5 градусов. Какой стала температура воздуха утром? 2) Сравните числа -2 и -7. Отметьте их на координатной пря­мой. Какое из них расположено правее: большее или меньшее? Проанализируйте результаты выполненных заданий и сформулируйте вывод о том, как на координатной прямой располагаются по отношению друг к другу неравные числа. Проверьте себя. Если выполнить все задания на одной координатной прямой, то получится такой рисунок: Во всех заданиях речь шла о понижении, т. е. об уменьшении, температуры. Значит, в каждом случае конечное значение темпера­туры меньше начального, поэтому: 2 < 7, -2 < +2, -7 < -2. Во всех случаях правее на координатной прямой расположено большее число. Следовательно, для отрицательных чисел на коорди­натной прямой сохраняется тот же порядок, что и для положитель­ных: при движении точки вправо её координата увеличивается, Вывод: из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 6.

110. Объясните почему: а) -5 < -1; б) -2 > -16; в) -25 < 3; г) 0 > -9.

111. Определите, какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее и на сколько: а) 8 или 12; -8 или -12; 8 или -12; -8 или 12; б) 16 или 9; -16 или -9; 16 или -9; -16 или 9; в) 0,1 или 0,01; -0,1 или -0,01; -0,1 или 0,01; 0,1 или -0,01; г) 1,2 или 1,12; -1,2 или -1,12; -1,2 или 1,12; 1,2 или -1,12.

112. Определите, какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее и на сколько:

113. Сравните числа и их модули:  - 7 и 7; 0 и 18; -15 и 6; -35 и 1

114. Сравните числа и их модули: 0 и 8; 15 и 10; -15 и 10; -38 и -1087

115. Сравните числа и их модули: 0,2 и 0,17; 0,2 и 0,1; 0 и 0,5; -0,7 и -0,8; -0,62 и -0,9; 1,4 и -1,28

116. Сравните числа и их модули: -0,2 и -0,17; 0 и 0,7; 0,06 и -6; -1,8 и -5,6; -7,85 и 7,9; 6,44 и -6,5

117. Сравните числа и их модули:

118. Сравните числа и их модули:

119. Верно ли, что (подумайте, в каких случаях для обоснования вашего мнения достаточно привести один опровергающий или под­тверждающий пример): а) из двух чисел с одинаковыми знаками больше то, которое имеет больший модуль; б) из двух чисел с разными знаками меньше то, которое имеет меньший модуль; в) из двух положительных чисел больше то, которое имеет больший модуль; г) из двух отрицательных чисел больше то, которое имеет мень­ший модуль?

120. (У с т н о.) Верно ли, что: а) -1 > 0; б) -10 < -5; в) -8 > 3; г) -18 < 45?

121. (У с т н о.) Верно ли, что: а) -5 < -10; б) -7 > -8; в) -5 < 1; г) -875 < -1?

122. (У с т н о.) Верно ли, что: а) -0,1 < 0; б) -0,1 < -0,01; в) -6,6 > 1,1; г) -8,4 > -7,3?

123. (У с т н о.) Верно ли, что: а) 0,01 < -0,1; б) -1,2 > -1,3; в) -7,3 < 3,5; г) -0,975 < 0,35?

124. (У с т н о.) Верно ли, что:

125. (У с т н о.) Верно ли, что:

126. (Устно.) Укажите все целые числа, которые можно подста­вить вместо х, чтобы получилось верное двойное неравенство: а) -3,5 < х < 2,1; [1] -1,2 < х < 4; в) -4 < х < 1,7; д) -7,1 < х < -4,8; г) -3 < х < 2 т ; е) - 5 < х < -1,1.

127. Верно ли, что: 127. а) 4 < 4,8 < 5; б) -4 < -4,8 < -5; в) -6 < -6,7 < -7; г) -5 < -4,8 < -4; д) -8,2 < -8,1 < -8,01; е) -1,4 < -0,4 < -1?

128. Верно ли, что:

129. Верно ли, что:

130. Запишите числа в порядке возрастания: а) 0, -10, 15, -8, -2, 4, -4, 12, -15, -25 б) 0, 4, -16, -89, -123, -85, -46, -52, -270, -720 в) 0, -0,01, 0,1, 0,01, -1,1, 1,01, -6,2, 5,4, -0,1, -7,3

131. Верно ли утверждение: а) меньшее из двух отрицательных чисел имеет больший модуль; б) меньшее из двух отрицательных чисел может иметь мень­ший модуль; в) большее из двух положительных чисел имеет меньший модуль; г) большее из двух положительных чисел не может иметь мень­ший модуль?

132. Приведите опровергающий пример для данного утверждения: а) нуль больше любого неотрицательного числа; б) нуль меньше любого неотрицательного числа; в) нуль меньше любого неположительного числа; г) нуль больше любого неположительного числа.

133. Верно ли, что: а) из двух чисел с разными знаками больше то, которое имеет больший модуль; б) большее из двух чисел с разными знаками может иметь боль­ший модуль; в) любое неотрицательное число больше любого неположитель­ного числа; г) большее из двух положительных чисел имеет больший модуль?

134. Замените знак «V» знаком «>» или «<» так, чтобы получилось верное неравенство: а) 29 V -610; б) -8 V -25; в) -18 V -51; г) -56 V -78.

135. Замените знак «V» знаком «>» или «<» так, чтобы получилось верное неравенство: а) 10,2 V 10,8; б) 7,5 V 7,38; в) -10,2 V 10,8; г) -7,5 V -7,38; д) -16,4 V -16,8; е) -5,1 V -4,3.

136. Замените знак «V» знаком «>» или «<» так, чтобы получилось верное неравенство: а) -10,2 V -10,8; б) -18 V +370; в) +7,5 V -7,38; г) +10 V -188; д) -0,2 V -19,5; е) -71 V -71,3.

137. Замените знак «V» знаком «>» или «<» так, чтобы получилось верное неравенство: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 2.

138. Запишите следующее утверждение в виде неравенства: а) +5,7 является положительным числом; б) -12,48 является отрицательным числом; в) т - число положительное; г) п - число отрицательное; д) а - число неположительное; е) b- число неотрицательное.

139. Укажите все натуральные значения х, при которых верно не­равенство: а) |x| < 5; б) |х| < 7; в) |х| < 3; г) |х| < 6.

140. Укажите все целые значения х, при которых верно неравенство: а) |х| < 2; б) |х| < 4; в) |х| < 1; г) |х| < 8.

141. Выполните действия: а) 0,24 - (1,2 • 0,15 + 12 : 100) : 1,25; б) 12 : 7,5 + 7,5 : 12 + 0,25 : 0,4 • (5,1 - 3,86); в) 5,632 : 51,2 + 4,256 : 3,8 - (3 - 0,39 : 0,15); г) (0,598 + 0,536) : 0,28 : (0,003 • 5 + 0,029 • 15).

142. Мама купила яблоки, апельсины, бананы и мандарины. Яблок было куплено х кг. Запишите в виде выражения: а) массу апельсинов, если их было куплено на 0,2 кг больше, чем яблок; б) массу бананов, если она в 2,1 раза больше массы яблок; в) массу мандаринов, если она на 0,9 кг больше, чем масса апельсинов. Составьте математическую модель ситуации, если известно, что: а) мандаринов было куплено столько же (по массе), сколько бананов; б) всего мама купила 5,84 кг фруктов; в) мандаринов было меньше, чем бананов, на 2,2 кг.

143. (У с т н о.) а) Оптовая фирма по торговле компьютерным оборудованием закупила 200 процессоров разной частоты. Из них процессоры с ча­стотой 333 МГц составили 48%, а с частотой 400 МГц - 23%. На сколько меньше было куплено процессоров с частотой 400 МГц, чем с частотой 333 МГц? б) Магазин закупил различные кондитерские изделия. Из них печенье составило 35%, а пряники - 10% массы закупленных про­дуктов. Сколько килограммов кондитерских изделий закупил мага­зин, если пряников было закуплено на 30 кг меньше, чем печенья?

144. Флаг Нигерии поделён на три равные части, причём флага белая, aзелёные. Определите, какая часть флага закрашена зе­лёным цветом в каждом случае (рис. 31), и найдите флаг Нигерии.

145. Катя закрасила квадрата, а Даша (рис. 32). Опреде­лите, где рисунок Кати, а где - Даши.

146. Запишите, какие прямые на рисунке 33 параллельны. Заметим, что установить параллельность прямых на глаз невозможно. Например, на фотографиях или рисунках, где изображены открытые участки земной поверхности, заведомо параллельные линии выглядят пересекающимися (рис. 34). Так что иногда «не верь глазам своим». Посмотрите на рисунок 35. Здесь возникает сомнение по поводу того, что вертикальные линии - прямые. А глядя на рису­нок 36, трудно поверить, что проведённые прямые параллельны. Но вы уже знаете, что обосновать, т. е. доказать, то или иное предположение можно при помощи рассуждений. Докажем парал­лельность противоположных сторон прямоугольника. Предположим, это неверно: стороны прямоугольника ВС и AD(рис. 37) не парал­лельны., т. е. их можно продолжить так, что где-то, пусть очень да­леко, они пересекутся. Обозначим точку их пересечения буквой К. Рассмотрите треугольник CKD.Всё ли в порядке в этом тре­угольнике? Вы, конечно, заметили, что в этом треугольнике сумма углов больше 180°. В самом деле, АС = 90°, AD= 90°, АС + AD= 180°, а ведь есть ещё в треугольнике и угол К, значит, АС + AD+ АК > 180°. Но такого быть не может (вы, наверное, помните, что сумма углов треугольника равна 180°), поэтому наше предположение о том, что прямые ВС и ADмогут пересечься, неверно. Значит, ВС || AD.Точно так же можно доказать, что АВ || CD. Вывод: противоположные сто­роны прямоугольника параллельны. В старших классах вы научитесь доказывать параллельность прямых в более сложных случаях. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурсы № 7, 8.

147. Скопируйте в тетрадь рисунок 38. Через отмеченные точки прове­дите прямые, параллельные заданной диагонали четырёхугольника.

148. Запишите, какие прямые (рис. 39), по вашему мнению, парал­лельны.

149. Какие стороны многоугольников (рис. 40), по вашему мнению, параллельны (если такие есть)?

150. Докажите, что если две прямые перпендикулярны третьей пря­мой, то эти прямые параллельны.

151. Проведите прямую а и отметьте точки М и Nвне её (рис. 41). Опустите из этих точек перпендикуляры ММ_Х и NN_Xна прямую а. Измерьте расстояние между точками М и Nи между основаниями перпендикуляров - точками М_х и. Сравните полученные резуль­таты. Охарактеризуйте взаимное расположение прямых ММ₁ и NN₁.

152. Известно, что а и b- положительные числа, а х и у - отрица­тельные. Сравните: а) 0 и х; а и 0; -b и 0; 0 и -х; б) а и х; у и b; -у их; -а и b;

153. В доме температура а °С, а на улице - b°С. На сколько градусов температура на улице ниже, чем в доме? Дайте ответ при: а) а = 23, b = 15; б) а = 18, b = -21

154. Вычислите:

155. Вычислите:

156. Начало координат (рис. 42) перенесли на 2 единичных отрезка влево. а) Какими стали координаты точек А, В, С, D, как они изме­нились? б) Есть ли на прямой точки, координаты которых умень­шились? в) Как изменились модули координат точек А, В, С, D? г) Есть ли на прямой точки, модули координат которых не изменились?

157. Куда надо перенести начало координат, чтобы: а) координаты всех точек увеличились на 3; б) координаты всех точек уменьшились на 5; в) модуль координаты точки А(7) увеличился на 2; уменьшился на 3; г) модуль координаты точки А (5) не изменился?

158. Какое из данных чисел расположено на координатной прямой правее:

159. Какое из данных чисел расположено на координатной прямой левее:

160. Расположите числа в порядке возрастания:

161. Расположите числа в порядке убывания:

162. Сравните числа:

163. Вычислите устно:  а) 10,91 + -41; в) |-5| • |37|; д) |0,5б| : |-80|; б)  -251 - 1171; г) |-б| : |30|; е) |-3| • |-7,02|.

164. Продолжительность летних каникул Сони 98 дней, этого периода она провела с мамой на даче, остального каникулярного времени - в летнем лагере, а оставшиеся дни - у бабушки в дерев­не. Сколько дней Соня гостила у бабушки?

165. Вычислите:

166. Вычислите:

167. Вычислите:

168. Дана прямая I и точка О вне этой прямой. Постройте прямую Г, симметричную прямой I относительно центра О. Какое предположе­ние можно сделать о взаимном расположении этих прямых: пересе­каются они или параллельны? Предположим, что эти прямые пересекаются в точке М. Что можно сказать о точке, которая ей симметрична? Проверьте себя. Поскольку точка М - это точка пересечения прямых I и V, то она принадлежит обеим этим прямым. Значит, симметричная ей точка тоже принадлежит обеим прямым. Но тогда прямые I и V имеют две точки пересечения, а этого быть не может. Следователь­но, эти прямые параллельны.

169. На плоскости расположены п точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждые две из данных точек соеди­нены отрезком. Сколько всего проведено отрезков, если: а) п = 2; б) п = 3; в) п = 4; г) п = 5?

170. 1) Используя рису­нок 43, запишите, как мо­гут быть вычислены коор­динаты точек А, В и С. Проверьте себя: А: 0 + 7 - 5 = 2; В: 0 + 2 - 4 = -2; С: 0 - 2 - 5 = -7. 2) Запишите аналогичные равенства для точек D, Е, F, М, N, К (рис. 44). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 9.

171. Сделайте рисунок к данному выражению и найдите его значение: а) 0 + 4 + 7; б) 0 + 3 - 2; в) 0 + 6 - 8; г) 0 - 6 - 2.

172. Сделайте рисунок к данному выражению и найдите его значение: а) 0 + 7 + 4; б) 0 - 2 + 3; в) 0 - 8 + 6; г) 0 - 2 - 6.

173. После двух перемещений точки по координатной прямой от на­чала отсчёта её координата стала равной 10. Запишите в виде равен­ства, как могла перемещаться точка, если она: а) оба раза передвигалась вправо; б) первый раз передвинулась вправо, а второй - влево; в) первый раз передвинулась влево, а второй - вправо.

174. Сделайте рисунок, соответствующий данному выражению, и найдите его значение: а) 0 - 25 + 12; б) 0 - 25 + 35; в) 0 - 100 - 3; г) 0 + 40 - 20; д) 0 - 50 + 25; е) 0 + 70 - 170.

175. Сделайте рисунок, соответствующий данному выражению, и найдите его значение: а) 0 + 1,5 - 0,9; б) 0 - 0,6 + 0,2; в) 0 - 1,5 - 1,7; г) 0 - 3,8 + 4; д) 0 - 2,6 - 3,4; е) 0 + 7,1 - 8.

176. Сделайте рисунок, соответствующий данному выражению, и найдите его значение:

177. 1) Сравните выражения: 0 + 5-8; +5-8; 5-8. Найдите их значения. Подумайте, как с помощью координатной прямой найти зна­чения таких выражений: (+6) - 8; (-4) + 3; (+2) - 3; (-5) + 7. Проверьте себя. Вычисляя значения выражений вида 0 + 5-8, мы фактиче­ски рассматривали знаки «+» и «-» не как знаки действий сложе­ния и вычитания, а как указатели направления движения вдоль ко­ординатной прямой: « + » - вправо, а «-» - влево. В этих случаях точка начинала своё движение по координатной прямой от начала отсчёта, точки 0(0). Но она может начать движение и от любой дру­гой точки. Выражения +5 - 8 и 5 - 8 показывают, что движение начинается от точки с координатой (+5) или 5, что одно и то же. Поэтому значения всех трёх выражений равны -3: 0 + 5 - 8 = -3; +5 - 8 = -3; 5 - 8 = -3. Чтобы найти значения данных выражений с помощью коор­динатной прямой, рассматриваем перемещение точки в первом за­дании от точки с координатой (+6) (рис. 45), во втором - от точки с координатой (-4) (рис. 46). Рисунки к выражениям (+2) - 3 и (-5) + 7 сделайте самостоя­тельно. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 10.

178. Укажите выражения, значения которых равны (ответ запиши­те в виде равенства): (+15) + 9; -15 - 9; -15 + 9; (-15) - 9; (-15) + + 9; +15 - 9; +15 + 9; (+15) - 9.

179. Найдите значение выражения: а) (+23) + 50; б) -23 - 50; в) (-23) + 50; г) +23 - 50.

180. Найдите значение выражения: а) -71 + 45; б) 71 - 45; в) (-71) - 45; г) (+71) + 45.

181. Найдите значение выражения: а) (-38) - 42; б) -38 + 42; в) 38 - 42; г) 38 + 42. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 3.

182. Найдите значение выражения: а) -6,8 + 2,5; б) -6,8 - 2,5; в) (+6,8) - 2,5; г) +6,8 + 2,5; д) (-2,5) - 6,8; е) (+2,5) - 6,8.

183. Найдите значение выражения: а) -4,27 - 7,3; б) (-4,27) + 7,3; в) 4,27 - 7,3; г) 4,27 + 7,3; д) (-7,3) - 4,27; е) (+7,3) - 4,27.

184. Найдите значение выражения: а) -9,4 - 3,6; б) -9,4 + 3,6; в) 9,4 - 3,6; д) (-3,6) + 9,4; г) (+9,4) + 3,6; е) (+3,6) - 9,4.

185. Найдите значение выражения: а) 0,76 - 2,5; б) (-0,76) - 2,5; в) -0,76 + 2,5; г) (+0,76) + 2,5 д) (-2,5) + 0,76; е) (+2,5) - 0,76.

186. Найдите значение выражения:

187. Найдите значение выражения: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 4.

188. Объясните, какой смысл могут иметь равенства: (+10°) - 4° = 6°; (+6°) - 6° = 0°; 0° - 3° = -3°. Проверьте, так ли вы рассуждали. Все три равенства иллюстрируют понижение, т. е. уменьшение, температуры на определённое число градусов. Уменьшение вели­чины на некоторое число в математике соответствует действию вы­читания. Поэтому смысл каждого равенства можно объяснить так: начальное значение температуры уменьшается на данное число гра­дусов и в результате получается конечное значение температуры.

189. Какие изменения температуры описывают следующие равен­ства: а) (+2) + 5 = 7; в) (-12) + б = -6; б) (-10) + 15 = 5; г) (-1) + 8 = 7?

190. 1) Используя шкалу термометра, найдите значение выражения: а) (+4) - 7; б) (-4) + 7; в) (-4) - 7; г) (+4) + 7. Запишите каждое выражение без скобок и найдите его зна­чение, считая, что знаки « + » и «-» показывают направление движе­ния вдоль координатной прямой. Сравните полученный результат с тем, который был найден с помощью термометра.

191. Вычислите: а) (-7,28) - 4,3; б) (+7,28) + 4,3; в) (-7,28) + 4,3; г) (+7,28) - 4,3; д) (+4,8) + 5,2; е) (-4,8) + 5,2.

192. Вычислите: а) (+9,4) + 15,78; б) (-9,4) - 15,78; в) (+9,4) - 15,78; г) (-9,4) + 15,78; д) (-4,8) - 5,2; е) (+4,8) - 5,2.

193. Вычислите:

194. Вычислите:

195. Вычислите значения выражений а + bи а – b. Значения а и b  возьмите из таблицы. Вычисления оформите по образцу: а + b = (-13) + 15 = -13 + 15 = 2, а - b = (-13) - 15 = -13 - 15 = -28.

196. Вычислите:

197. Вычислите:

198. Вычислите:

199. Используя понятия «доходы» и «расходы» или «прибыль» и «убытки», объясните смысл выражения 0 + (-8) + (+6). Запишите это выражение без скобок и найдите его значение. Заметим, что, как и при вычислениях с помощью координатной ! прямой, число 0 в начале выражения обычно не записывают.

200. Используя понятия «долг», «прибыль» и т. п., объясните (устно) смысл выражения, запишите его без скобок и найдите его значение:  (-7) + (+5); 3) (+5) + (-7); 5) (+5) + (+7);  (-7) + (-5); 4) (-5) + (-7); 6) (+7) + (+5).

201. Запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) (+11) + 17; в) (-37) + (-63); д) (-26) + (-12); б) 25 + (-30); г) (-52) + (+32); е) (-34) + (-21).

202. Запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) (-12) + 8; б) -44 + (-20); в) (+48) + (-31); г) (-28) + (-42); д) (+78) + (-96); е) (-59) + (-22).

203. Представьте выражение в виде суммы положительных и отри­цательных чисел: а) -8 + 12 - 34; в) -32 + 17 + 13; д) -3 + 8 + 25; б) -15 - 25 + 40; г) -8 + 15 - 8; е) 19 - 20 - 9. Объясните смысл выражения тремя способами: как движение вдоль координатной прямой; как изменение температуры; с использованием понятий «доход» и «расход» (представив его в виде суммы).

204. Найдите значение выражения: а) -16 + 8; б) -9 + 15; в) 19 - 12; г) -14 - 16.

205. Найдите значение выражения: а) 20 - 35; б) -6 - 21; в) 12 - 19; г) +14 + 16.

206. Найдите значение выражения, рассуждая удобным для вас спо­собом: а) -200 - 300; в) -300 + 200; д) -300 - 200; б) -200 + 300; г) 200 - 300; е) +200 + 300.

207. Запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) (-5) + (-6) + 25; в) (-28) + 12 + (-15); б) +15 + (-48) - 52; г) 16 + (-20) + 4.

208. Запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) -2,8 + (+1,4) + 2,3; б) -5,2 + 8,3 + (-5,2); в) 17,4 - 56 + (+22,6); г) (-2,3) + 7,8 + 2,2.

209. Запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) -3,15 + (-5,25) + 4; б) 10 + (-4,3) - 9,7; в) -24,8 + 60 + (-35,2); г) -15 + (+3,4) + 6,6.

210. Вычислите:

211. Вычислите:

212. Вычислите:

213. Вычислите:  Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 5.

214. Не выполняя вычислений, сравните: а) -15 + 8 и -15; в) 25 - 73 и -73; б) -2,3-4,5 и -2,3; г) -9,1 + (-2) и -2.

215. Скорость пешехода x км/ч, а велосипедиста на 8 км/ч больше. Запишите в виде выражения: скорость велосипедиста; скорость сближения пешехода и велосипедиста при движении на­встречу друг другу; время до встречи, если расстояние между ними до начала движе­ния - 19,2 км; расстояние между ними, если время до встречи - 1,2 ч. Составьте уравнение, если известно, что пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 19,2 км, и встретились через 1,2 ч.

216. В баке одного автомобиля 80 л бензина, а в баке другого - 90 л. Первый автомобиль расходует на 100 км пути х л бензина, а второй - в 1,2 раза больше. а) Расшифруйте выражения: 1,2x; 4х; 4 • 1,2x; 80 – 4x; 90 - 4 • 1,2x. б) Что в условиях данной задачи означает математическая модель 80 – 4x = 90 - 4 • 1,2x?

217. После реконструкции автомобильного завода годовой выпуск автомобилей увеличился на 22 %. Сколько автомобилей в год стал выпускать завод, если до этого он выпускал 1 280 000 автомобилей в год?

218. Усовершенствованная модель телевизора дороже старой на 648 р. Найдите новую цену телевизора, если она выше старой на 8 %.

219. Маше подарили коробку конфет. Съев одну конфету, она отда­ла половину оставшихся конфет сестре. Съев ещё одну конфету, она отдала брату половину оставшихся. После этого в коробке у Маши осталось 5 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?

220. Дано 5 прямых: a, b, с, d, т. Известно, что какие-то две из них (и только две) параллельны. Сколько существует комбинаций*, удовлетворяющих этому условию? Имеются в виду комбинаторные комбинации, а не различные варианты рас­положения прямых на плоскости.

221. Вычислите: -6 + 5; -8 + 2; +5-6; 2-8; -4-6; -6-4; -1 - 3; -3 - 1. Что вы заметили? Постарайтесь объяснить, почему выражения, запи­санные в столбцах, имеют одинаковые значения. Проверьте себя. 1 способ. Мы знаем, что эти выражения можно рассматривать как описа­ние перемещений точки по координатной прямой от начала отсчёта. Например, -6+ 5 = 0- 6 +5, +5- 6 = 0 + 5-6. Оба эти перемещения состоят из движения вправо на 5 и влево на 6 единиц. Понятно, что порядок, в котором точка выполняет эти перемещения, на её конечное положение не влияет. 2 способ. Рассмотрим эти выражения как описание финансовой деятель­ности. В обоих выражениях -6 + 5 и +5 - 6 отражены доходы и рас­ходы. Очевидно, что для конечного результата не имеет значения, как развивались события: вначале предприятие произвело затраты (-6), а затем получило прибыль (+5) и в результате оказалось в убытке (-1) или, наоборот, вначале была получена прибыль (+5), а затем выяснилось, что необходимо произвести некоторые выплаты (-6), сумма которых превышает размер прибыли, в результате чего предприятие оказа­лось в убытке (-1).

222. Постарайтесь найти рациональный способ вычисления и проверь­те себя, выполняя действия в том порядке, в котором они записаны: 27 + 5 - 27; 5) 53 - 45 - 53;  -28 + 4 + 24; 6) -71 + 22 + 71;  45 - 23 - 22; 7) 4,2 + 0,3 - 4,5; 8 - 35 + 35; 8) 3,54 - 2,74 + 2,2. Какие законы арифметических действий напоминают те приёмы, которые вы использовали для упрощения вычислений?

223. 1) Прочитайте выражение и найдите его значение: а) (+4) + (-5); в) (-8) + (-2); б) (-5) + (+4); г) (-2) + (-8). Сравните выражения а) и б), в) и г). Сравните их значения. Какое предположение можно сделать? Проверьте себя. Каждое из данных выражений является суммой либо положи­тельного и отрицательного, либо двух отрицательных чисел. Выра­жения б) и г) отличаются от выражений а) и в) тем, что слагаемые в них стоят в обратном порядке. Значения выражений, содержащих одинаковые слагаемые, равны. Поэтому можно предположить, что при сложении чисел любых знаков справедлив переместительный закон.

224. Выражения, данные в упражнении № 221, представьте в виде суммы и запишите, какие из них равны.

225. Не вычисляя, определите, какие из данных выражений имеют равные значения: а) -18 + 25; -25 + 18; б) 54 - 28; -28 + 54; 18 - 25; 25 - 18; -28 - 54; -54 - 28. Проверьте себя, выполнив вычисления.

226. Выражение -48 + 35 - 52 представьте в виде суммы положи­тельных и отрицательных чисел. Подумайте, как можно упростить вычисления, и покажите, как это сделать. Проверьте себя. Мы знаем, что знаки «+» и «-» указывают направление переме­щения вдоль координатной прямой. С другой стороны, мы знаем, что выражения, содержащие только знаки « + » и «-», можно предста­вить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Ранее мы убедились, что результат не зависит от того, в каком порядке производятся перемещения и от какой точки начинается движение. Это значит, что для суммы положительных и отрицательных чисел справедливы известные нам законы арифметических действий: пе­реместительный и сочетательный. Применяя эти законы, задание можно выполнить так: -48 + 35 - 52 = (-48) + (+35) + (-52) = ((-48) + (-52)) + (+35) = = (-48 - 52) + (+35) = (-100) + (+35) = -100 + 35 = -65. Или так: -48 + 35 - 52 = (-48) + (+35) + (-52) = (+35) + ((-48) + + (-52)) = (+35) + (-48 - 52) = (+35) + (-100) = 35 - 100 = -65. Выражения, содержащие числа, знаки « + » и «-», можно пред­ставить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Та­кие выражения называют алгебраическими суммами. Каждое сла­гаемое алгебраической суммы представляет собой число вместе с тем знаком, который стоит (или подразумевается, что стоит) перед ним, а законы арифметических действий применяются именно к этим слагаемым. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 11.

227. (Устно.) Назовите слагаемые алгебраической суммы: а) -24 + 33 - 8 - 12; в) -61 + (-29) + 12 + 7; б) 56 + 32 - 70 - 65; г) +3 - 8 + (+7) + 5.

228. Запишите данное выражение без скобок: а) (+33) + (-87) + (-13); в) (-29) + (+71) + (-95); б) (-45) + (-24) + (-15); г) (+25) + (-15) + (+32).

229. Можно ли утверждать, что данные выражения являются алгеб­раическими суммами:  48 + (-25) - 34; 4) 12 - (-59) - 45;  -71 + (-3) + 28; 5) -83 - 44 - (-75); -(-56) + (-18) - 21; 6) -(-48) - (-24) - (-76)? Проверьте себя. Алгебраическая сумма - это выражение, которое можно пред­ставить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Попробуем это сделать. Первые два задания не должны вызвать за­труднений. Поэтому рассмотрим, как можно преобразовать выраже­ния 3) и 4). Воспользуемся тем, что -(-а) = а: -(-56) + (-18) - 21 = +56 + (-18) - 21 = (+56) + (-18) + (-21); 12 - (-59) - 45 = (+12) + (-(-59)) + (-45) = (+12) + (+59) + + (-45). Преобразования выражений 5) и 6) выполняются аналогично. Теперь можно ответить на поставленный вопрос: все данные вы­ражения являются алгебраическими суммами. Запишите все данные в этом упражнении выражения без скобок и найдите их значения.

230. Назовите слагаемые алгебраической суммы, запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) 54 - 48 + (-26) - (-46); б) -37 + (-24) - (-20) + 17.

231. Назовите слагаемые алгебраической суммы, запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) 29 + (-29) - 75 - (-75); б) (-50) - (-96) + (-46) - 11.

232. Назовите слагаемые алгебраической суммы, запишите выражение без скобок и найдите его значение: а) (-19) - (-10) - (-9) + 6; б) 99 - (-41) - 72 + 31.

233. Назовите слагаемые и, используя законы арифметических действий, вычислите значение выражения: а) 71 + 29 - 54 - 6; б) -57 + 17 + 40 - 6.

234. Назовите слагаемые и, используя законы арифметических действий, вычислите значение выражения: а) 25 - 91 - 99 + 15; б) -18 - 22 + 64 + 36.

235. Назовите слагаемые и, используя законы арифметических действий, вычислите значение выражения: а) -35 + 30 - 25 + 70; б) 53 + 18 - 48 - 23. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 6.

236. Вычислите: а) 3,4 - 7,2 - 2,8 + 6,6; б) -98,4 - 52,06 + 25,2 + 25,26.

237. Вычислите: а) -5,1 + 8,3 + 8,7 - 4,9; б) 43,52 + 47,3 - 60,8 - 100,05.

238. Вычислите: а) 29,6 - 54,49 + 70,4 - 55,41; б) -31,6 + 11,08 - 31,04 + 62,64.

239. Назовите слагаемые и представьте выражение в виде суммы: а) -7 + х; в) 5 - р - t;д) 15 - 8х + 3у; б) -а - 23 4- b; г) 71 + т - n; е) -4а + 5-2b.

240. Назовите слагаемые и представьте выражение в виде суммы: а) у - 9; б) -4 - b + а; в) -с - 8 - d; г) -т - п - k.

241. Составьте сумму из данных слагаемых, запишите её со скобка­ми и без скобок: а) -8, -а, Ь; в) -5, т, -7, -n; б) -с, -3, -d; г) -х, 9, -4, -у.

242. Найдите значение выражения: а) а + bпри а = 30, b= -100; б) а - b при а = -39, b= -16.

243. Найдите t:

244. Найдите значение выражения а + b + (-18), если: а) а = 15, b = -17; б) а = -14, b = -12; в) а = -40, b = 25; г) a = +16, b = -28.

245. Вычислите:

246. Вычислите:

247. Укажите выражения, имеющие равные значения:

248. Вычислите:

249. Найдите значение выражения:

250. Найдите значение выражения:

251. Сторона АВ треугольника АВС равна а см. Составьте выражения: а) для длины ВС, если она на 3 см больше длины АВ; б) для длины АС, если она в 1,5 раза больше длины АВ; в) для периметра треугольника АВС. Составьте уравнение при условии, что периметр треугольника равен 31 см. Найдите длины сторон треугольника.

252. Заполните таблицу: х + 2

253. Заполните таблицу: 4 + х

254. Время разгона автомобиля - это время, за которое автомо­биль способен развить скорость 100 км/ч. Время разгона автомоби­ля «мерседес» составляет 6,5 с, а у автомобиля «ауди» это время на 15% меньше. Найдите время разгона автомобиля «ауди».

255. Аббревиатура ПДК расшифровывается как «предельно допу­стимая концентрация». Этот термин используется, когда речь идёт о количестве вредных для здоровья примесей в воде, воздухе или продуктах. Так, ПДК углекислого газа (углекислоты), который в основном образуется от автомобильных выхлопов, составляет 2,5%. В настоящее время в центре Москвы превышение ПДК в тихую, без­ветренную погоду стало довольно частым явлением. Определите процентное содержание углекислого газа в воз­духе, если оно: а) составляет 12% ПДК; б) превышает ПДК на 35%. Специальные катализаторы могут уменьшить вредные вы­бросы автомобиля на 70%. Определите, за сколько часов автомо­биль без катализатора выбросит в атмосферу то же количество угле­кислоты, что такой же автомобиль, но оснащённый катализатором, за 15 часов.

256. Налог на прибыль с торгового предприятия в 1999 году состав­лял 30%. Из них 13% перечислялось в федеральный бюджет, а 17% - в городской. Какой налог на прибыль заплатило предпри­ятие, если сумма его прибыли за год составила 42 571 256 р. 51 к.? Какая сумма была перечислена в федеральный бюджет, а какая - в городской? (Ответ округлите до тысяч рублей.)

257. На координатной прямой отмечены точки А(-1,56) и Б(5,43). Найдите координату точки М - середины отрезка АВ. Чем являет­ся координата середины отрезка по отношению к координатам его концов?

258. 1) Найдите значения выражений (запишите ответ в виде равен­ства): -6-8 +6 + 8 -2 - 11 +11 + 2 В полученных равенствах представьте левую часть в виде суммы. Что можно сказать о знаках слагаемых первого столбца? второго столбца? В каждом случае сравните знак суммы со знаками слагаемых. Сделайте вывод. Для выражений первого столбца найдите модуль суммы и сумму модулей слагаемых. Сравните полученные результаты. Сделайте вы­вод. Для выражений второго столбца найдите модуль суммы и раз­ность модулей слагаемых, вычитая из большего модуля меньший. Сравните полученные результаты. Сделайте вывод. Постарайтесь сформулировать правило нахождения знака суммы и модуля суммы, если слагаемые имеют: а) одинаковые знаки; б) разные знаки. Используя это правило, найдите значения выражений: -6 + 8 +6-8 -2 + 11 -11 + 2 7+12 15 + 11 7-12 -15 + 11 -7+12 -15-11 -7-12 15-11 (+16) + (+4) (+16) + (-4) (-16)+(-4) (-16) + (+4) (+8) + (+2) (-8) + (-2) (-8) + (+2) (+8) + (-2) Проверьте себя. Закономерность, которую вы должны были установить, - это правило вычисления значения алгебраической суммы: Если слагаемые имеют одинаковые знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемые, а модуль суммы равен сумме мо­дулей слагаемых. Если слагаемые имеют разные знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем, а модуль суммы равен разности модулей слагаемых при условии, что из большего модуля вычитается меньший. Пример 1. Рассмотрим выражение (-16) + (-4). Рассуждаем так: оба слагаемых имеют один и тот же знак «-», значит, и сум­ма имеет знак «-»; далее, складываем модули 16 + 4 = 20; в итоге получаем -20: (-16) + (-4) = -20. Пример 2. Рассмотрим выражение (+16) + (-4). Здесь сла­гаемые имеют разные знаки, причём слагаемое с большим модулем имеет знак « + », поэтому и сумма имеет знак « + ». Далее, 16 - 4 = 12 (разность модулей), и в итоге получаем +12: (+16) + (-4) = 12. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 12.

259. (Устно.) Вычислите двумя способами: иллюстрируя вычисления перемещениями точки по коорди­натной прямой; представляя данное выражение в виде суммы и применяя правило вычисления алгебраической суммы. а) 3 + 6; б) 59 + 41; в) 4,3 + 2,56; г) 5,7 + 8,94; -3 + 6; -59 - 41; 4,3 - 2,56; -5,7 - 8,94; -4,3 + 2,56; -5,7 + 8,94 -3 - 6; -59 + 41 3-6; 59-41 -4,3 - 2,56; 5,7 - 8,94.

260. Чему равна сумма противоположных чисел? Можно ли её най­ти по правилу вычисления значения алгебраической суммы?

261. Можно ли применить правило вычисления значения алгебра­ической суммы, если одно из слагаемых равно нулю?

262. Найдите значение выражения устно, используя правило вычисления алгебраической суммы: а) 5,3 + (-5,3); б) 3 + (-1); в) 3,2 + (-3,2); д) 0 + (-1,8); г) (-2,5) + 2,5; е) (-5) + (-8).

263. Найдите значение выражения устно, используя правило вычисления алгебраической суммы: а) 0 + (-2,1); б) 0 + (-3,8); в) -3 + (-5); д) (-4,1) + 4,1; г) (-8)+ 3,1; е) (-10) + (-12).

264. Найдите значение выражения устно, используя правило вычисления алгебраической суммы: а) -25 - 34 + 25 - 66; б) -18 + 3 + 15 - 17; в) 78 - 42 - 18 + 52; г) 19 - 87 + 41 - 13.

265. Найдите значение выражения устно, используя правило вычис­ления алгебраической суммы: а) -78 + 20 + 26 - 46 - 100 - 22; б) -51 - 37 - 22 + 59 + 24 + 27.

266. Вычислите: а) 0,12 + (-0,05) + 3,4 - (-6); б) -1,018 - 4,29 - (-0,5) + (-4); в) 0,546 + (-1,2) - (-12,8) - 7,09; г) 6,208 - 2,73 - (-3,792) - 4,65.

267. Вычислите: (-4,49) - (-0,57) + 2,44 - 8,101 - 0,57 - (-4,49); -4,36 + 4,306 + (-8,8) - (-9,854) - (+4,306) + 8,8

268. Найдите значение выражения:

269. Найдите значение выражения:

270. Какими должны быть числа х и у, чтобы было верным равенство: а) х - у = 0; б) х + у = 0?

271. Подумайте, верно ли утверждение: «Если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа - противоположные». Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурсы № 7, 8.

272. Вычислите: а) (41 - 20) - 34; в) -(3,2 - 5,12) + 4,8; б) 52 - (33 + 48); г) (-8,43 + 2,7) - 12,9.

273. Вычислите: а) -13 + (29 - 45); б) -18 - (-25 - 31); в) 25,4 - (3,6 - 15,92); г) -47,3 + (-90 + 26,1).

274. Вычислите:

275. Модули слагаемых суммы а + b + с + d равны соответственно 1, 2, 3, 4. Рассматривают всевозможные комбинации знаков чисел а, Ъ, с и d. Сколько существует таких комбинаций? Чему равны наи­большее и наименьшее возможные значения суммы а + b + с + d?

276. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 0. Какие это числа?

277. Длина одной из сторон треугольника х см. а) Что могут означать выражения х - 6, 1,25х? б) Что означает математическая модель х + (х - 6) + 1,25х = 33?

278. В четырёхугольнике ABCDАВ = х см. Выразите остальные стороны этого четырёхугольника, если: ВС на 1 см меньше АВ; CDв 1,52 раза больше АВ; ADна 1 см больше CD. Составьте уравнение, зная, что периметр ABCDравен 12,6 см. Решите полученное уравнение. Найдите длины всех сторон четырёх­угольника ABCD.

279. Заполните таблицу: x - 2

280. Заполните таблицу: 4 - x

281. При решении следующих задач будьте особенно внимательны, опреде­ляя величины, которые приняты за 100%. Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а да­лее - по лесной тропе. Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы: Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Какая величина приходится на 1 % ? Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы: Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Сколько всего километров проехал мотоциклист по грунтовой доро­ге и по лесной тропе? Чему равен 1 % этой величины? Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

282. При решении следующих задач будьте особенно внимательны, опреде­ляя величины, которые приняты за 100%. Мотоциклист проехал по шоссе 8 км, что составило 20% всего пути. 45% оставшегося пути он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе. Ответьте на вопросы: Что принято за 100% в первом предложении, а что - во втором? Известны ли эти величины? Чему равен 1 % всего пути? Какова длина всего пути? Сколько всего километров проехал мотоциклист по грунтовой доро­ге и по лесной тропе?

Чему равен 1 % этого расстояния? Сколько километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге? Сколько километров проехал мотоциклист по лесной тропе? Что общего в условиях задач № 281 и 282 и чем они отличаются?

283. При решении следующих задач будьте особенно внимательны, опреде­ляя величины, которые приняты за 100%. Весной яблоки продавались по 35 р. за килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20%, а затем ещё на 15%. Какой стала цена яблок после второго снижения?

284. При решении следующих задач будьте особенно внимательны, опреде­ляя величины, которые приняты за 100%. Зимой цену на бананы повысили на 1,44 р., что составило 18% их осенней цены, а весной цену подняли ещё на 25%. По какой цене бананы продавались весной? Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 9.

285. Найдите значение выражения -а + 6, если: а) а = 25, 6 = 32; в) а = -25, 6 - 32; б) а = 25, 6 = -32; г) а = -25, 6 = -32.

286. Найдите значение разности а - 6, если: а) а = +17, 6 = 4; в) а = -17, 6 = -4; б) а = -17, 6 = 4; г) а = 17, 6 = -4.

287. Найдите значение выражения -а - 6, если: а) а = 14, 6 = 12; в) а = 14, 6 = -12; б) а = -14, 6 = 12; г) а = -14, 6 =-12.

288. Вычислите: а) (-18 - 21) + (-15 + 4); в) (0,8 - 1,4) + (1,2 - 1,6); б) (-25 + 15) - (-13 - 12); г) (-2,1 + 5,3) - (4,7 - 6,8).

289. Известно, что а и 6 - положительные числа. Сравните: а) 0 и а; б) -а и 6; в) |а| и -а; г) -6 и |а|.

290. Известно, что а и 6 - положительные числа. Сравните: а) 0 и -6; б) а и -6; в) | -61 и 6; г) |6| и |-а|.

291. Сколько целых чисел заключено между числами: а) 0 и 18; б) -15 и 0; в) -20 и -8; г) -6 и 6?

292. Используя знак модуля, запишите: а) модуль суммы чисел а и 6; б) сумму модулей чисел а и 6; в) модуль разности чисел а и 6; г) разность модулей чисел а и 6.

293. Сравните значения выражений а + bи а + |b|;а-6 и а-|b|; |а + b| и |а| +|b|; |а - b| и |а| - |b| при а = 8, 6 = 6; а = -8, 6 = -6; а = -8, 6 = 6; а = 8, 6 = -6. Проанализируйте полученные результаты и определите, какие из следующих утверждений верны: а) при замене слагаемого его модулем сумма увеличивается; б) при замене вычитаемого его модулем разность не увеличивается; в) модуль суммы чисел меньше суммы модулей слагаемых; г) модуль разности чисел больше или равен разности их модулей.

294. Сравните значения выражений |а - b| и |b - а| при а = 8, b= 6; а = -8, b= -6; а = -8, b= 6; а = 8, Ь = -6. Какое предположение можно сделать? Возьмите какие-нибудь другие значения а и 6 и проверьте, верно ли для них ваше предположение. Проверьте себя. Значения выражений |а - b| и |b - а| равны при любых значе­ниях а и b.

295. 1) Найдите расстояние между точками координатной прямой: А(2) и 5(7); А(-2) и 5(7); А(20) и 5(70); А(-20) и 5(70). Найдите значение выражения |а - b| при а = 2, b= 7 и срав­ните его с расстоянием между точками А(2) и 5(7). Используя результаты проделанной работы, определите без вычислений, каким будет значение выражения | а - b| при а = 20, b= 70; а = -2, b= 7; а = -20, b= 70. Проверьте себя, выполнив вычисления. Задайте любые другие значения а и bи найдите соответ­ствующие значения |а - b|. Сравните их с расстоянием между точ­ками А(а) и В(b) на координатной прямой. Какое предположение можно сделать? Проверьте себя. * Расстояние между точками а и Ь равно модулю разности коор­динат этих точек: |а - Ь|. Обычно вместо А(а) и В(b) пишут просто а и b, а расстояние меж­ду точками а и b обозначают р(а, b) (р - «ро», буква греческого ал­фавита). Запись р(а, b) читается: «ро от а, b». Таким образом, р(а, b) = = | а - b|. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 13.

296. Найдите р(x, у), если: а) х = -1,8, у = 1,5; в) x = 0,5, у = 7,4; б) х = -14, у = -23; г) х = 5,9, у = -6,8.

297. На координатной прямой отмечены точки А(х) и В(у). Точка С - середина отрезка АВ. Найдите координату точки С, если: а) х = 2, у = 8; в) х = -2, у = -8; б) х = -2, у = 8; г) х = 2, у = -8.

298. Найдите координаты точек, удалённых от точки: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 10.

299. Для каких значений х верно неравенство: а) х > -х; б) -х > х; в) -х > х + х; г) х - х > -х?

300. Вычислите: а) -25,5 - 3,4 4- 7,28 + 25,5 + 34 : 10 - 0,728 • 10 + 2,85; б) 5,88 + 0,963 - 0,0588 • 100 - 56,4 - 96,3 : 100 - 43,6; в) 7,41 : 10 - 6,92 + 7,46 - 0,741 + 0,692 • 10 - 14,92; г) -82,6 - 34,24 + 6,59 + 0,826 • 100 - 659 : 100 + 17,12.

301. Вычислите: а) 0,78 • 17 + 1,7 • 26,1 - 2,5 • 0,42 - 314 • 0,17 - 0,25 • 8,8; б) 15,32 • 0,5 - 79,6 • 0,05 - 31,8 • 1,723 - 0,398 • 5 + 167,3 • 0,318.

302. Экипаж рыболовного судна за путину выловил 9571 ц рыбы. Это превысило план на 12,6%. Экипаж другого судна, имеющий аналогичное задание, выловил рыбы на 5,8% меньше запланиро­ванного. Сколько центнеров рыбы выловил второй экипаж?

303. Ржаная мука даёт 40% припёка, а пшеничная - 35%. Сколь­ко потребуется муки, чтобы испечь 1 т ржаного хлеба и 1 т пшенич­ного хлеба? (Ответ дайте с точностью до 1 кг.)

304. Бригада рыбаков получила от двух банков ссуду на приобретение холодильного оборудования в размере 250 000 р.: от одного под 5%, а от другого под 7% годовых. Всего за год рыбаки должны уплатить 15 500 р. процентных денег. Сколько денег взято у каждого банка?

305. Из данных букв латинского алфавита выберите буквы, имею­щие центр симметрии: А NН I Т

306. Рассмотрите фигуры на рисунке 47. Подумайте, по какому признаку они собраны по группам в каждом столбике. Распределите по этим группам фигуры, изображённые на рисунке 48. Проверьте себя. Наверняка вы догадались, что в первую группу собраны цент­рально-симметричные фигуры. Среди тех фигур, которые надо распределить по группам, такая только одна - это вторая фигура (мозаика). Также нетрудно догадаться, что улитку следует отнести к фигурам второй группы, хотя пока мы это можем утверждать, основываясь только на интуиции. Остались ящерица и бабочка. Можно ли их «отправить» в третью группу? Фигуры третьей группы характеризуются тем, что каждая из них состоит как бы из двух половинок, одна из которых является зеркальным отражением другой. Каждую из этих фигур можно со­гнуть пополам так, что эти половинки совпадут (рис. 49). Рис. 49 Таким свойством обладает только бабочка, поэтому её мы при­соединяем к третьей группе. А ящерице придётся «отправиться» во вторую группу.

307. Приведите примеры фигур, которые можно присоединить к третьей группе.

308. Рассмотрите рисунок 50. На листе бумаги изображена ёлочка. Концы её нижних веток обозначены буквами А и А_х. Если перегнуть ёлочку по прямой I, то точки А и совпадут. Постарайтесь описать, как расположены точ­ки А и Ах по отношению к прямой I. Проверьте себя. Чтобы понять, как располагаются точки А и А_ь представим, что мы смотрим на рисунок сверху. Теперь видно, что точки А и А_х расположены на перпендикуляре к прямой I по разные стороны и на равных расстояниях от неё (рис. 51). Такие точки называют симметричными относительно пря­мой I. Заметим, что, перегибая фигуру так, чтобы точки А и А_х совпа­ли, мы поворачивали её половину вокруг прямой I на 180°. Прямую, вокруг которой что-либо поворачивается (вращается), называют осью (возможно, вы слышали выражения «колёсная ось», «земная ось»). Поэтому в тех случаях, когда точ­ки симметричны относительно какой-либо прямой, говорят, что имеет место осевая симметрия, саму прямую называют осью симметрии, а о фигурах, которые можно перегнуть так, чтобы их половинки совпа­ли, говорят, что они имеют ось симметрии или что они симметричны относительно не­которой оси.

309. Проведите прямую а и отметьте точку М вне этой прямой так, как показано на рисунке 52. Постройте точку, симметричную дан­ной относительно прямой а. Проверьте себя. Симметричные точки расположены на прямой, перпендикуляр­ной оси симметрии, и на равном расстоянии от неё. Поэтому, чтобы построить точку, симметричную точке М, проведём через неё пря­мую МО, перпендикулярную оси симметрии а, и отложим на ней отрезок OМ_г, равный отрезку ОМ (рис. 53). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 14.

310. Скопируйте в тетрадь рисунок 54 и постройте отрезок, симмет­ричный отрезку АВ относительно прямой I.

311. Скопируйте в тетрадь рисунок 55 и постройте фигуру, симмет­ричную данной относительно прямой I.

312. На рисунке 56 выберите фигуры, имеющие ось симметрии. Есть ли среди них фигуры, у которых более одной оси симметрии?

313. Ось симметрии имеют не только плоские фигуры. На рисунке 57 изображены некоторые пространственные фигуры, имеющие ось симметрии. Приведите примеры других пространственных фигур, имеющих ось симметрии.

314. Скопируйте в тетрадь рисунок 58 и проведите все оси симме­трии фигуры. а) квадрат б) равнобедренный треугольник в) прямоугольник г) ромб треугольник

315. В состав пшеничного хлеба входят следующие ингредиенты: мука, вода, масло, дрожжи, соль, сахар и сухое молоко. а) Масса сухого молока составляет ^ массы испечённого хлеба. Сколько молока требуется для изготовления 700 г хлеба? б) Для выпечки хлеба взяли 450 г муки, что составило массы по­лученного батона. Определите массу батона. в) Масса растительного масла составляет массы испечённого хлеба. Сколько масла требуется для приготовления 1050 г хлеба?

316. Догадайтесь, какое число является корнем уравнения, и выпол­ните проверку: а) х + (-3) = 10; в) 19 + а = -3; д) t- (-2) = -8; б) -8 - у = -14; г) -15 + b = -5; е) (+2) + р = -12.

317. Представьте число -20 в виде суммы двух отрицательных чисел так, чтобы слагаемые были: а) целыми числами; б) десятичными дробями; в) смешанными числами.

318. Представьте число -10 в виде суммы двух чисел с разными зна­ками так, чтобы слагаемые были: а) целыми числами; б) десятичными дробями.

319. Найдите х из равенства: а) -х = 4,5 - (-2); б) -х = -8,2 + 10;

320. Решите уравнение: а) x + 3 = -8; б) 4-x = -15; в) x - 1,8 = -3,7; г) x + 1,2 = -0,17; д) 8 - x = 1; е) -2,1 - х = 2.

321. Решите уравнение: а) x + (-5) = -6; б) x - 8,5 = -3; в) 7,1 - x = -3,8; г) x - 3,41 = -2,904; Д) х - (+9) = -3,1; е) -1,9 - x = 4,4.

322. Выполните действие:

323. Выполните действие:

324. Выполните действие:

325. Выполните действие:

326. Найдите значение выражения:

327. Найдите значение выражения:

328. Найдите значение выражения: а) (х + у) - zпри х = -2,1, у = 3,7, z- -5; б) х - (у + z)при х = 4,5, у = 7,2, z= -10; в) х + (у - z)при х = 15, у - 2,7, 2 = -4; г) -х - (у - z) при х = -3, у = -18, z= -7.

329. У Маши было х десятикопеечных и у пятикопеечных монет. а) Что означают выражения: 10х; 5у; 10х + 5у? б) Что означает равенство 10x + 5у = 115?

330. К осени цена на картофель понизилась сначала на 25 %, а затем ещё раз понизилась на 70%, после чего картофель стал стоить 6,3 р. за килограмм. Найдите летнюю цену картофеля.

331. Семейный бюджет составляет 22 000 р. в месяц. 5,5% этой суммы уходит на оплату коммунальных услуг и электроэнергии, а 5% остатка - на транспортные расходы. Какая сумма остаётся в се­мейном бюджете после оплаты коммунальных услуг и приобретения проездных билетов на месяц?

332. Определите, где на рисунке 63 изображены лучи, а где - от­крытые лучи, и сделайте соответствующие записи. На рисунке 64 штриховкой отмечены точки (числа), располо­женные между точками а и b. Такое множество точек (чисел) назы­вают интервалом и обозначают (а; b). На рисунке 65 изображён тот же интервал, но на этот раз к нему присоединили его концы, точки а и b. Поэтому то, что изображено на этом рисунке, уже не интервал, а отрезок, который обозначают [а; b]. Для всех точек х, принадлежащих интервалу (а; b), верно строгое двойное неравенство а < х < b(читается: «х больше а, но меньше b»), а для всех точек х, принадлежащих отрезку [а; b], верно нестрогое двойное неравенство а < х < b(читается: «х больше или равен а, но меньше или равен b»). Ещё раз обращаем ваше внимание на то, что символическая запись (а; b), в которой используются круглые скобки, соответству­ет строгому неравенству, а на рисунке - не закрашенным точкам а и b. А символическая запись [а; b], в которой используются ква­дратные скобки, соответствует нестрогому неравенству, а на рисун­ке - закрашенным точкам а и b.

333. Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких - интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и знаки неравенств): Для терминов «луч», «открытый луч», «отрезок» и «интервал» ! есть общее название - числовые промежутки.

334. Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких - интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и знаки неравенств): Для терминов «луч», «открытый луч», «отрезок» и «интервал» ! есть общее название - числовые промежутки.

335. Определите, на каких рисунках изображены отрезки, а на каких - интервалы, и сделайте соответствующие записи (используя скобки и знаки неравенств): Для терминов «луч», «открытый луч», «отрезок» и «интервал» ! есть общее название - числовые промежутки.

336. Запишите, какой числовой промежуток изображён на рисунке и какое неравенство будет верным для чисел, принадлежащих этому про­межутку:

337. Запишите, какой числовой промежуток изображён на рисунке и какое неравенство будет верным для чисел, принадлежащих этому про­межутку:

338. Даны числа: -2,5; -1,5; -0,8; -0,5; -0,2; 0; 9; 15; 17. Изобра­зите промежуток и запишите, какие из этих чисел ему принадлежат: а) [-0,8; +оо); в) (-оо_; -0,2); б) (-оо; 15]; г) (9; +оо).

339. Даны числа: -64; -50; -20; -1,8; -0,75; 0,5; 15; 20; 28. Изобра­зите промежуток и запишите, какие из этих чисел ему принадлежат: а) [-0,75; 0,5]; в) (-64; -20); б) (-1,8; 15); г) [9; 28]. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 15.

340. Определите вид числового промежутка, который соответствует данному неравенству, сделайте символическую запись и изобразите этот промежуток: а) х > 1; б) х < -7; в) х > -2; г) х < 5.

341. Определите вид числового промежутка, который соответствует данному неравенству, сделайте символическую запись и изобразите этот промежуток: а) х > -8; б) х < 4; в) х > 9; г) х < -2.

342. Определите вид числового промежутка, который соответствует данному неравенству, сделайте символическую запись и изобразите этот промежуток: а) 0 < х < 2; б) -3 < х < 8; в) -15 < х < -6; г) 1 < х < 10; д) -7 < х < 3,9; е) -31 < х < -0,8.

343. Определите вид числового промежутка, который соответствует данному неравенству, сделайте символическую запись и изобразите этот промежуток: а) -2 < х < 0; б) 0 < х < 12; в) -10 < х < 10; г) 1 < х < 100; д) 0,2 < х < 0,9; е) -1500 < х < 2000.

344. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее данному числовому промежутку: а) [-2; +оо)_; б) (-3; +оо); в) (-5,1; +оо); д) [-128,9; 30]; г) [-8,7; +°о); е) (-325; -150).

345. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее данному числовому промежутку: а) [-3,7; +оо); б) (2,4; +оо); в) (8; +оо); д) (7,8; 23); г) [-12; +оо); е) [-4,9; -0,15].

346. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее данному числовому промежутку: а) ( оо_; 3]; б) (-оо; -3,5); в) ( оо; 4,7]; д) [-5,6; 5,6]; г) (-оо; -18); е) [-18; -3,9].

347. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее данному числовому промежутку: а) (-оо; 5,3]; б) (-оо; -8,8); в) (-оо; -6,1]; г) (-оо; 41); д) (-64; -27); е) (-3,5; 0). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 16.

348. Заполните пустые места в следующей таблице: Все числа, боль­шие или рав­ные -3 Все числа, боль­шие -10 и одно­временно с этим меньшие -1 Графической моделью числового промежутка может быть одна из . геометрических фигур: луч; открытый луч (луч, начало которого ему не принадлежит); отрезок; интервал (отрезок, концы которого ему не принадлежат). Поэтому вместо словосочетания «графическая модель» чаще употребляют другое словосочетание - «геометрическая модель».

349. Постройте геометрическую модель числового промежутка и укажите все целые числа, которые ему принадлежат: а) [-2; 1,8]; б) (-3,2; 8,5); в) [3,9; 15,2]; г) (-9; 12).

350. Постройте геометрическую модель числового промежутка и укажите все целые числа, которые ему принадлежат: а) [-2,5; 14]; б) (-7; -3); в) [6,01; 10]; г) (12; 13).

351. Постройте геометрическую модель числового промежутка и укажите все целые числа, которые ему принадлежат: а) [-1; 1]; б) (-1; 1); в) [-1; 0]; Г) (0; 1).

352. Постройте геометрическую модель числового промежутка и укажите все целые числа, которые ему принадлежат:

353. Через начало отсчёта О перпен­дикулярно координатной прямой проведена прямая I (рис. 66). На ко­ординатной прямой взят числовой промежуток. Найдите числовой про­межуток, симметричный данному относительно оси (№ 353, 354). а) [2; 5]; б) (-7; -3); в) [-1; 4]; г) (-2; 2).

354. Через начало отсчёта О перпен­дикулярно координатной прямой проведена прямая I (рис. 66). На ко­ординатной прямой взят числовой промежуток. Найдите числовой про­межуток, симметричный данному относительно оси (№ 353, 354). а) (2; +оо_); б) (-оо_; -3]; в) [-3; + оо)_; г) (-оо_; 2).

355. Верно ли, что в ситуации, представленной на рисунке 66, следую­щие числовые промежутки симметричны относительно оси I: а) [2; 7] и [-7; -2]; в) (1; +оо) _и (-оо_; -1); б) [12; 28] и (-28; -12); г) (2; 4) и (-4; -2)?

356. Укажите центр симметрии числового промежутка, если он существует: а) [-20; 0]; б) (-оо_; 4]; в) (-8; 8); г) (-12; +оо).

357. Укажите центр симметрии числового промежутка, если он существует: а) [-12; +оо)_{; б}) [0; 35]; в) (-14; -1); г) (-оо_; -25).

358. Укажите центр симметрии числового промежутка, если он существует: а) [-17; 0]; б) [0; 19]; в) (-15; -4); г) (-7; 23).

359. Укажите центр симметрии числового промежутка, если он существует: а) (-1,2; 1); в) (-1,8; 5,9); д) [-15; 25]; б) [0,7; 0,9]; г) (-120; -52); е) (-36; 140).

360. Вычислите: а) (-5,48) - (-1,52) + 7,42 - 8,01 - 7,42 - (-5,48); б) 9,49 - (-1,37) - 1,1 - 9,49 - (+2,31) - 0,27; в) -(-7,29) - (-0,22) - 4,09 - 3,2 - 0,22 + (-1,85); г) -(-4,07) + (-0,54) - 2,035 - (-2,81) - 0,45 + (-2,035).

361. Вычислите: а) -0,25 + (7,23 - 4,08); б) -7,84 - (-2,6 - 3,4); в) 0,61 - (0,08 - 1,97); г) -5,19 + (-6,93 + 8,1).

362. Семья из трёх человек тратит на питание около 5000 р. в месяц, что составляет примерно 40 % семейного бюджета. 40 % оставшихся денег откладывается на покупку мебели. Какая сумма остаётся на другие расходы?

363. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушёный - 15%. Сколь­ко получится сушёных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушёных?

364. 1) Замените сумму произведением: а) 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15; б) 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1; в) 1 + 1 + ... + 1 (п слагаемых); г) (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1); д) (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-6); е) (-1) + (-1) + ... + (^-1) (n слагаемых). Представьте произведение в виде суммы: а) (-1) • 3; в) (-1) . 7; б) (-1) • 5; г) (-1) • п (п - натуральное число). Вычислите, используя результаты предыдущего задания: а) (-1) • 3; б) (-1) • 5; в) (-1) • 7. В каждом случае сравните результат умножения со вторым множи­телем. Что вы заметили? Упростите выражение (-1) • п (п - нату­ральное число). Каким, по вашему мнению, должно быть значение таких выра­жений: а) 3 • (-1); б) 5 • (-1); в) 7 • (-1)? Почему? Упростите выражения: 1 • а; а • 1; (-1) - а; а • (-1). Проверьте, так ли вы выполнили задания 3)-5). а) (-1) • 3 = (-1) + (-1) + (-1) = -3; (-1) 3 = -3; б) (-1) • 5 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5; (-1) 5 = -5; в) (-1) • 7 = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -7; (-1) • 7 = -7. Таким образом, при умножении (-1) на натуральное число по­лучаем число, ему противоположное: (-1) • п = -п  Для отрицательных чисел, как и для положительных, должен выполняться переместительный закон умножения, поэтому: 3 • (-1) = -3; 5 • (-1) = -5; 7 • (-1) = -7. 1 • а - а • 1 = а; если а - натуральное число, то (-1) • а = а • (-1) = -а.

365. 1) Найдите значение выражения 1 • а при а = 3; 5,8; Подумайте, каким оно будет при а = -3; -5,8; Что получается при умножении любого числа на 1? 2) Подумайте, каким будет значение выражения (-1) • а при а = 5,2; -3; -5,8; Постарайтесь сделать вывод о том, что получается при умножении любого числа на (-1). Проверьте свои рассуждения. 1) При умножении любого неотрицательного числа на 1 полу­чается то же самое число. Очевидно, для отрицательных чисел это тоже должно быть верно. Поэтому 1 • (-3) 3 • (-5,8) =-5,8; При умножении любого числа на 1 получается то же самое число:1 • а = а • 1= а 2) Мы убедились, что при умножении натурального числа на (-1) получается число, ему противоположное, т. е. при натуральных значениях а равенство (-1) • а = -а справедливо. Естественно счи­тать, что это верно для любых других значений а. Значит, (-1) 5,2 = -5,2; (-1) • (-5,8) = -(-5,8) = 5,8; (-1) • (-3) =-(-3) = 3; При умножении любого числа на (-1) получается число, ему противоположное: (-1) • а = а -(-1) = -а

366. Вычислите: (-1) • 5; (-1) • (-9,1); 85 • (-1); (-7,6) • (-1);

367. Подумайте, как найти значение следующих выражений: а) (-3) • 1,5; б) 17 • (-0,4). Подсказка. Отрицательный множитель можно заменить произведением (-1) на соответствующее положительное число, а затем применить сочетательный закон умножения. Проверьте себя. (-3) • 1,5 = ((-1) • 3) • 1,5 = (-1) • (3 • 1,5) = (-1) • 4,5 = -4,5. Значит, (-3) 1,5 = -4,5. Рассуждая аналогично, получаем: 17 • (-0,4) = -6,8. Сравните равенства, выделенные жирным шрифтом. Какую за­кономерность вы увидели? Проанализируйте полученные результаты и постарайтесь сфор­мулировать правило умножения чисел с разными знаками.

368. Вычислите: а) 8 • (-4); б) (-2) -6; в) 3 • (-5); г) (-7) • 4. Проверьте, такое ли правило у вас получилось: при умножении двух чисел с разными знака­ми в результате получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

369. Подумайте, чему равно произведение чисел с одинаковыми зна­ками: а) (-3) • (-1,5); б) (-17) • (-0,4). Подсказка. Попробуйте заменить отрицательное число произведением про­тивоположного числа и (-1). Проверьте себя. (-3) • (-1,5) = ((-1) • 3) • (-1,5) = (-1) • (3 • (-1,5)) = -(-4,5) = 4,5. Таким образом, (-3) • (-1,5) = 4,5. Самостоятельно докажите, что (-17) • (-0,4) = 6,8. Сравните равенства, выделенные жирным шрифтом. Какую закономерность вы увидели?

370. Вычислите: а) (-6) • (-3); в) -5 • (-0,7); б) (-0,8) • (-9); г) -2 • (-1,6).

371. Рассмотрите равенства (-3) • (-1,5) = 4,5; 3- 1,5 = 4,5; (-17) • (-0,4) = 6,8; 17 • 0,4 = 6,8 и постарайтесь сформулировать правило умножения чисел с одина­ковыми знаками. Проверьте себя: при умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 17.

372. Вычислите: а) (-15) • 6; б) 7,8 • (-4); в) (-2,7) • (-0,3); г) (-8) • (-21); Д) -25 • 44; е) -1,25 • (-72); ж) -84 • 5; з) 0,6 • (-0,5); и) -7,1 • (-1)

373. Вычислите:

374. 1) Угадайте корень уравнения и сделайте проверку: а) 5 • х = 20; в) (-4) • х = -36; б) (-6) • х = 42; г) 8 • х = -48. Запишите решение каждого уравнения и ответ. Проанализируйте полученные результаты и постарайтесь сформулировать правило деления чисел с одинаковыми и с разными знаками. Проверьте себя. а) 5 • х = 20, 5 • 4 = 20, х = 20 : 5, х = 4; б) (-6) • х = 42, (-6) • (-7) = 42, х = 42 : (-6), х = -7; в) (-4) • х = -36, (-4) • 9 = -36, х = -36 : (-4), х = 9; г) 8 • х = -48, 8 • (-6) = -48, х = -48 : 8, х = -6. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а знак частного определяется по такому же правилу, как знак произведения

375. Вычислите: а) (-18) : (-3); б) (-3,6) : 12; в) (-7,015) : (-2,3); д) -0,035 : 7;

376. Вычислите: а) 25 : (-5); б) 4,8 : (-0,8); в) 3,819 : (-3,8); д) (-0,24) ; (-1,6); Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 11.

377. Запишите ответ в виде дроби или смешанного числа: а) (-4) : 7; б) 9 : (-11); в) 16 : (-24); г) (-8) : 7.

378. Запишите ответ в виде дроби или смешанного числа: а) (-5) : (-6); в) (-15) : (-35); б) (-6) : (-14); г) (-4) : (-3).

379. Запишите в виде смешанного числа:

380. Вычислите:

381. Вычислите:

382. Представьте в виде неправильной дроби:

383. Подумайте, как найти произведение или частное смешанного и целого чисел. Вычислите:

384. Подумайте, как найти произведение или частное смешанного и целого чисел. Вычислите:

385. Найдите значение выражения: а) 5 • (-8) + (-4) • (-2) - (-7) • 3; б) (-24 + 78 + 12 - 46) • (-13); в) (-3,6 + 1,8) • (8,5 + (-2,1) • 4); г) ((-15) • (-3) + 55) • (-8,501); д) (-16) : (-4) + (-51) : 3; е) (-1,8 + 3,4 - 2,2) : 50; ж) ((-7) • 3,5 + 20) • (-0,6); з) (71 - 3,8 • (-1,5)) : (-1,3);

386. Выполните действия: а) 5,2 • (-8,05) + (-4,8) • (-2,5) - (-7,9) • 0,3; б) (5,4 + (-0,35) • 7,6) • (-0,72 - 1,28); в) (-1,05 - 2,9 • (-0,01)) • (5,42 - 10,9); г) -5,784 • (95,58 - 17,6 + 54,42 - 182,4).

387. Выполните действия: а) 7,5 : (-25) 4- 0,18 : (-60); б) 0,64 : 0,08 - (-54) : 0,9; в) (-81) : (-2,7) - (-0,45) ; (-0,9); г) 0,1 : 0,002 - (7,91 : 0,565 - 11,1 : 1,48)

388. Проверьте справедливость распределительного закона умноже­ния, заполнив пустые клетки таблицы. Самостоятельно задайте зна­чения а, 6, с и проверьте справедливость распределительного закона.

389. Запишите без скобок: а) (-а) • 3; в) (-5) • х; д) (-1) • (-с); ж) -8 • (-m); б) 4 • (-b); г) -(-8) • у; е) (-d) • (-6); з) -п • (-7)

390. 1) Представьте в виде произведения: -а - а - а - а - а; -26 - 26 - 26 - 26 - 26 - 2) Упростите выражения: (-3) • 2х; -3 • 2х; 3 • (-2х); (-3) • (-2х); -3 • (~2х); 2х • (-3); -2х • 3; -2х • (-3). Проверьте себя. -а- а- а- а- а = (-а) + (-а) + (-а) + (-а) + (-а) = = (-а) • 5 = -5а; -26 - 26 - 26 - 26 - 26 - 26 - 26 - 26 = (-26) • 8 = -166. (-3) • 2х = ((-3) • 2) • х = -6х и т. д.

391. Упростите выражение: а) (-3) • 6а; б) (-7х) • (-5); в) -8т • 3; г) -6 • (-2d)

392. Упростите выражение: а) 46 • (-8); б) -6 • 4у; в) (-4) • (-За); г) -7с • (-3)

393. Упростите выражение: а) 6а : 2; б) -6а : 2; в) 14х : 7; г) 14x : (-7)

394. Упростите выражение: а) 6а : (-2); б) (-6а) : (-2); в) -14x : 7; г) -14x : (-7)

395. Дана аналитическая модель луча. Постройте его геометриче­скую модель и составьте соответствующую символическую запись: а) х > 0; б) х < 7; в) х > -1,5; г) х < -0,7.

396. Для данного интервала постройте соответствующую геометри­ческую модель и составьте аналитическую модель: а) (-3; 5); б) (-7; -5); в) (-5; -1); г) (0; 3,5).

397. Опыт состоит в том, что из данного промежутка наугад выбира­ют число х. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как до­стоверное, невозможное или случайное. а) Дан интервал (-3; 1). Событие состоит в следующем: х - целое число; х - натуральное число; х удовлетворяет двойному неравенству -3 < х < 1; х удовлетворяет неравенству х > 0,99. б) Дан отрезок [0,1; 0,18]. Событие состоит в следующем: х - целое число; х - натуральное число; х удовлетворяет двойному неравенству 0,1 < х < 0,18; х удовлетворяет равенству х = 0,12. в) Дан луч [0; +оо). Событие состоит в следующем: х - положительное число; х - отрицательное число; х удовлетворяет неравенству х < 0; х удовлетворяет неравенству х > 0,12. г) Дан открытый луч (-°°; -5). Событие состоит в следующем: х - положительное число; х - отрицательное число; х удовлетворяет двойному неравенству -10 < х < -5; х удовлетворяет неравенству х < -10.

398. Вычислите:

399. Вычислите:

400. Вычислите:

401. У Маши было 16 десятикопеечных и пятикопеечных монет. Десятикопеечных монет было х штук. Что означают выражения: а) 16 - х; б) 10х; в) 5 • (16 - х); г) 10х + 5(16 - х)? Какая ситуация описывается математической моделью 10х + 5(16 - х) = 115? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 18.

402. Запишите координаты фигур, расположенных на шахматной доске (рис. 68).

403. Запишите координаты кораблей из игры «Морской бой» (рис. 69). Образец (к заданию а): 1) 4-клеточный: вЗ, в4, в5, вб.

404. Выполните действия: а) (5,4 - 3,65) • (7,09 - 10,28); б) -4,96 : 10 - 35,8 : 100 - 0,0042; в) 120,03 : 15 - 72,492 : 12 - 78,156 : 36; г) 2,472 : 2,4 - 17,102 : 3,4 - 20,503 : 2,9; д) (4,4 - 2,56) • (6,08 - 9,72); е) -3,78 : 10 + 45,2 : 100 - 0,074; ж) 120,3 : (-15) + 1204,8 : 24 + 43 • (-0,1); з) 0,1 : 0,005 - (45,5 • 0,08 - 92 : 4,6)

405. Дана аналитическая модель интервала. Запишите этот интер­вал и постройте его геометрическую модель: а) -3,5 < х < 0; в) -9,8 <  х  < -1,7; б) 1,7 < х < 5,4; г) -22 < х  < 54.

406. На рисунке 70 представлена геометрическая модель отрезка. Составьте его аналитическую модель и сделайте соответствующую символическую запись:

407. Для данного отрезка постройте соответствующую геометриче­скую модель и составьте аналитическую модель: а) [-8,1; 15]; в) [-4,4; -0,5]; д) [-2,5; -0,1]; б) [2,8; 5,02]; г) [-7,1; 2,8]; е) [4,3; 6,5].

408. Дана аналитическая модель отрезка. Запишите этот отрезок и постройте его геометрическую модель: а) -2,8 < x < 1,2; в) -1,01 < x < -0,9; б) 3,4 < x < 5,06; г) -4,8 < х < 0,1.

409. Найдите значения у, соответствующие данным значениям х, и заполните таблицу, если: а) у = х + 5 б) y = 6 - x

410. Вычислите устно: а) 5,1 + 8,4 - (-5,1) - 10,2 - (+8,4) - 9,8 - (-15); б) -7,81 + 9,64 - 5,32 - (+7,81) + (+5,32) - 9,64; в) 13,4 + 8,22 - (+1,3) - (-4,78) + (-8) - 10 - 3,4; г) -21 + (-0,68) - (-7,4) + (-3,2) - (+6,8) + 21,68; д) -48 + 51 : 10 + 4,8 • 10 + (-6,4) - 5,1 - (-7,2) - (+3); е) 93 + 8,23 • 10 - (-9,6) + (-82,3) + 9,3 • (-10) - (+0,4); ж) 2,4 : (-2) - 3,8 - (-5,9) - (+6,2) + 1,2 + 4,1; з) -(-7,7) + (-8,1) : 9 + 0,9 - (+1,4) + 15,4 : 2 - (-8,2)

411. а) Наибольшее целое число из открытого луча (-°°; -2) умножи­ли на наименьшее целое число из луча [-4; +°о). Сколько получилось? б) Наименьшее целое число из открытого луча (-19; +°°) разделили на наименьшее целое число из луча [5,8; +°о). Сколько получилось? в) Наименьшее целое число из интервала (-7,8; -2) умножили на наибольшее целое число из отрезка [-4; -3,5]. Сколько получи­лось? г) Наибольшее целое число из интервала (-5,1; 27,9) разделили на наименьшее целое число из отрезка [-9,7; 0]. Сколько получилось?

412. Даны две координатные прямые - ось х и ось t,на которых отмечены отрезок и интервал соответственно (рис. 71): Рис. 71 Запишите все возможные пары целых чисел (х; t) таких, что х при­надлежит указанному отрезку, at- указанному интервалу.

413. а) Супертрейлер, длина которого составляет 18 м, проезжает мимо километрового столба за 9 с. За какое время он на той же ско­рости проедет мост длиной 36 м? б) Поезд, длина которого составляет 120 м, проезжает железно­дорожный мост длиной 360 м за 40 с. За какое время он на той же скорости проедет мимо столба?

414. Рассмотрите рисунок 73 и расскажите, что на нём изображено. В этом вам помогут следующие вопросы и задание. Можно ли утверждать, что на рисунке изображены координатные прямые? Почему? Под каким углом расположены эти прямые друг к другу? Охарактеризуйте точку пересечения этих прямых. Что напоминает запись А(2; 3)? Чем она отличается от записи коорди­наты точки на координатной прямой? Под каким углом из точки А проведены стрелки к прямым Ох и Оу? Какая связь между точками координатных прямых, на которые ука­зывают стрелки, и записью А(2; 3)? Проверьте себя. На рисунке 73 изображены прямые Ох и Oу. Эти прямые - ко­ординатные, так как на них выбрано начало отсчёта, направление и единичные отрезки. Эти прямые взаимно перпендикулярны и пере­секаются в точке, которая является началом отсчёта для каждой из них. Запись А(2; 3) похожа на запись координаты точки на прямой, однако здесь указаны два числа, а не одно. Из точки А к прямым Ох и Oу стрелки проведены под прямым углом. Вертикальная стрелка указывает на точку 2 координатной прямой Ох, соответствующее число стоит на первом месте в записи А(2; 3). Горизонтальная стрелка указывает на точку 3 координатной прямой Oу, соответствующее число стоит на втором месте в записи А(2; 3). Запись А(2; 3) позволяет определить положение точки А уже не на прямой, а на плоскости. Это возможно потому, что мы взяли не одну, а две координатные прямые и расположили их под прямым углом так, что начало отсчёта каждой из них совпало с точкой их пересечения. Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересе­кающиеся в точке, которая является началом отсчёта для каждой из них, образуют систему координат. Прямые, образующие систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет своё название: горизонтальная - ось абсцисс, вертикальная - ось ординат (рис. 74). Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Каждая точка такой плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив перпендикуляры на координатные оси, как в случае с точкой А(2; 3) (см. рис. 73). Координаты точки на плоскости - это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса, а на втором - ордината этой точки. Координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки опустить перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси со­ответствует основание перпендикуляра. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 19.

415. Запишите координаты отмеченных точек (рис. 75). Назовите абсциссу и ординату.

416. 1) Запишите координаты точек, абсцисса которых равна -2; 3 (рис. 76, а). Запишите координаты точек, ордината которых равна 4; -3 (рис. 76, б). Как расположены точки, имеющие одну и ту же абсциссу? ординату? Пусть теперь требуется по . известным координатам опре­делить положение точки на плоскости. Для этого выпол­няют обратные действия: че­рез точки координатных осей, соответствующие абсциссе и ординате, проводят прямые, пер­пендикулярные осям, и нахо­дят точку их пересечения. Это и будет искомая точка - точка с заданными координатами. На рисунке 77 показано, как найти точку М(3; -4). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 20.

417. Начертите в тетради систему координат, взяв единичный отре­зок длиной 1 см (две тетрадные клетки). Отметьте точки: а) А(1; 3), В(4; 1), С(-2; 4), D(-1; 4), Е(3; -2), F( 1; -1); б) А(2; -3), В(-4; 1), С(3; 0), D(3; -3), Е(-3; 2), F(-3; 1)

418. Отметьте точки с заданными координатами, проанализируйте полу­ченные результаты и сделайте выводы: а) А(0; 5), В(0; 3), С(0; 1), D(0; -1), Е(0; -2), F(0; -3); б) А(1; 0), B(4; 0), С(-2; 0), D(-1; 0), Е(3; 0), F(-3; 0) Сравните свои выводы со следующими утверждениями: точки, абсцисса которых равна нулю, лежат на оси ординат; точки, ордината которых равна нулю, лежат на оси абсцисс; точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат; точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной пря­мой, которая параллельна оси абсцисс.

419. Отметьте точки с заданными координатами, проанализируйте полу­ченные результаты и сделайте выводы: а) А(0; 1), В( 1; 0), С(-1; 0), D(0; -1); б) А(0; 3), В(-3; 0), С(0; -3), D(3; 0) Сравните свои выводы со следующими утверждениями: точки, абсцисса которых равна нулю, лежат на оси ординат; точки, ордината которых равна нулю, лежат на оси абсцисс; точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат; точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной пря­мой, которая параллельна оси абсцисс.

420. Отметьте точки с заданными координатами, проанализируйте полу­ченные результаты и сделайте выводы: а) А(2; 5), В(2; 3), С(2; 1), D(2; -1), Е(2; -2), F(2; -3); б) А(1; -3), В(4; -3), С(-2; -3), D(-1; -3), Е(3; -3), F(-3; -3) Сравните свои выводы со следующими утверждениями: точки, абсцисса которых равна нулю, лежат на оси ординат; точки, ордината которых равна нулю, лежат на оси абсцисс; точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат; точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной пря­мой, которая параллельна оси абсцисс.

421. Рассмотрите рисунок 78. Что показано на этом рисунке? Оха­рактеризуйте линии, выделенные одним цветом. Как они расположе­ны по отношению к осям координат? Проверьте себя. На рисунке 78 показано, как по заданным координатам были построены точки А, В, С и D. Прямые, выделенные зелёным цветом, - это перпендикуляры к оси абсцисс. Они параллельны оси ординат. Прямые, выделенные коричневым цветом, - это перпендикуляры к оси ординат. Они параллельны оси абсцисс. Выполните следующие задания, считая, что длина единичного отрез­ка равна 1 см.

422. Найдите площадь прямоугольника ABCD,если: а) А(2; 2), В(2; 7), С(10; 7), D(10; 2); б) А(-9; -3), В(-2; -3), С(-2; -8), D(-9;-8); в) А(-4; 5), В(-4; -5), С(-8; -5), D(-8; 5); г) А(-3; -4), В(-3; 4), С(3; 4), D(3; -4).

423. ABCD- прямоугольник. Определите координаты точки D,если: а) А(-9; -2), В(-9; 4), С(-3; 4); б) А(0; 6), В(0; -2), С(5; -2); в) А(9; 0), В(9; -5), С(2; -5); г) А(-6; 0), В(-6; -7), С(0; -7).

424. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) А(3; 0), B(0; 0), С(0; 4); б) А(0; -2), В(5; -2), С(5; 0); в) А(-2; 0,5), B(1,5; 4), С(1,5; 0,5); г) А(-4; 1,5), B(0; 0), С(-4; -3,5).

425. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) А(-6; 6), B(-6; 4), С(6; 3); б) А(-10; 2), B(4; 7), С(-1; 2); в) А(-3; 8), B(4; -2), С(7; 8); г) А(-3; -6), B(-3; 1), С(4; 4).

426. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) А(1; 0), В(0; 4), С(3; 3); б) А(-2; -2), В(-3; 2), С(3; 0); в) А(-2; -1), В(1; 2), С(3; -3); г) А(-4; 0,5), В(2; -2), С(-1; 3,5).

427. Определите координаты отмеченных точек (рис. 79).

428. Выберите подходящий масштаб и отметьте на координатной плоскости точки: а) М(0; 50), N(100; 300), K(150; -200), L(-300; -350); б) М(15; 0), N(-15; 30), K(90; -15), L(-60; -45);

429. Отметьте на координатной плоскости точки, симметричные точке А(2; 3) относительно оси абсцисс, оси ординат и начала коор­динат. Запишите координаты полученных точек и сравните их с ко­ординатами точки А. Сделайте вывод.

430. Отметьте на координатной плоскости точку А(а; b) так же, как на рисунке 80. Укажите точки, симметричные точке А относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат. Запишите их коорди­наты.

431. Постройте отрезок, симметричный отрезку MNотносительно оси абсцисс, и запишите координаты его концов, если: а) М(0; 5), N(1; 3); в) М(3; -2), N(3; 4); б) М(-2; 5), N(-3; -3); г) М(-4; -5), N(-4; 5).

432. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС от­носительно оси ординат, и запишите координаты его вершин, если: а) А(0; 1), В(3; 0), С(1; -2); б) А(-3; 4), В(-1; 0), С(0; 3); в) А(-2,5; -1,5), B( 1; 2), С(4; 1); г) А(0; 3), В(-2; -1,5), С(2; -1,5).

433. Постройте четырёхугольник, симметричный четырёхугольни­ку ABCDотносительно начала координат, и запишите координаты его вершин, если: а) А(2; 4), В(2; 7), С(5; 7), D(5; 1); б) А(-4; 0), В(1; 7), С(3; 7), D(4; 2); в) А(-6; 2), В(-7; 7), С(-2; 6), D(0; 0); г) А(-5; -3), В(-2; 3), С(5; 3), D(2; -3).

434. В № 434-436 укажите три точки, координаты которых отвечают данным условиям, и покажите, где на координатной плоскости располо­жены все такие точки. а) Абсцисса равна 2; в) абсцисса равна -2; б) ордината равна 2; г) ордината равна -2.

435. В № 434-436 укажите три точки, координаты которых отвечают данным условиям, и покажите, где на координатной плоскости располо­жены все такие точки. а) Абсцисса положительна; в) абсцисса отрицательна; б) ордината положительна; г) ордината отрицательна.

436. В № 434-436 укажите три точки, координаты которых отвечают данным условиям, и покажите, где на координатной плоскости располо­жены все такие точки. а) Абсцисса равна ординате; б) абсцисса и ордината - противоположные числа; в) абсцисса больше ординаты; г) ордината больше абсциссы.

437. Скопируйте в тетрадь рисунок 81 и закрасьте ту часть фигуры, точки которой отвечают указанным условиям (единичный отрезок - 1 клетка): абсцисса и ордината имеют одинаковые знаки (обе положи­тельны или обе отрицательны); ордината меньше 2, но больше -2; ордината больше 0, но меньше 2; абсцисса больше -3, но меньше 3.

438. Выполните действия: а) -5 • 0,08 + 2,32 : (-5) - 7,2 • 0,05; б) -0,02 : 0,005 • (-1) + 28 : (-0,7); в) (0,48 : 0,6 - 0,34 : 0,017) + (-16,8) • 0,4; г) 1,25 : (-0,5) - (1,2 • 0,3 - 2,15 • 1,2).

439. а) Из целых чисел, принадлежащих интервалу (-3; 1), наугад выбирают одно число. Сколькими способами это можно сделать? б) Из целых чисел, принадлежащих отрезку [-3; 1], наугад вы­бирают одно число. Сколькими способами это можно сделать?

440. а) Из целых чисел, принадлежащих интервалу (-3; 1), наугад выбирают два числа. Сколькими способами это можно сделать? б) Из целых чисел, принадлежащих отрезку [-3; 1], наугад вы­бирают два числа. Сколькими способами это можно сделать?

441. Упростите выражение:

442. Упростите выражение:

443. а) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 5 ч, дру­гая - за 10 ч. Какую часть рукописи они могут перепечатать за 1 ч, работая одновременно? б) В бассейн проведены три трубы. С помощью первой тру­бы бассейн можно наполнить за 10 ч, с помощью второй - за 8 ч, с помощью третьей трубы вся вода из наполненного бассейна может вылиться за 5 ч. Какая часть бассейна будет наполнена за 1 ч, если будут открыты все три трубы? в) Один насос может наполнить бак нефтью за 15 мин, другой - за 20 мин, а третьему насосу на это потребуется 30 мин. Какую часть бака могут наполнить нефтью все три насоса вместе за 1 мин?

444. а) У мамы было 4800 р. Она взяла этой суммы, чтобы оплатить коммунальные услуги. Сколько денег взяла мама? б) Площадь приусадебного участка составляет ^ га. Под огород отведено у этого участка. Определите площадь огорода. Для того чтобы понять правило умножения дроби на дробь, по­думайте над такими вопросами: что значит умножить на 3; 2) что значит умножить на у ? Проверьте себя. Ответ на первый вопрос наверняка не вызвал затруднений: умножить число на 3 - это означает найти сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно этому числу, другими словами, взять это число трижды. Опираясь на это, отвечаем и на второй вопрос: умножить число на у означает взять у этого числа. Такие задачи мы решали: чтобы взять (найти) у числа, надо это число разделить на 7 и результат умножить на 3. Значит, умножить  на это то же самое, что найти у числа - , т. е. разделить на 7 и результат умножить на 3. Выполним эти действия: Запишем равенство первого и последнего выражений из этой цепочки: Из него видно, что при умножении дроби на дробь в результате получается дробь, числитель которой равен произведению числите­лей, а знаменатель - произведению знаменателей множителей. К этому выводу можно прийти и другим путём.

445. Сравните данные, условия и решения следующих задач. Поду­майте, как, опираясь на решение первой задачи, можно найти ответ для второй. Найдите площадь куска ткани прямоугольной формы шириной -ми длиной 5 м. Найдите площадь листа бумаги прямоугольной формы с измерениями м Подсказка. Вспомните, какое арифметическое действие означает черта дроби, и сравните числа 5 и у Проверьте себя. При правильных рассуждениях у вас должно было получиться м . Если вы этот ответ не получили, прочитайте следующий текст. Черта дроби означает деление, т. е. у = 5 : 7. Значит, числовое выражение в решении второй задачи отличается от первого тем, что в нём второй множитель меньше в 7 раз, следовательно, и произве­дение должно быть в 7 раз меньше. Таким образом, чтобы получить ответ во второй задаче, надо число, полученное в ответе к первой задаче, уменьшить в 7 раз: Сравнивая равные выражения, получаем тот же результат - произведение обыкновенных дробей - это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знамена­тель - произведению знаменателей данных дробей: Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс №21.

446. Вычислите:

447. Вычислите:

448. Подумайте, чему равно произведение дробей. Вспомните, как называются такие числа. Проверьте себя. Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

449. Найдите устно значение выражения

450. Вычисляя значение выражения, Таня записала: Правильно ли умножала Таня? Как бы вы перемножили эти смешанные числа? Проверьте себя. Таня ошиблась - должно быть так: При умножении смешанных чисел их надо сначала превратить в неправильные дроби.

451. Вычислите:

452. Вычислите:

453. Найдите произведение

454. От базы до первого привала турист шёл 3 ч. Зная, что средняя скорость туриста оказалась равной 4 км/ч, определите, какое рас­стояние прошёл турист.

455. По дороге из дома в школу Петя насчитал 575 шагов. Какое расстояние прошёл Петя, если каждый шаг на м приближал его к школе?

456. Из бака выходят две трубы. Через одну из них вытекает 4 л воды в минуту, а через другую - в полтора раза больше. Полный бак опорожняется через обе трубы за 3 ч 20 мин. Сколько литров воды вмещает бак?

457. Один градус шкалы Цельсия равен 4 градуса шкалы Реомюра. Сколько градусов покажет термометр Реомюра, когда термометр Цельсия покажет 22°?

458. Высота прямоугольного окна 1 м, а его ширина составляет высоты. Найдите площадь окна.

459. Проволоку длиной 34 м разрезали на три части. Первая часть составила всей проволоки, вторая - проволоки, оставшейся после того, как отрезали первую часть. Найдите длину каждой ча­сти проволоки.

460. Ширина зала 8 м, длина его в два с половиной раза больше ширины, а высота составляет длины. Зная, что масса 1 м³ воздуха равна примерно 1 кг, определите, какую массу имеет воз­дух, наполняющий зал.

461. а) На подарок бабушке из своей копилки Наташа взяла 152 р., что составило накопленной суммы. Сколько денег накопила Наташа? б) Под плодовые деревья отведено га, что составляет у пло­щади садового участка. Найдите площадь участка. Для того чтобы понять, каким образом выполняется деление дроби на дробь, подумайте, что значит разделить, к примеру, у на у. Проверьте себя. Вспомним: умножить число на у - это значит найти - это­го числа. Деление - действие, обратное умножению. Умножение на дробь - это отыскание части числа, значит, деление на дробь - это отыскание числа по его части, выраженной этой дробью. Таким образом, разделить на это значит найти число, которого равны. Решать такие задачи мы умеем, значит, сможем разделить. Из этого равенства видно, что получается в частном при деле­нии дроби на дробь: числитель частного - это произведение числителя делимого на знаменатель делителя; знаменатель частного - это произведение знаменателя дели­мого на числитель делителя. Этот же результат можно получить другим способом (№ 462).

462. Сравните данные, условия и решения следующих задач. Как, опираясь на решение первой задачи, можно найти ответ для второй? Площадь прямоугольника равна м², а его длина - 2 м. Най­дите ширину прямоугольника. Площадь прямоугольника равнам , а одна из его сторон - м. Найдите вторую сторону прямоугольника. Подсказка. Вспомните, с чего начинается деление на десятичную дробь; попробуйте заменить деление числа на обыкновенную дробь делением на натуральное число. Проверьте себя. Чтобы заменить деление числа на дробь делением на натураль­ное число, умножим и делимое, и делитель на знаменатель делителя, т.е. на число 5. Опять видим, что числитель частного - это произведение чис­лителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель частного - это произведение знаменателя делимого на числитель делителя.

463. Выполните деление:

464. 1) Выполните действия: 2) Сравните результаты и сделайте вывод. Как называются дроби

465. Постарайтесь самостоятельно сформулировать правило деления обыкновенных дробей, используя установленное свойство. Проверьте себя. Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, нужно умно­жить это число на дробь, обратную делителю. Ресурс № 22. Запишите числа, обратные данным:

466. Запишите числа, обратные данным:

467. Вычислите:

468. Вычислите:

469. Вычислите:

470. Вычислите:

471. Какое число нужно поставить вместо *, чтобы записанное ра­венство стало верным:

472. На какое число нужно разделить дробь, чтобы получить данное число:

473. На какое число нужно разделить дробь, чтобы получить данное число:

474. На какое число нужно разделить дробь, чтобы получить данное число:

475. На что надо умножить данное число, что­бы в произведении получить 1:

476. Сколько раз: а) содержится в 15; б) содержится в 20; в) содержится в 8; г) содержится в 30?

477. Вычислите: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 12.

478. Что произойдёт с частным, если: а) и делимое, и делитель умножить на; б) делитель разделить на в) делимое умножить на, а делитель разделить на г) делимое умножить на, а делитель умножить на

479. Делимое умножили на 9. Что надо сделать с делителем, чтобы частное: а) увеличилось в два с половиной раза; б) уменьшилось в два с половиной раза?

480. Вычислите:

481. Найдите значение выражения:

482. Найдите значения выражений х²; -х² ; (-х)²; -(х²) при х = 3 и при х = -3, проанализируйте полученные результаты. Подумайте, какие из этих выражений равны при любых значениях х.

483. Найдите значение каждого выражения при х = 3 и при х = -3, проанализируйте полученные результаты: а) х³; б) -x³; в) (-х)³; г) -(x³). Есть ли среди выражений такие, которые равны при любых значе­ниях х?

484. 1. Прочитайте выражения и найдите значение каждого из них при а = -2, b= 4: а) а² - b² в) а² + 2ab+ b²; б) (а + b)²; г) (а - b)(а + b). 2. Укажите выражения, значения которых равны. Сами выбе­рите какие-нибудь числа и найдите значение каждого выражения.

485. 1. Прочитайте выражения и найдите значение каждого из них при а = 3, b= -5: а) а² - Ь²; в) а² - 2ab+ b² ; б) (а - b)² г) (а - b)(а + b). 2. Укажите выражения, значения которых равны. Возьмите сами какие-нибудь числа и найдите значения данных выражений.

486. 1. Найдите значение каждого выражения при а = -4, b= -8: а) а² - b²; в) (а - b) • (а + b); б) (а - b)²; г) а² - 2ab+ b². 2. Укажите выражения, значения которых равны. Сами выбе­рите какие-нибудь числа и найдите значения этих выражений.

487. 1. Найдите значение каждого выражения при а = -1 и b = -6: а) а² - b²; в) (а + b)²; д) (а - b)²; б) (а - b) • (а + b); г) а² + 2ab+ b² е) а² - 2аb+ b². 2. Укажите, какие выражения имеют равные значения. Сами выберите какие-нибудь числа и найдите значения этих выражений.

488. Решите уравнение: а) 3х = -15; б) -7х = -21; в)-25х = 5; г) 9х = -81.

489. Решите уравнение: а) -10y = 2; б) 16y = -4; в) -8y = -64; г) -14у = -7.

490. Дана аналитическая модель открытого луча. Постройте его геометрическую модель и сделайте соответствующую символиче­скую запись: а) х < 6; б) х > 24; в) х < -1,5; г) х > -0,4.

491. Дана аналитическая модель числового промежутка. Постройте его геометрическую модель, запишите название и составьте соответ­ствующую символическую запись: а) х < -7; в) -5 < х < -1,5; д) х > -15; б) х > 3,5; г) -8,5 < х < -1;  е) х < 2,3.

492. Собрание для проведения тайного голосования по важному во­просу избрало счётную комиссию, в состав которой вошли Антонов, Борисова и Ващенко. Члены счётной комиссии должны распреде­лить обязанности: председатель, заместитель, секретарь. Сколькими способами они могут это сделать? Подобные задачи вы решали в 5-м классе, да и в этом учебнике они вам встречались. Решите эту задачу самостоятельно. Проверьте себя. Всего имеется 6 вариантов распределения обязанностей. Что­бы ответить, вам пришлось осуществить перебор всех возможных вариантов, или, как чаще говорят, комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными. Просчитывать возможные ком­бинации (варианты) в жизни приходится довольно часто. Хотя задача и простая, обсудим её решение. Построим дерево воз­можных вариантов (рис. 83), используя кодировку. А - Антонов, Б - Борисова, В - Ващенко; кроме того, порядок расположения букв будет соответствовать распределению функциональных обязан­ностей: первая буква - председатель, вторая буква - заместитель, третья буква - секретарь. Например, кодировка ВБА означает, что Ващенко - председатель, Борисова - заместитель и Антонов - се­кретарь. Итого получилось 6 вариантов распределения обязанностей между членами комиссии. Дерево вариантов можно считать геометрической моделью рас­сматриваемой ситуации. На самом деле обычно обходятся без дерева вариантов, используют логические рассуждения и здравый смысл. Смотрите: председателем может быть любой из трёх членов комис­сии (3 варианта). Если председатель выбран, то заместителем мо­жет быть любой из двух оставшихся членов комиссии (2 варианта), а секретаря уже выбирать не из кого, им будет оставшийся член ко­миссии. Итого 3 • 2 • 1 = 6 вариантов. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 23.

493. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Решите эту задачу двумя способами: при помощи дерева возможных вариантов; при помощи логических рассуждений. 1 способ. Чтобы проверить свои рассуждения, рассмотрите рисунок 84. На нём изображено дерево вариантов для данной ситуации. Ответьте на вопросы: Почему от «ствола» отходит только 4 «ветви»? Что они означают? Что означает вторая группа «ветвей»? Почему от каждой «ветви» первой группы отходит по 5 «ветвей» вто­рой группы? Сколько двузначных чисел получилось? Проверьте себя. У интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться любая из заданных цифр, кроме цифры О (не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0). Поэ­тому в первой группе только 4 «ветви». Для каждого из этих случа­ев возможны 5 вариантов для цифры единиц - 0, 1, 2, 3 или 4. На рисунке это изображается пятью «ветвями», отходящими от каж­дой из «ветвей», соответствующих цифре десятков. Итак, из данных цифр можно составить 20 различных двузначных чисел. 2 способ. Для первой цифры есть 4 варианта, а для второй - 5 вариантов. Если 4 умножить на 5, получится 20. Такой же ответ получился при помощи дерева вариантов. Про второй способ рассуждений обычно говорят так: мы исполь­зовали правило умножения.

494. 1) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7? Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, если известно, что цифры не должны повторяться? Сравните своё решение с таким решением. Для цифры сотен у нас есть 4 варианта - 1, 3, 5 или 7; для цифры десятков мы должны использовать те же 4 варианта; для цифры единиц - опять 4 варианта. Применив правило умножения, получим 4 • 4 • 4 = 64. Ответ: 64 числа. Для цифры сотен у нас есть 4 варианта - 1, 3, 5 или 7; для цифры десятков мы можем использовать для каждой выбранной цифры сотен лишь 3 варианта, поскольку повторять цифру сотен мы не имеем права (по условию задачи все цифры должны быть раз­личными). Для цифры единиц у нас в каждом случае есть лишь две оставшиеся возможности - 2 варианта. Применив правило умноже­ния, получим 4 • 3 • 2 = 24. Ответ: 24 числа.

495. Несколько стран решили использовать для своего государствен­ного флага символику в виде трёх горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов - белого, синего, красного. Сколько стран мо­гут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг? Верно ли, что одной из этих стран является Россия?

496. Несколько стран решили использовать для своего государствен­ного флага символику в виде четырёх вертикальных полос одинако­вой ширины разных цветов - жёлтого, синего, красного, зелёного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг?

497. Руководство некоторой страны решило сделать свой государст­венный флаг таким: на одноцветном прямоугольном полотне в одном из углов помещается квадратик другого цвета. Цвета решено выбрать из трёх возможных: красного, белого, зелёного. Сколько вариантов такого флага существует? На рисунке 85 представлены некоторые из возможных вариантов.

498. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

499. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нуж­но выделить группу из трёх человек для посещения заболевшего уче­ника этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены этой группы - девочки; б) все члены этой группы - мальчики; в) в группе 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?

500. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нуж­но выделить группу из трёх человек для посещения заболевшей уче­ницы этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если: а) все члены группы - девочки; б) все члены группы - мальчики; в) в группе 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?

501. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры не должны повторяться?

502. а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5? б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5 при условии, что цифры не должны повторяться?

503. а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 7, 9? б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться?

504. а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 6, 9? б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 6, 9 при условии, что цифры не должны повторяться?

505. а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 при условии, что цифры не должны повторяться?

506. В 6 «А» классе в четверг 5 уроков: математика, информати­ка, русский язык, английский язык, физкультура. Сколько всего можно составить вариантов расписания на четверг? Сколько имеет­ся вариантов расписания при условии, что физкультура - послед­ний урок? Сколько имеется вариантов расписания при условии, что физкультура - последний урок, а математика - первый?

507. В 6 «А» классе в пятницу 6 уроков: математика, информатика, русский язык, английский язык, история, физкультура. Сколько всего можно составить вариантов расписания на пятницу? Сколько времени потратит завуч на запись всех вариантов, если известно, что на запись одного варианта у него уходит 30 с?

508. В чемпионате России по футболу в высшей лиге участвуют 16 команд. Перед началом чемпионата газета «Спорт» провела интернет-опрос читателей, задав им два вопроса: 1) Какие три ко­манды станут призёрами чемпионата, т. е. займут первое, второе и третье места? 2) Какие две команды по итогам чемпионата должны будут покинуть высшую лигу, т. е. займут два последних места? Чи­татели указали все возможные варианты и при ответе на первый, и при ответе на второй вопрос. а) Сколько вариантов состава призёров чемпионата указали участники опроса? б) Сколько вариантов состава неудачников чемпионата указали участники опроса?

509. В двух урнах имеется по семь шаров, в каждой - семи раз­личных цветов: красного, оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимают по одному шару. а) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета? б) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары разных цветов (комбинации типа «белый - красный» и «красный - белый» считаются одинаковыми)? в) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «белый - красный» и «красный - бе­лый» считаются одинаковыми)?

510. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Мамино - Папино - Бабушкино - Дедушкино - Тётино. Из Ма­мино в Папино можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Папино в Бабушкино можно пройти пешком или доехать на вело­сипедах. Из Бабушкино в Дедушкино можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Из Дедушкино в Тёти­но можно пройти пешком, доехать на велосипедах или на лошадях. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы один из участков маршрута они должны пройти пешком?

511. Решите уравнение: а) 32x= -4; б) -9x = -54; в) -45x = 15; г) 19x = -57.

512. Решите уравнение: а) -17у = 68; в) -64у = -8; б) 48у = -24; г) -36у = -9.

513. Решите уравнение: а) x : (-3) = 1,2; в) 0,6 : (-x) = 8,4; б) (-1,5) : x = -0,3; г) -1,12 : x = 1,4.

514. Решите уравнение: а) (-x) : (-2,1) = 0,15; б) 0,7 : (-x) = 2,8; в) (-0,5) : x = -1,25; г) -1,21 : x = 0,11.

515. Выпишите пары равных выражений: а - (b + с); а - (b - с); а – (-b + с); а - (-b - с); а + b+ с; а + b- с; а - b + с; а - b- с. Обоснуйте свой ответ.

516. Решите уравнение: а) 210 - x = -210; г) 210 : x = -3; б) 210 • x = 30; д) 210 + x = -65; в) 210 + x = -90; е) 210 • x = -10; ж) 210 + x = 130; з) 210 + x = -65; и) 210 - x = 350.

517. Сколько раз: а) содержится в 15; б) содержится в 18; в) содержится в 16; г) содержится в 12?

518. 1) Рассмотрите рисунок 86. Опишите с его помощью два спосо­ба вычисления площади прямоугольника ABCD. Какой закон ариф­метических действий иллюстрирует этот рисунок? 2) Раскройте скобки: а) 4 • (x + 5); б) (-4) • (x + 5). Проверьте себя. Равенство а -(b +с) = а- b + а- с - это распределительный за­кон умножения. Рисунок подтверждает этот закон для случая, ког­да а, bи с - положительные числа. На самом деле распределитель­ный закон выполняется для любых чисел, поэтому: а) 4 • (х + 5) = 4 • х + 4 • 5 = 4х + 20; б) (-4) • (х + 5) = (-4) • х + (-4) • 5 = -4х + (-20) = -4х - 20. Обычно записывают короче: 4 • (х + 5) = 4х + 20 и (-4) • (x + 5) = -4х - 20.

519. Раскройте скобки: а) (-5) • (х + у+ 7); б) -2 • (7 + а + b); в) -3 • (с + 8 + d); г) (-5) • (7 + х + у). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 24.

520. Подумайте, как, применяя распределительный закон, раскрыть скобки в таких случаях: 1) (-4) • (х - 5); 2) 4 • (-х - 5); 3) -4 • (-х - 5). Подсказка. Выражения в скобках представьте в виде суммы. Проверьте себя. (-4) • (х - 5) = (-4) • (х + (-5)) = (-4) • x + (-4) • (-5) = -4х + (+20) = -4х + 20, т. е. (-4) • (х - 5) = -4х + 20; 4 • (-х - 5) = 4 • ((-x) + (-5)) = 4 • (-х) + 4 • (-5) = -4х - 20, т. е. 4 • (-х - 5) = -4х - 20; -4 • (-х - 5) = -4 • ((-x) + (-5)) = (-4) • (-х) + (-4) • (-5) = 4х + 20, т. е. -4 • (-х - 5) = 4х + 20.

521. Проверьте равенство: а) 5 • (-7 - а) = -35 - 5а; б) -5 • (7 - а) = -35 + 5а; в) 5 • (-7 + а) = -35 + 5а; г) -5 • (-7 - а) = 35 + 5а.

522. Проверьте равенство: а) (-2) -(х + у) = -2х - 2у; б) (-2) • (-х - у) = 2х + 2у; в) -2 • (-х + у) = 2х - 2у; г) -2 • (х - у) = -2х + 2у.

523. Определите, является ли равенство верным. В неверных равенствах исправьте правую часть так, чтобы они стали верными: а) 15(2 + b) = 30 + 15b; в) 15(2 - 6) = 30 – 15b; б) -15(2 + b) = -30 + 15b; г) -15(2 - b) = -30 – 15b.

524. Определите, является ли равенство верным. В неверных равенствах исправьте правую часть так, чтобы они стали верными: а) -15(2 - b) = -30 + 15b; б) -15(2 + b) = -30 – 15b; в) -15(2 + b) = -30 + b; г) -15(-2 - b) = -30 - b. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 13.

525. Назовите слагаемые данного выражения, раскройте скобки и упрос­тите: а) 2(3 + а) - 10; б) -9(4 + у) + 36; в) 20 + 15(х - 2); г) -12 - 7(а + 1); д) -3(y- 2) - 4; е) 28 + 4(у - 9).

526. Назовите слагаемые данного выражения, раскройте скобки и упрос­тите: а) 15 + 4(х - 5); б) 8 - 5(b + 3); в) -45 - 3(9 - у); г) -6(8 - b) + 50; д) -35 - 5(х + 8); е) 2(3 - а) - 16.

527. Подумайте, как раскрыть скобки в таких выражениях: (x - 3) + 2; -(x - 3) + 2; -15 + (-6 + у); -15 - (-6 + у). Проверьте себя. До сих пор мы рассматривали выражения, в которых перед скобками стоял какой-либо числовой множитель. На первый взгляд может показаться, что в этих выражениях перед скобками множи­теля нет. Но на самом деле вам известны такие равенства: Поэтому, если перед скобками стоит знак «+», это значит, что выражение в скобках умножается на 1: Если же перед скобками стоит знак «-», это значит, что выра­жение в скобках умножается на (-1): -(х - 3) + 2 = (-1) (х-3) + 2 = -х + 3 + 2 = -х + 5 = 5-х; -15 - (-6 + у) = -15 + (-1) • (-6 + у) = -15 + 6 - у = -9 - у. Итак, мы получили: (х - 3) + 2 = х - 3 + 2, - (х - 3) + 2 = -х + 3 + 2, -15 + (-6 + у) = -15 - 6 + у, -15 - (-6 + у) = -15 + 6 - у. Анализируя эти равенства, можно сформулировать следующие правила раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «+», это значит, что все слага­емые в скобках надо умножить на 1, т. е., раскрывая скобки, оставить их без изменения; если перед скобками стоит знак «-», это значит, что все сла­гаемые в скобках надо умножить на -1, т. е., раскрывая скобки, изменить знаки слагаемых на противоположные.

528. Раскройте скобки: а) 16 - (х + у); в) -(6 - т + п) - k;д) 7 - (а + b); б) х + (у + 9 - t);г) 7 + (-g+ h- f);е) 9 - (а - b).

529. Раскройте скобки: а) -(а + 5) - с; б) -15 + (-а - b + с); в) d+ (а - 17 + b); г) ~(~q- v- s) - 21. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 14.

530. Раскройте скобки и упростите выражение: а) (18 + х) + 12; б) 25 - (а - b + 28); в) (25 - г) + (t- 18); г) -(р + 3) + (q- 7).

531. Раскройте скобки и упростите выражение: а) 36 - (18 + у); б) 43 + (с - 21 + d); в) (17 + и) - (v- 7); г) -(9 - g)- (15 + h).

532. Решите уравнение: а) (-15) • 4х = 3 • 16 • 5; в) -24 • (-Зx) = 18 • (-12); б) -9x • 8 = 36 • (-2); г) (-1) • (-x) • 28 = 14 • (-16).

533. Решите уравнение: а) 10 • 8х = 2 • (-16) • 5; в) -15 • (-13x) = -26 • (-30); б) 18 (-x) • (-5) = 45 • (-3);  г) -36 • 7х = 4 • (-63).

534. Решите уравнение: а) 0,5 • (-2) х = 17; в) 7,2 • (-x) = 0,9 • (-16); б) -8 • 0,25 • x = -3,2; г) -x • 0,32 = 4 -32.

535. Решите уравнение: а) -5x • (-0,4) = 0,84 : (-0,42); в) 5,4 • (-x) = 0,6 • (-36); б) (-1) • 0,7 • (-x) = (-35) : 0,5; г) -x • 0,25 = -15 • 25.

536. Заполните таблицу, если у = -3 + х: Отметьте на координатной плоскости точки с координатами (*; у), взятыми из полученной таблицы. Что вы заметили?

537. Заполните таблицу, если у = -х + 7: Отметьте на координатной плоскости точки с координатами (*; у), взятыми из полученной таблицы. Отметьте точки, симметричные этим точкам относительно оси ординат. Как проверить, правильно ли выпол­нено задание?

538. Вычислите:

539. Вычислите:

540. Найдите значение выражения:

541. Найдите значение выражения:

542. Найдите значение выражения:

543. Вычислите: а) -15,28 - (-34,96) - (+24,15) - (-4,51) + (-81,05); б) -(+80,61) - 23,49 + (+64,045) - (-55,955) - (+96,51); в) 74,62 - 58,025 + (-34,31) - (-56,78) - (+39,065); г) -(-49,96) + 54,28 - (+28,168) - 34,971 + (-42,101).

544. Вычислите: а) (-0,01) • (-0,3) • (-0,05); б) -(-0,2) • (-0,008) • (-0,01) • (-100); в) 0,001 • (-(-1)) • 1000 • (-0,04); г) (-0,07) • (-0,02) • (-0,08) • (-0,025) • (-10).

545. 1) Назовите коэффициенты в выражениях 2х, -15y, 18z, -9t, а, -b. 2) Назовите коэффициенты слагаемых и упростите выражение 3х - 8х. Проверьте себя. 2) Коэффициенты слагаемых: 3 и -8. Выражение 3х - 8х можно упростить, применяя распределительный закон: 3х - 8х = (3 - 8)х = -5х. Обычно записывают короче: 3х - 8х = -5х. Слагаемые 3х и -8х отличаются только своими коэффициента­ми - такие слагаемые называют подобными. Кроме того, подобны­ми считают и равные слагаемые, а также числа. Заметим, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя и к ним иногда полезно применять распределительный закон; например, 7а + 7b = 7(а + b). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурсы № 25, 26.

546. Назовите коэффициенты и упростите выражение: Упрощая данные выражения, вы находили суммы подобных слагаемых. Такое действие называют приведением подобных слагаемых.

547. Назовите коэффициенты и упростите выражение: Упрощая данные выражения, вы находили суммы подобных слагаемых. Такое действие называют приведением подобных слагаемых.

548. Приведите подобные слагаемые:

549. Приведите подобные слагаемые:

550. Приведите подобные слагаемые:

551. Приведите подобные слагаемые:

552. Приведите подобные слагаемые:

553. Приведите подобные слагаемые:

554. Приведите подобные слагаемые:

555. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 5а + 2(7 - а); в) 5а - 2(7 - а); д) 2а - 5(7 + а); б) -5а - 2(7 - а); г) -5а + 2(7 - а); е) -2а - 5(а - 7)

556. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 2(7 - а) - 5а; б) -2(7 - а) - 5а; в) -2(7 - а) + 5а; г) -5а + 2(7 - а); д) -5(а - 7) + 2а; е) -5(а + 7) - 2а.

557. Упростите выражение: а) 2x+ 3(4 - 5*); в) -5а + 8(1 + За); б) 5(9 - 2т) + 10т; г) -9с - 7(1 - 2с).

558. Упростите выражение: а) 7у - 2(3у + 8); б) -4(8n - 7) – 28n; в) 3b - 6(2 – 4b); г) 5(2d- 1) - 6dМультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 15.

559. Упростите выражение: а) 4(2 - 3х) + 5(2x - 3); б) 3(5x - 9) - 2(5x + 1); в) -2(6 – 9x) - (x + 3); г) -6(3 + x) + 8(2 - x).

560. Упростите выражение: а) 7(4x + 2) - 8(5 – 3x); б) -6(8x - 5) + 7(4 - x); в) -(-2x + 7) - 3(x - 1); г) 4(2 – 5x) - 5(3 – 4x).

561. Упростите выражение: а) 6(5а + 3) - (7 + а) - 2(4 - 3а); б) -7(4 - b) + 3(-2b - 2) - 5(-8 + b); в) 2(12а - 1) - 6(2 - За) - 3(8а + 5); г) -5(4b + 3) - (18 + b) + 15(1 + 2b).

562. Упростите выражение: а) 2(3 - 6с) - 9(2 + 3с) + 3(13с - 4); б) -4(2d+ 5) + 7(2 + 5d) - (d- 6); в) 16(с - 3) + 8(5 - 2с) - (10с - 8); г) -12(7 - 2d) - 9(7d- 5) - 3(15 + 8d).

563. Решите уравнение: а) 3x – 5x = -13 + 3; б) -7x + 12x = 8 - 23; в) -5у - 17у = -50 + 6; г) 16x - 7x = -42 - 39.

564. Решите уравнение: а) у - 12у = -6 - 27; б) -22у - 10у = 5 • (-2); в) -x + 6x = -45 + 15; г) -21 у - 33у = -12 • (-5).

565. Ручка стоит x р., а карандаш - у р. Что означают выражения: 2х, 3у, х + у, х - у, х : у, 2x + 3 у? Что означают равенства: 2x + 3у - 26, 2x - 3у - 2?

566. Света купила 5 карандашей по цене х р. за карандаш, а Таня - 7 ручек по цене в 1,8 раза выше, чем цена за карандаш. После этого у Светы осталось 49,2 р., а у Тани - 15 р. Запишите выражения для следующих величин: цена ручки; стоимость пяти карандашей; стоимость семи ручек; сумма денег, которая была у Светы первоначально; сумма денег, которая была у Тани первоначально. Составьте уравнение, зная, что у Светы и Тани первоначально денег было поровну.

567. у = -х - 1. Заполните таблицу: Отметьте на координатной плоскости точки с координатами (х; у), взятыми из полученной таблицы. Отметьте точки, симметричные данным относительно оси абсцисс.

568. у = -10 - х. Заполните таблицу: Отметьте на координатной плоскости точки с координатами (х; у), взятыми из полученной таблицы. Отметьте точки, симметричные данным относительно начала координат.

569. Найдите значение выражения

570. Найдите значение выражения

571. Найдите значение выражения

572. Найдите значение выражения

573. Свежий виноград содержит 90% воды, а изюм - 55%. Сколь­ко изюма получится из 13,5 кг винограда? Сколько винограда надо взять, чтобы получить 10 кг изюма?

574. Молоко содержит 21 % сливок (по массе), а сливки содержат 23% масла (по массе). Сколько масла можно получить из 50 кг мо­лока? Сколько молока необходимо для получения 5 кг масла?

575. На столе лежал расколотый арбуз массой 10 кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась и её про­центное содержание в арбузе понизилось до 96%. Найдите новую массу арбуза.

576. (Устно.) В данном выражении назовите постоянные и пере­менные величины: а) 7а + 8b; б) 34 - 5у; в) 7t+ 15; г) 9,8x - у.

577. (Устно.) В данном равенстве назовите постоянные и перемен­ные величины: а) 8а + 1 = b; в) 4t= 12 – 5t; б) 3,2 -7у = 76; г) 54x -2у = 35.

578. 1) Решите уравнение 3x = 12. 2) Подумайте, как решить такие уравнения: а) 3x- 12 = 0; б) 3x - 2 = 10; в) 2x - 2 = 10 - x. Подсказка. Решить уравнение, левая часть которого представляет собой произве­дение числа (коэффициента) и переменной, а правая - некоторое число, вы можете без затруднений. Для этого надо число, стоящее в правой ча­сти уравнения, разделить на коэффициент при переменной: 3x = 12, x = 12:3, x = 4. Фактически мы разделили на коэффициент при переменной обе ча­сти уравнения. Чтобы решить уравнения второй части задания, надо преобразовать их так, чтобы в каждом случае получить уравнение, левая часть которого - произведение коэффициента и переменной, а правая - число. Проверьте себя. Рассуждать можно по-разному, например так: а) 3х - 12 = 0. Разность двух выражений равна нулю, значит, сами выражения равны: 3х = 12, х = 4. б) 3х - 2 = 10. Это равенство двух выражений, значит, их разность равна нулю: (3х - 2) - 10 = 0. Раскроем скобки и упростим выражение в левой части уравнения: 3х - 2 - 10 = 0, 3х - 12 = 0, 3x = 12, х = 4. в) 2х - 2 = 10 - х. Рассуждая так же, как в предыдущем случае, получаем: (2х - 2) - (10 - х) = 0, 2х - 2 - 10 + х = 0, 3х - 12 = 0, 3х = 12, х = 4. Нетрудно заметить, что решить уравнение можно, последова­тельно выполняя следующие действия: перенести все слагаемые из правой части уравнения в левую часть, меняя при переносе знаки на противоположные; привести подобные слагаемые; слагаемое, не содержащее переменную, перенести в правую часть уравнения, поменяв его знак на противоположный; разделить правую часть уравнения на коэффициент при пере­менной. Другой способ решения уравнений связан с возможностью при­бавлять к обеим частям равенства одно и то же число и умножать или делить обе его части на одно и то же число (кроме 0). Рассмотрим ещё раз три наших уравнения. а) 3х - 12 = 0. Какое число нужно прибавить к левой части, чтобы там осталось только 3х? Очевидно, что это 12. Но, чтобы ра­венство осталось верным, надо прибавить число 12 к обеим частям уравнения: Зх-12 + 12 = 0 + 12. Получаем 3х = 12, х = 4. б) 3х - 2 = 10. Рассуждаем так же, как в предыдущем случае: 3х - 2 + 2 = 10 + 2. В левой части уравнения есть слагаемые, сумма которых равна нулю: -2 + 2 = 0. Говорят, что слагаемые взаимно уничтожились. 3х = 10 + 2, 3х = 12, х = 4. в) 2х - 2 = 10 - х. Здесь нам «мешают» в левой части -2, а в правой -х. Поэтому к обеим частям уравнения прибавим величины, им противоположные: 2х-2 + 2 + х = 10-х + 2 + х. Так же как и в предыдущем случае, взаимно уничтожатся сла­гаемые, дающие в сумме нуль. Получаем 2х + х = 10 + 2, 3х = 12, х = 4. Запишем теперь решение каждого уравнения без пояснений. В каждом столбце сравните уравнение, выделенное жирным шриф­том, с исходным уравнением. Подумайте, как его можно получить из исходного уравнения без каких-либо промежуточных действий. Проверьте себя. Каждое уравнение, выделенное жирным шрифтом, можно полу­чить из исходного, перенеся слагаемые из одной части уравнения в другую с изменением знаков этих слагаемых на противоположные. Поэтому, чтобы решить уравнение, надо последовательно выполнить следующие действия: слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа - в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные; привести подобные слагаемые в левой и правой частях урав­нения; разделить число в правой части уравнения на коэффициент при переменной. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 27.

579. Преобразуйте уравнение к виду ах = b, где а и b- числа. Реши­те полученное уравнение и выполните проверку, подставив найден­ное значение х в исходное уравнение: а) 5х - 2 = 18; в) 3х + 5 = х + 9; б) 1х = х + 24; г) 2х - 4 = 6х - 20. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 16.

580. Решите уравнение: 4х - 7 = 2х + 15;

581. Решите уравнение:

582. Решите уравнение:

583. Решите уравнение:

584. Решите уравнение: а) 1,38x + 5,744 = 0,18x + 5,78; б) 1,11 - 3,48x = 6,52x - 0,89; в) 12,6 - 6,85x = 56,4 + 0,45x; г) 3,24x - 1,295 = 1,705 - 5,76x.

585. Решите уравнение: а) 1,78x + 0,84 = 1,34 - 0,72x; б) 7,43 - 1,28x = 1,42x + 5; в) -4,29x + 12,7 = 5,7 - 0,79x; г) -3,32x - 0,132 = 0,138 + 7,48x. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 17.

586. Заполните таблицу:

587. Цена яблок - x р., а цена груш - у р. Запишите в виде выражения: сколько стоит 1 кг яблок после снижения цены на 4 р.; сколько стоит 1 кг груш после повышения цены на 3 р.; стоимость 6 кг яблок по новой цене; стоимость 4 кг груш по новой цене. Составьте математические модели следующих ситуаций (используя новые цены яблок и груш): а) 6 кг яблок стоят столько же, сколько 4 кг груш; б) 6 кг яблок дороже 4 кг груш на 3,8 р.; в) 6 кг яблок дешевле 4 кг груш в 1,2 раза.

588. В выборах на пост главы администрации города приняли уча­стие 60% избирателей. Кандидат А набрал 75% голосов избирате­лей, принявших участие в выборах. Подумайте, что принято за 100% в первом случае и что - во вто­ром. Можно ли утверждать, что больше половины избирателей города отдали свои голоса за кандидата А? Сколько человек проголосовали за кандидата А, если всего в городе 80 000 избирателей?

589. Подумайте, что принято за 100% в следующей задаче. В магазине батон хлеба стоит 6,7 р., а на лотке цена такого же батона 6 р. На сколько процентов дешевле продаётся батон с лотка, чем в магазине? Определите, на сколько процентов батон хлеба в магазине доро­же, чем на лотке. Проверьте себя. По условию задачи цена «дешёвого» батона сравнивается с це­ной «дорогого». В таких случаях всегда за 100% принимается то, с чем сравнивают. 6,7 р. - 100%, 1% - 0,067 р. Тогда на сумму 6 р. приходится примерно 89,5%: 0,067 89,5; 100%- 89,5% = 10,5%. Значит, на лотке батон на 10,5% дешевле, чем в магазине. На этот раз «дорогой» батон сравнивается с «дешёвым». Зна­чит, за 100% принимаем стоимость «дешёвого» батона. 6 р. - 100%, 1% - 0,06 р. Тогда на 6,7 р. приходится примерно 111,6%: 6,7 : 0,06 - 111,6; 111,6%- 100% = 11,6%. Таким образом, в магазине батон на 11,6% дороже, чем на лотке.

590. В 2000 г. проезд на автобусе в Москве стоил 4 р., а в Подоль­ске - 3 р. На сколько процентов проезд на автобусе в Москве был дороже, чем в Подольске? На сколько процентов проезд на автобусе в Подольске был дешевле, чем в Москве?

591. Кроссовки стоили 200 р. После подорожания их цена выросла в 5 раз. На сколько процентов новая цена кроссовок выше старой? На сколько процентов старая цена кроссовок ниже новой?

592. Численность населения города Nна 20% превышает числен­ность населения города М. На сколько процентов число жителей го­рода М меньше числа жителей города N?

593. В одном бидоне x л, а в другом - у л молока. а) Что означают выражения х + у, х - у, х + 3, у - 2? б) Что означают равенства х + у = 90, х + 5 = у, х = у - 3?

594. В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5 л, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первона­чально? Решите задачу алгебраическим способом. Оформите решение так, чтобы было понятно, как получилось уравнение. Проверьте себя. Пусть х л - количество молока, которое было до переливания во втором бидоне. Тогда в первом бидоне его было 3х л. После переливания в первом бидоне осталось (3х - 5) л молока, а во втором стало (х + 5) л. Зная, что после переливания в обоих бидонах молока стало по­ровну, составим уравнение: 3х - 5 = х + 5. Эту часть рассуждений при решении задачи называют состав­лением математической модели. На этом этапе переводят текст задачи с обыденного языка на математический язык. В результате получают математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Такой математической моделью и является составленное уравнение. После этого приступают ко второму этапу, который на­зывают работой с математической моделью. На этом этапе нам надо решить составленное уравнение 3х - 5 = х –bРешение: 3х - х = 5 4- 5, 2х = 10, х = 5. Уравнение решено, теперь надо приступить к третьему этапу - ответу на вопрос задачи. Мы получили х = 5, а за х было принято количество молока (в литрах), которое было во втором бидоне. Итак, во втором бидоне было 5 л молока. По условию задачи в первом бидоне молока было в 3 раза больше, значит, в первом бидоне было 3 • 5 = 15 л молока. Ответ: в одном бидоне было 5 л, а в другом - 15 л молока. Можно записать решение короче. I. Составление математической модели. Зная, что молока в бидонах стало поровну, составим уравнение: 3х - 5 = х + 5. Работа с математической моделью. 3х - х = 5 + 5, 2х - 10, х = 5. Ответ на вопрос задачи. 3 • 5 = 15 (л) - количество молока в первом бидоне. Ответ: 15 л, 5 л. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурсы № 28, 29.

595. На одной автостоянке было в 4 раза меньше машин, чем на другой. Когда со второй стоянки на первую перевели 12 автомоби­лей, машин на стоянках стало поровну. Сколько машин было на каждой стоянке первоначально?

596. Одна скважина на 3,4 м глубже другой. Если глубину первой скважины увеличить на 21,6 м, а второй - в 3 раза, то обе сква­жины будут иметь одинаковую глубину. Найдите глубину каждой скважины.

597. У двух братьев поровну орехов. Если старший брат отдаст младшему 10 орехов, то орехов у него станет в 5 раз меньше, чем у младшего. Сколько орехов у каждого брата?

598. В одной пачке в 4 раза больше тетрадей, чем в другой. Когда из первой пачки взяли 7 тетрадей, а во вторую положили 17, тетра­дей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было в обеих пачках первоначально?

599. Автобус и грузовая машина, скорость которой на 15 км/ч боль­ше скорости автобуса, выехали одновременно навстречу друг дру­гу из двух городов, расстояние между которыми 455 км. Найдите скорости автобуса и грузовика, если известно, что они встретились через 2,6 часа после выезда.

600. Расстояние между пунктами А  и  В  автомобиль проехал за 1,2 часа, а автобус за 2,1 часа. Найдите скорость каждой машины, если автомобиль двигался на 30 км/ч быстрее, чем автобус.

601. Маша, Юля, Лена и Таня варили варенье из абрикосов. У Лены варенья получилось на 0,2 кг больше, чем у Тани, а у Юли и Маши поровну, но в 2 раза больше, чем у Лены, и на 1,8 кг больше, чем у Тани. Сколько варенья получилось у каждой девочки?

602. В классной комнате стоят парты. Если за каждую парту поса­дить по одному ученику, то семи ученикам не хватит места, а если посадить по 2 ученика, то 5 парт останутся свободными. Определите число парт и число учеников в классе.

603. В пакете лежат конфеты. Если детям раздать по 5 конфет каж­дому, то двоим конфет не достанется, а если раздать по 4 конфеты, то в пакете останется ещё 17 конфет. Сколько конфет в пакете?

604. 604-606 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (л;; у) на координатной плоскости. у = -4x + 3

605. 604-606 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (л;; у) на координатной плоскости. у = 8 + 3х.

606. 604-606 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (л;; у) на координатной плоскости. y = -6x - 1

607. Решите уравнение: а) 3(х - 7) - (9 - 2х) = 2(12 - х) - (х - 10); б) 4(2 - 3х) - 2(9х - 8) = 15(1 - х) + 3(4 - х); в) 7(3 - х) - 3(х - 4) = 5(3 + 2х) - 2(-3 - 2х); г) 4(х - 16) - (8 - х) = 10(х + 1) - 2(15 + 8х).

608. Решите уравнение: а) 4(0,6х - 0,3) - 3(0,7х - 0,1) = 0; б) 5(0,14 - 0,23х) + 3(0,Зх + 0,1) = 0; в) 0,6(х - 1) - (х + 1) = 0; г) 5(0,16х + 0,33) - (3 - х) = 0.

609. а) Для организации коммерческой деятельности предпринима­тель взял ссуду в банке под 10% в месяц в размере 60 тыс. р. и приобрёл на эти деньги по оптовой цене товар. Товар был распродан в течение месяца по розничной цене. Какую выручку получил предприниматель после реализации то­вара, если розничная цена выше оптовой на 60 % ? Найдите доход предпринимателя, если расходы на реализацию товара (аренда помещения, транспорт и т.д.) составляют 10% от выручки. Какую сумму предприниматель заплатит в пенсионный фонд, если отчисления в этот фонд с предпринимательского дохода (ПД) составляют 5 % (ПД = выручка - все расходы)? Найдите сумму чистой прибыли предпринимателя. Смог бы предприниматель расплатиться с банком, если бы ему за месяц удалось продать только половину приобретённого товара? На какую сумму предпринимателю необходимо продать товар, чтобы расплатиться с банком (не забудьте о расходах на реали­зацию)? б) Банки принимают денежные вклады от населения на различных условиях. Например, один банк начисляет 0,16% ежемесячно с суммы предыдущего месяца (если сумма первоначального вклада со­ставляла 1000 р., то через месяц она будет равна 1000 + 0,0016 • 1000 = 1001,6, ещё через месяц: 1001,6 + 0,0016 • 1001,6 = 1003,20 и т. д.). Другой банк начисляет 2% годовых. На каком из вкладов через год окажется больше денег, если первоначальные вклады были одина­ковыми?

610. Вычислите:

611. Решите уравнение:

612. В рукописи 50 страниц. За день машинистка перепечатала - рукописи. Сколько страниц перепечата­ла машинистка? Ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое в первой задаче, какая - во второй? В какой из задач эта величина известна, а в какой - нет? В какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? Можно ли сказать, что это взаимно обратные задачи? Ответ по­ясните. Проверьте себя. В обеих задачах за целое принято число страниц рукописи. В первой задаче целое известно - это 50 страниц, а во второй целое неизвестно. В первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй целое по его части. Эти задачи взаимно обратные, так как в их условиях извест­ные и искомые величины меняются местами. Теперь, когда мы знаем смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части мо­гут быть сформулированы так: чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части; чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствую­щее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь. Решение таких задач мы тоже будем записывать по-другому. Решение (№ 612). Целое: число всех страниц рукописи - известно (50 с.). Требуется найти часть от целого. Ответ: 20 страниц. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 30. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 18.

613. За день перепечатала машинистка 20 страниц, что составило - всей руко­писи. Сколько страниц в ру­кописи? Ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое в первой задаче, какая - во второй? В какой из задач эта величина известна, а в какой - нет? В какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? Можно ли сказать, что это взаимно обратные задачи? Ответ по­ясните. Проверьте себя. В обеих задачах за целое принято число страниц рукописи. В первой задаче целое известно - это 50 страниц, а во второй целое неизвестно. В первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй целое по его части. Эти задачи взаимно обратные, так как в их условиях извест­ные и искомые величины меняются местами. Теперь, когда мы знаем смысл умножения и деления числа на дробь, правила отыскания части от целого и целого по его части мо­гут быть сформулированы так: чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части; чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствую­щее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь. Решение таких задач мы тоже будем записывать по-другому. Решение (№ 613). Целое: число всех страниц рукописи - неизвестно. Требуется найти целое по его части. Ответ: 50 страниц. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 30. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 18.

614. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Длина туристического маршрута - 84 км. В первый день ту­ристы прошли всего пути. Какое расстояние прошли туристы в первый день?

615. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Во время ремонта за укладку кафельной плитки было уплачено 265 р., что составило - стоимости ремонта кухни. Сколько денег было уплачено за ремонт кухни?

616. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. В коллекции энтомолога 48 бабочек, что составляет - числа насекомых всей коллекции. Сколько насекомых в коллекции энто­молога?

617. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Таня готовилась к школьной математической олимпиаде в течение месяца. За это время она решила 135 задач. За первые дней она решила числа этих задач. Сколько задач решила Таня за первые 10 дней подготовки к олимпиаде?

618. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. В школе учатся 480 детей, из них - мальчики. Сколько мальчиков и сколько девочек учатся в школе?

619. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Сколько стоят два с половиной килограмма орехов, если ^ кг орехов стоит 23 р.?

620. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Турист планировал пройти за первые три дня - всего маршрута. Тогда ему осталось бы преодолеть 27 км. Какова длина всего маршрута, который планировал пройти турист?

621. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. В сахарной свёкле содержится части (по массе) сахара.  Определите, сколько сахара содержится в 570 ц сахарной свёклы.

622. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. В книге 240 страниц. Коля прочитал 0,8 книги. Сколько стра­ниц прочитал Коля?

623. Прочитайте задачи № 614-623 и ответьте на вопросы: Какая величина принята за целое? Известна ли эта величина? Что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его ча­сти? После этого приступайте к решению данных задач. Во время игры в «Тетрис» Антон набрал 360 000 очков, что со­ставило 0,8 того количества очков, которое набрал Максим. Сколько очков набрал Максим?

624. Сколько получится муки из 15,2 т пшеницы, если масса муки составляет 80% массы зерна?

625. Мясо теряет при варке 35% своего веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы получить 520 г варёного?

626. Найдите 2 способа решения задачи: «В бочке 300 л бензина. За неделю было израсходовано 40% этого количества. Сколько лит­ров бензина осталось в бочке?» Измените вопрос задачи так, чтобы она решалась в одно действие. Измените условие задачи так, чтобы она решалась в одно действие.

627. После того как поезд прошёл 70% расстояния между городами, ему осталось пройти ещё 255 км. Определите расстояние, которое прошёл поезд.

628. Магазин приобрёл для продажи 500 кг сахарного песка. В пер­вый день было продано 34% этого количества, а во второй - 60% остатка. Какое количество сахарного песка было продано за два дня?

629. По первой накладной со склада было выдано 0,7 имевшегося кирпича, а по второй - 0,4 остатка, после чего кирпича на складе осталось 5850 штук. Какое количество кирпича было на складе первоначально?

630. У Максима было 50 компакт-дисков с играми. На время кани­кул он дал Антону 0,3 этого количества, а Вадиму - 0,4 остатка. Сколько дисков осталось у Максима?

631. На дискете записана информация в трёх файлах. На первый файл приходится 30% всего объёма информации, на второй - 30% остатка, а объём третьего файла - 539 Кб. Найдите объём информа­ции, записанной на дискету.

632. Во время гонок по бездорожью 0,2 всего пути автомобиль дви­гался со скоростью 64 км/ч, 15% всего пути - со скоростью 60 км/ч, а остальные 260 км - со скоростью 52 км/ч. Найдите длину дис­танции и время, за которое она была пройдена автомобилем. Какой была средняя скорость автомобиля на этой дистанции?

633. Пассажирский поезд, двигаясь со скоростью 90 км/ч, за 3 ч проходит 75% расстояния между городами. Какова средняя ско­рость пассажирского поезда, если весь путь между этими городами он проходит за 4,5 ч? Найдите среднюю скорость товарного поезда, если этот же путь занимает у него 6 ч.

634. а) Площадь кухни 12 м², а площадь квартиры составляет площади кухни. Найдите площадь квартиры. б) Набор инструментов для домашней мастерской стоит 2780 р., что составляет стоимости ручной дрели. Определите стоимость дрели. Решая задачу 634 а), мы использовали правило отыскания части от целого, хотя за целое принята площадь кухни, которая меньше площади квартиры, а в решении задачи 634 б) использовали правило отыскания це­лого по его части, хотя за целое принята стоимость дрели, которая дешев­ле, чем весь набор. В таких случаях не принято говорить, что находят часть целого или целое по его части. Здесь используется другая терминология: отыскание дроби числа или числа по его дроби.

635. Трое студентов получили стипендию. Первый получил 0,9 той суммы, которую получил второй, и ещё 25 р., а третий студент по­лучил 0,95 той суммы, которую получил второй, и ещё 15 р. Сколько денег получил каждый студент, если известно, что первый и третий получили поровну?

636. В цистерне 42 т бензина. Вначале из неё откачали у всего бензина, затем 40 % оставшегося в ней бензина, а затем gнового остатка. Сколько бензина осталось в цистерне?

637. а) В первый день магазин продал ^ всех овощей, во второй - остатка, а в третий день - остальные 196 кг. Сколько килограм­мов овощей было в магазине первоначально? б) Самое высокое сооружение в мире - телевизионная баш­ня в Торонто, её высота - 553,33 м. Немного ниже Останкинская телебашня, её высота составляет примерно 97,6% высоты башни в Торонто. Определите высоту Шаболовской телебашни (башни Шу­хова), зная, что её высота примерно на 72,538% меньше высоты Останкинской телебашни (ответ округлите до единиц).

638. Вычислите:

639. Вычислите: a) 0,78 • 1,9 - 3,14 • 2,65; б) (13 - 12,47) • 0,8 • (-19); в) (16,97 + 25,84) • (-35,55 :  4,5); r) (5,48 + 8,02) : ((-12,87 - 5,73) : 3,72).

640. Решите уравнение:

641. В № 641-644 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (д:; у) на координатной плоско­сти. Укажите координаты точек, симметричных отмеченным: а) относительно начала координат; б) относительно оси ординат; в) относительно оси абсцисс. y = 0.5х

642. В № 641-644 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (д:; у) на координатной плоско­сти. Укажите координаты точек, симметричных отмеченным: а) относительно начала координат; б) относительно оси ординат; в) относительно оси абсцисс. y = -0.5х

643. В № 641-644 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (д:; у) на координатной плоско­сти. Укажите координаты точек, симметричных отмеченным: а) относительно начала координат; б) относительно оси ординат; в) относительно оси абсцисс. y = 1/3х

644. В № 641-644 найдите значение у по данному значению х, заполните таблицу и отметьте точки с координатами (д:; у) на координатной плоско­сти. Укажите координаты точек, симметричных отмеченным: а) относительно начала координат; б) относительно оси ординат; в) относительно оси абсцисс. y = -1/3х

645. В 200 г раствора содержится 8 г соли. Определите процент содер­жания (говорят также «процентное содержание») соли в растворе.

646. Какой процент от 15 т составляют 420 кг; 1,2 т; 150 кг?

647. а) Из 225 кг руды можно получить 34,5 кг меди. Каково про­центное содержание меди в руде? б) Из 105 посеянных семян взошли 98. Определите процент всхожести семян.

648. По рисунку 87, а определите длину внутренней и внешней окруж­ностей колеса, если изображение сделано в масштабе 1:20 (п 3,14). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 31.

649. Измерьте диаметр окружности (рис. 88) и найдите её длину по формуле С = пD (п = 3,14).

650. Измерьте радиус окружности формуле С = 2пR (п ~ 3,14). Рассмотрите рисунок 90. Он поможет вам вспомнить, как найти центр окружности, если он не обозначен, используя следующие свойства: а) если вершина угла лежит на окружности, а стороны проходят через концы диаметра, то этот угол прямой; б) точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 32.

651. Найдите центр окружности, используя свойство прямого уг­ла (рис. 91), измерьте диаметр и вычислите длину окружности.

652. Найдите центр окружности, используя свойство серединно­го перпендикуляра (рис. 92), измерьте радиус и вычислите длину окружности. Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 19.

653. Начертите на отдельном листе бумаги окружность, исполь­зуя какой-нибудь предмет - тарелку, блюдце или чашку. Найдите центр окружности удобным для вас способом и вычислите её длину.

654. Полагая, что п ~ 3,14, определите диаметр окружности, длина которой равна: а) 4,71 м; б) 0,785 м; в) 54,95 см; г) 0,2669 см.

655. Полагая, что п ~ 3,14, определите радиус окружности, длина ко­торой равна: а) 10,833 м; б) 6,5312 дм; в) 18,8557 км; г) 0,0157 см.

656. Определите диаметр окружности, длина которой равна: а) 7п м; б) 9п см; в) 0,75п км; г) 3,14п см.

657. Определите радиус окружности, длина которой равна: а) 8п м; б) 5п м; в) 2п м; г) п м.

658. Как изменится длина окружности, если её радиус увеличить: а) в 2 раза; б) на 2 см; в) в 5 раз; г) на 5 см?

659. Представьте число в виде десятичной дроби:

660. 1) Представьте число в виде обыкновенной дроби или смешан­ного числа: а) 0,75; 2,5; 7,5; 0,025; 2,38; 0,64; 0,2; 1,6; б) 1,08; 0,004; 2,05; 0,0045; 2,04; 0,008; 7,02; 0,005. 2) Вычислите: а) - 1,75; б) + 0,75; в) - 0,8; г) 0,04 +

661. Вычислите:

662. Вычислите:

663. Вычислите:

664. Вычислите:

665. Найдите произведение числа 33 и суммы чисел

666. Вычислите произведение суммы и разности чисел

667. В трёх мешках было поровну крупы. После того как из каждо­го мешка было продано по 8 кг крупы, во всех трёх мешках оста­лось столько крупы, сколько её было в одном мешке первоначально. Сколько килограммов крупы было в трёх мешках первоначально?

668. Вычислите:

669. Определите, сколько осей симметрии имеет фигура (рис. 93)

670. Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называют правильным. Правильный многоугольник можно разрезать на равные треугольники (рис. 94). Используя то, что на каждом рисунке в одном из треугольников проведена высота, найдите площадь соответствую­щего многоугольника.

671. Рассмотрите рисунок 95. Здесь вершины правильных многоугольников расположены на окружностях. Подумайте, на каком рисунке периметр многоугольника меньше всего отли­чается от длины соответствующей окружности, а на каком - больше всего. Как изменяется разность длины окружности и периметра, если число сто­рон многоугольника увеличивать? уменьшать? Сравните высоту треугольника hс радиусом Rв каждом случае. В каком случае разница между длинами hи Rнаименьшая; в каком - наиболь­шая? Что происходит с высотой, если число сторон многоугольника увели­чивается? Проверьте себя. Периметр 12-угольника (г) меньше всего отличается от длины окруж­ности, а больше всего отличается от длины окружности периметр пяти­угольника (а). Если число сторон правильного многоугольника увеличи­вать, то его периметр будет всё меньше и меньше отличаться от длины окружности. Если же число сторон многоугольника уменьшать, то его пе­риметр будет уменьшаться, а разность между длиной окружности и пери­метром будет увеличиваться. Высота треугольника hпри увеличении чис­ла сторон многоугольника всё меньше и меньше отличается от радиуса соответствующей окружности.

672. Отметьте точку М и проведите через неё 4 окружности радиу­сом 2 см так, чтобы их центры являлись вершинами квадрата.

673. Отметьте точку М и проведите через неё 8 ок­ружностей радиусом 3 см так, чтобы их центры являлись вершинами правильного восьмиугольника. (Подсказка: восьмиугольник удобно располо­жить так, как показано на рисунке 96.)

674. Решите уравнение: а) 2(х + 5) - (х + 25) = 0; в) 5(x + 7) - 6(x + 6) = 0; б) 3(х - 11) - 4(х - 10) = 0; г) 6(2x - 3) - 4(3х - 8) = 0.

675. Найдите площадь круга, радиус которого равен: а) 3 см; б) 5 м; в) 7 м; г) 1,2 см. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 33.

676. Найдите площадь круга, если его диаметр равен: а) 0,8 см; б) 1,8 м; в) 2,6 см; г) 1,1 м.

677. Определите радиус круга, площадь которого равна: а) 12,56 см²; в) 2,5434 см²; д) 78,5 дм²; б) 1,1304 м²; г) 153,86 м²; е) 28,26 мм². Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 20.

678. Площадь круга равна: а) 28,26 см²; б) 113,04 см²; в) 0,5024 дм²; г) 78,5 см². Изобразите этот круг, проведите диаметр, радиус и укажите их длины.

679. Выполните необходимые измерения и найдите площадь фигуры (рис. 100).

680. Выполните необходимые измерения и найдите площадь закра­шенной части фигуры (рис. 101).

681. Считая п равным 3у, вычислите, какое расстояние пройдёт колесо, диаметр которого 1 - м, если оно совершит: а) один оборот; в) полтора оборота; б) два оборота; г) четверть оборота.

682. Найдите значение числового выражения:

683. Найдите значение числового выражения:

684. Найдите значение числового выражения:

685. Дано четыре числа: Запишите следующие выражения и вычислите их значения: а) сумма разности двух первых чисел и разности двух послед­них чисел; б) разность суммы двух первых чисел и суммы двух последних чисел; в) частное разности двух первых чисел и разности двух послед­них чисел; г) частное произведения двух первых чисел и суммы двух по­следних чисел.

686. Вычислите

687. Решите уравнение: а) 10(1/ - 2) = 9(у - 6); в) 7(3у - 5) = -10(3 - 2у); б) -5(5 - 3у) = 16(у - 3); г) 14(3у - 2) = -7(4 - 6у).

688. Вода при замерзании увеличивается в объёме на часть. На какую часть своего объёма уменьшается лёд при превращении в воду?

689. 689. В урожайное время года (осенью) цены на овощи понизились в среднем на 50%, а к зиме они повысились на 10% по сравнению с прошлогодними ценами. На сколько процентов подорожали овощи по сравнению с осенью?

690. Найдите объём шара, если его радиус равен:

691. Чему равен радиус шара, если его объём равен:

692. Вычислите площадь сферы, если её радиус равен:

693. Вычислите:

694. Решите уравнение:

695. От потолка комнаты вертикально вниз по стене одновременно поползли две мухи. Спустившись до пола, каждая поползла обрат­но. Первая муха ползла всё время с постоянной скоростью, а вторая поднималась вдвое медленнее, а спускалась вдвое быстрее первой. Какая муха быстрее приползла обратно?

696. Вычислите:

697. Представьте число в виде обыкновенной дроби:  а) 0,75; б) 3,4; в) 0,125; г) 2,35.

698. Представьте число в виде обыкновенной дроби:  а) 0,25; б) 1,6; в) 0,375; г) 4,8.

699. Представьте число в виде обыкновенной дроби:  а) 0,2; б) 0,8; в) 2,34; г) 1,95.

700. Представьте число в виде обыкновенной дроби:  а) 0,5; б) 2,3; в) 0,625; г) 1,38.

701. Вычислите:

702. Вычислите:

703. Для украшения праздничного зала приобрели 35 гвоздик, из которых были сделаны одинаковые по числу цветов букеты. Ответь­те на вопросы и выполните задания: а) Могли ли сделать 5 одинаковых букетов; 12 одинаковых букетов? б) Найдите возможные варианты количества букетов, заполнив следующую таблицу: Количество одинаковых букетов - это число, на которое 35 де­лится без остатка, т. е. нацело. Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое называют крат­ным второму, а второе - делителем первого. Таким образом, если а и b- натуральные числа и а делится на bнацело, то а кратно b, а b- делитель а. Например, из того, что 45 : 9 = 5, следует, что 45 кратно 9, а 9 - делитель числа 45. Вместо фразы: «а делится нацело на b» - часто используют запись aib.Например, вместо очевидных утверждений: «а делится на а» или «а делится на 1» - можно писать а : а или ail.Ясно, что если а : b, то а > b. Обратите внимание, что запись 8 : 2 означает требование выполнить де­ление числа 8 на число 2 (в результате этой операции получится число 4), в то время как запись 8 : 2 означает, что число 8 делится на 2 (как уже было сказано выше, делится нацело, делится без остатка) и речь идёт лишь о принципиальной возможности выполнить деление, а само деление выполнять не требуется. Примерно так же обстоит дело со знаком «>». Если написано 8 > 2, то это лишь констатация факта: число 8 больше числа 2; при этом отвечать на вопрос на сколько больше не требуется. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 35.

704. 1) Укажите все делители числа 45, запишите соответствующие равенства. 2) Укажите числа, которым кратно число 45. Что вы заметили?

705. а) Из чисел 2, 4, 16, 20, 24, 26, 40, 45, 88, 100 выберите крат­ные 8. б) Из чисел 2, 5, 7, 15, 11, 14 выберите те, которые являются делителями числа 462.

706. а) Из чисел 7, 14, 17, 28, 34, 56 выберите кратные 14. б) Из чисел 2, 7, 15, 30, 50, 60 выберите те, которые являются делителями числа 270.

707. 1) Какие из следующих чисел кратны 12: 6, 12, 24, 30, 48, 60, 120? Запишите ещё три каких-нибудь числа, кратных 12. Из данных чисел выберите те, которые кратны 15: 5, 30, 50, 60, 75, 90, 120, 150. Запишите ещё три каких-нибудь числа, кратных 15. Из ответов к предыдущим заданиям выберите числа, кото­рые одновременно являются кратными для чисел 12 и 15. Укажите наименьшее из них.

708. Вычислите: Общий знаменатель, который мы находим, складывая или вы­читая дроби с разными знаменателями, является кратным каждого из знаменателей, или, как говорят, общим кратным знаменателей. Для того чтобы не усложнять вычислений, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей. Наименьшее общее кратное чисел тип принято обозначать НОК (т; n).

709. Укажите: а) НОК (8; 12); б) НОК (9; 15).

710. Вычислите:

711. Определите, не вычисляя, является ли число 2 • 3 • 3 • 5 крат­ным числам а, b, с и d, если а = 2 • 3, b = 2 • 2, с = 3 • 5, d = 5 • 7.

712. Для данного множества чисел А определите, являются ли все элементы множества кратными какому-нибудь натуральному числу, отличному от 1: а) А = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}; б) А = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; в) А = {75, 80, 85, 90, 95, 100, 105}; г) А = {148, 248, 348, 448, 548, 648}.

713. В коробке лежат карандаши. Число их больше 200, но меньше 300. Сколько карандашей в коробке, если известно, что там содер­жится целое число десятков и целое число дюжин?

714. Три теплохода совершают рейсы из одного и того же порта. Первый теплоход возвращается из рейса через 6 дней после выхода, второй - через 5 дней и третий - через 10. Через какое ближай­шее время встретятся в порту первый теплоход со вторым, второй с третьим и три теплохода вместе, если все они вышли из порта одно­временно?

715. 715. Вдоль дороги через каждые 45 м стоят столбы. Их решили за­менить другими, увеличив расстояние между столбами до 60 м. На каком расстоянии от первого столба новый столб установят на то же место, где стоял старый?

716. Используя равенства 204 = 6 • 34 и 209 = 6-34 + 5, найдите значения выражений 204 : 6 и 209 : 6. Ответьте на вопросы: Является ли число 6 делителем числа 204; числа 209? Существует ли натуральное число kтакое, что 6 • k= 204? Существует ли натуральное число п такое, что 6 • п = 209? Пусть тип - натуральные числа. Справедливо ли утверж­дение: если т - делитель п, то существует такое натуральное число k, что п = т • k? Делителем числа п является такое число т, на которое п делит­ся нацело. Определение делителя можно сформулировать так: пусть пит - натуральные числа, тогда т - делитель п, если существует такое натуральное число k, что п = т • k. Например, 5 - делитель числа 120, так как 120 = 5 • 24; 13 - делитель числа 39, так как 39 = 13 • 3.

717. Используя определение делителя, докажите, что: а) 38 - делитель числа 19 228; б) число 11 523 кратно 23; в) 29 не является делителем числа 6033; г) число 49 348 не кратно 61. Проверьте себя. а) Имеем: 19 228 : 38 = 506. Значит, 19 228 = 38 • 506, т. е. суще­ствует число kтакое, что 19 228 = 38 • k(в данном случае k= 506). Итак, 38 - делитель числа 19 228; б) а кратно b, если b- делитель а; рассуждая так же, как в пре­дыдущем пункте, можно доказать, что 23 - делитель числа 11 523.

718. Докажите, что: а) каждое натуральное число является для себя и делителем, и кратным; б) если а делится на b, а b делится на с, то а делится на с.

719. а) Какое число является делителем любого натурального числа? б) Может ли число иметь только 2 делителя? в) Какое число имеет только 1 делитель? г) Какое число является наибольшим делителем для натураль­ного числа п, какое - наименьшим?

720. В качестве подарков для участников школьного конкурса рисун­ков приобрели 28 коробок гуаши и 42 кисти, из которых составили одинаковые наборы. Ответьте на вопросы и выполните задания. а) Могли ли составить 7 одинаковых наборов; 10 одинаковых наборов? б) Найдите возможные варианты наборов, заполнив следую­щую таблицу: в) Может ли количество таких наборов быть больше четырнад­цати? Решая задачу, вы заметили, что количество одинаковых наборов - это число, которое одновременно является делителем чисел 42 и 28. Числа, которые одновременно являются делителями некоторых чисел, называются их общими делителями. Наибольший общий делитель чисел тип обозначают НОД (т; п). Так, НОД (28; 42) = 14. В задаче о наборах это означает, что наиболь­шее количество одинаковых наборов, которые можно составить из 28 коробок гуаши и 42 кистей, равно 14. Если же надо сократить дробь то удобнее всего её числитель и знаменатель разделить сразу на 14. В результате получится несократимая дробь: Подумайте, может ли получиться сократимая дробь, если её чис­литель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 36.

721. а) Найдите все делители числа 48; числа 60; б) выпишите общие делители чисел 48 и 60; в) укажите НОД (48; 60); г) сократите дробь

722. 1) Запишите все общие делители чисел: а) 36 и 45; б) 24 и 30; в) 50 и 75; г) 90 и 96. 2) Найдите: а) НОД (36; 45); в) НОД (50; 75); б) НОД (24; 30); г) НОД (90; 96).

723. Сократите дробь:

724. Найдите НОД (15; 25; 45), НОД (22; 44; 33), НОД (13; 27; 29).

725. а) Найдите НОД (221; 247). б) Сократите дробь При решении последней задачи на отыскание первого делителя . каждого из чисел ушло довольно много времени. Если бы вам были известны какие-либо признаки, по которым можно было бы сразу определять, является число делителем или нет, то вы могли бы ре­шать такие задачи гораздо быстрее. В дальнейшем мы рассмотрим различные признаки делимости натуральных чисел. При этом под термином «число» будем подразумевать натуральное число, а под термином «делится» - делится нацело.

726. Найдите значение выражения:

727. Найдите значение выражения:

728. Найдите значение выражения:

729. Каждое ребро куба увеличили на 40%. На сколько процентов увеличился объём куба? На сколько процентов увеличилась пло­щадь его поверхности?

730. За 6 одинаковых учебников заплатили на 42 р. больше, чем за 5 одинаковых тетрадей. Учебник на 3 р. дороже тетради. Опреде­лите цену учебника и тетради.

731. Для туристического лагеря купили комплекты снаряжения двух видов - по 90 р. и по 120 р. за комплект - на сумму 2100 р. Сколько купили тех и других комплектов, если первых было на 14 больше, чем вторых?

732. Найдите целые числа, удовлетворяющие неравенству:

733. Отправившись в лес за грибами, Юра собирал только белые грибы, подберёзовики и лисички. Всего Юра собрал 36 грибов. Сколько белых грибов собрал Юра, если их было в два раза меньше, чем подберёзовиков, а подберёзовиков было в три раза меньше, чем лисичек?

734. С13до17чв понедельник группа фотографов будет делать ин­дивидуальные фотографии 600 студентов. Сколько фотографов не­обходимо пригласить, если на фотографирование каждого студента требуется 2 минуты?

735. Каково наименьшее натуральное число, 20% которого больше, чем 1,2?

736. х - натуральное число из интервала (2; 6), а у - натуральное число из интервала (6; 9). Что больше, х или у?

737. Из отрезка [1; 3] выбирают натуральное число а. Из интервала (45; 52) выбирают натуральное число с. Сколько существует комби­наций (а; с) таких, что а - делитель с?

738. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить на 150%? Как сформулировать эту задачу, не ис­пользуя слово «процент»?

739. а) Таня купила книгу в магазине, в котором продаются только детективы и книги о животных. Какие из следующих утверждений заведомо верны: эта книга - детектив; эта книга о животных; эта книга не словарь; эта книга не детектив Агаты Кристи; эта книга не о животных Африки? б) Опыт состоит в том, что между числами 102 и 115 наугад выбирается число п. Охарактеризуйте каждое событие как достовер­ное, невозможное или случайное:  п кратно 10; • п кратно 20;  п кратно 12; • п кратно 1.

740. В следующих заданиях ответьте на вопросы, не выполняя вычислений. В книжный магазин привезли 53 упаковки книг по 18 штук в каждой. Можно ли эти книги распределить поровну между тремя продавцами?

741. В следующих заданиях ответьте на вопросы, не выполняя вычислений. К празднику организация приобрела 3 упаковки роз по 125 штук в каждой упаковке. Можно ли сделать 25 одинаковых буке­тов, используя все эти цветы?

742. В следующих заданиях ответьте на вопросы, не выполняя вычислений. Родители купили для школьного праздника 21 коробку конфет по 55 конфет в каждой. Можно ли их распределить поровну между учащимися шестых классов, если в них учатся 77 человек? Проверьте свои ответы, выполнив вычисления.

743. В следующих заданиях ответьте на вопросы, не выполняя вычислений. Справедливы ли следующие утверждения: произведение 24-73 делится на 3; произведение 25 • 58 делится на 5; произведение 11-21-63 делится на 77; если ни один из множителей не делится на некоторое число, то и произведение не делится на это число; если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число? Ответы объясните. Обоснования ответов по первым четырём утверждениям наверняка не вызвали у вас затруднений. Что касается последнего, то здесь для обоснования привести конкретные примеры недостаточно. Если вы предположили, что какое-либо утверждение справедливо всегда, необходимо провести рассуждения, которые покажут, что это утверждение верно для любых, а не только для каких-то кон­кретных чисел. Обычно в этих случаях числа обозначают буквами. Постарайтесь доказать утверждение 5) в буквенной форме. Проверьте себя. Рассмотрим произведение чисел а и b: ab.Докажем, что если а делится на некоторое число с, то abтакже делится на это число. В самом деле, если а делится на некоторое число с, значит, су­ществует число kтакое, что а = kc,значит, ab= kc• b = с • (kb), т. е. существует такое число kb,что ab= с • (kb),следовательно, abделится на с. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 37.

744. Не выполняя вычислений, укажите выражения, значения ко­торых а) кратны 3: б) кратны 5: в) кратны 7: г) кратны 12

745. Разделите на 5 произведение: а) 15 • 18; б) 25 • 31; в) 94 • 30; г) 98 • 75 • 34.

746. Разделите на 12 произведение: а) 12 • 7 • 19; в) 3 • 4 • 76; д) 4 • 30 • 19; б) 24 • 5 • 17; г) 64 -48 -5; е) 2 • 66 • 7. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 38.

747. Покажите, что данные дроби можно сократить: а) на 9: б) на 8:

748. Сократите дробь: Итак, в этом параграфе мы познакомились с признаком делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число то и произведение делится на это число.

749. В упражнениях № 749-752 предполагается, что все переменные натуральные числа. Найдите частное: а) (15ху) : 5; б) (18аЬ) : 18; в) (28хуг) : 7; г) (54abc) : 54; д) (35mn) : т; е) (41 cd): 41; ж) (3mnk): п; з) (72yz): 9; и) (18ab): 18; к) (34ху) : х; л) (81cd) : d; м) (99pq): 11.

750. В упражнениях № 749-752 предполагается, что все переменные натуральные числа. а) Покажите, что произведение 24abделится на 6а; 8b; 12ab. б) Покажите, что произведение 42ху делится на 7у; 3х; 6ху. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 39.

751. В упражнениях № 749-752 предполагается, что все переменные натуральные числа. Выполните деление: а) (12ху) : (2х); в) (45тп) : (5n); б) (14аb) : (7b); г) (24cd): (6d); д) (35xу) : (5у); е) (49m) : (7m).

752. В упражнениях № 749-752 предполагается, что все переменные натуральные числа. Запишите все делители произведений 6ab; 8xyz.

753. Найдите: а) НОК (6; 15); б) НОК (24; 18).

754. Вычислите:

755. Вычислите:

756. Вычислите:

757. Вычислите:

758. Вычислите:

759. Вычислите:

760. Длина комнаты на 2,39 м больше её ширины, а её периметр равен 14,06 м. Найдите площадь комнаты.

761. В двух корзинах лежало 84 яблока. Когда из первой корзины переложили во вторую 15 яблок, то во второй корзине яблок оказа­лось в 3 раза больше, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине до перекладывания?

762. В двух ящиках было 240 пачек чая. После того как из первого ящика переложили во второй 20 пачек, в первом осталось в 4 раза больше пачек, чем стало во втором. Сколько пачек чая было в каж­дом ящике первоначально?

763. Аля, Соня и Катя съели п конфет. Сколько конфет съела Катя, если Соня съела в два раза больше конфет, чем Катя, а Аля съела в два раза больше конфет, чем Соня?

764. Сколько процентов число 3/4 составляет от числа: а) 1; 6)2; в) 3;

765. Для любого натурального п определим пА как сумму всех на­туральных чисел от 1 до п включительно. Например, 3 = 1 + 2 + 3 = 6. Найдите k, если 10 - 9 = k.

766. Число х равно сумме первых 20 натуральных чисел, а у равно сумме первых 10 натуральных чисел. Сравните х - у и 100.

767. Сумма первого и последнего из 5 последовательных натураль­ных чисел равна 24. Чему равна сумма всех 5 чисел?

768. Ответьте на вопросы следующих четырёх задач, не выполняя вычис­лений. В одном пакете было 15 орехов, а в другом - 21 орех. Можно ли эти орехи поделить поровну между тремя друзьями?

769. Ответьте на вопросы следующих четырёх задач, не выполняя вычис­лений. Бригада из пяти человек заработала на строительстве дома в первую неделю 8500 р., а во вторую - 9100 р. Можно ли эти деньги поделить поровну между всеми членами бригады?

770. Ответьте на вопросы следующих четырёх задач, не выполняя вычис­лений. В одном букете было 15, а в другом - 19 роз. Можно ли эти розы поставить в три вазы так, чтобы цветов в вазах было поровну?

771. Ответьте на вопросы следующих четырёх задач, не выполняя вычис­лений. В одной коробке было 17 конфет, а в другой - 23 конфе­ты. Определите, можно ли эти конфеты разделить поровну между пятью гостями.

772. Верны ли следующие утверждения: а) если хотя бы одно слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число; б) если ни одно из слагаемых не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число; в) если каждое из слагаемых делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 40. Проверьте себя. Первые два утверждения не должны были вызвать у вас за­труднений. Чтобы доказать, что они неверны, достаточно привести контр пример. Скажем, 15 делится на 3, но 15 + 4 не делится на 3. Этот пример показывает, что утверждение а) неверно. Далее, 8 не делится на 3 и 7 не делится на 3, но их сумма (8 + 7), равная 15, делится на 3. Этот пример показывает, что утверждение б) неверно. В последнем утверждении надо доказать, что оно верно для лю­бых целых чисел. Рассуждать можно по-разному. Например, так: «Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то это чис­ло является их общим делителем. А значит, его как общий множи­тель можно вынести за скобки. Получившееся выражение делится на этот множитель, следовательно, и исходное выражение тоже на него делится». Обычно такие рассуждения проводят в буквенной форме. Если числа а и bделятся на m, то a + b = m- k + m- l = = m• (k+ 1). Мы получили выражение, которое делится на т, зна­чит, и исходное выражение тоже делится на т. Итак, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Это одно из свойств делимости. В краткой форме его можно записать так: Свойство 1. Если а : b и с : b, то (а + с) : b. Например, из того, что 12 : 3 и 21 : 3, можно сделать вывод, что (12 + 21): 3. Укажем некоторые другие свойства. Свойство 2. Если а :b и с не делится на b, то а - с не делится на b. Например, из того, что 12 :3 и 22 не делится на 3, можно сде­лать вывод, что 12 + 22 не делится на 3. В то же время из того, что каждое слагаемое не делится на b, нельзя сделать вывод, что и сумма не делится на b. Например, 14 не делится на 3 и 22 не делится на 3, но (14 + 22) • 3. Впрочем, об этом мы уже говорили выше. Свойства 1 и 2 верны для суммы любого конечного числа слага­емых, и их можно сформулировать следующим образом: если каж­дое слагаемое делится на число b, то и сумма делится на b; если каждое слагаемое, кроме одного, делится на b, то сумма не делится на b. Свойство 3. Если а : bи (а + с) : b, то с : b. Например, из того, что 12 : 3 и (12 + 21) : 3, можно сделать вы­вод, что 21 : 3. Свойство 4. Если а :с и с :b, то а : b. Например, из того, что 48 I 6 и б : 3, можно сделать вывод, что 48 : 3.

773. Представляя число в виде суммы, докажите, что: а) 777 777 делится на 7, на 77, на 11, на 777 и на 111; б) 99 999 делится на 3, на 9; в) 123 123 делится на 123; г) 111 333 делится на 111.

774. Докажите, что если числа а и Ъ делятся на т, то их разность тоже делится на т.

775. Верно ли, что если один из двух компонентов разности (умень­шаемое или вычитаемое) делится на некоторое число, а другой - нет, то разность на это число не делится?

776. Ответьте на вопросы задач № 776-779, не выполняя вычислений. Укажите, какие свойства делимости вы при этом используете. На одной полке 27 книг, а на другой - 18. Можно ли эти кни­ги расставить на три полки так, чтобы на всех полках книг стало поровну?

777. Ответьте на вопросы задач № 776-779, не выполняя вычислений. Укажите, какие свойства делимости вы при этом используете. На одном прогулочном катере 38 пассажиров, а на другом - 51. Можно ли перераспределить пассажиров так, чтобы на катерах их стало поровну?

778. Ответьте на вопросы задач № 776-779, не выполняя вычислений. Укажите, какие свойства делимости вы при этом используете. В школе 4 шестых класса. Учащиеся приобрели билеты на экс­курсию, причём в 6 «А» было приобретено 24 билета, в 6 «Б» - 16, в 6 «В» - 28 и в 6 «Г» - 32. Можно ли из всех этих ребят соста­вить 4 группы с одинаковым числом экскурсантов в каждой?

779. Ответьте на вопросы задач № 776-779, не выполняя вычислений. Укажите, какие свойства делимости вы при этом используете. В одном ящике 25 кассет, а в другом - 48. Можно ли эти кас­сеты разложить в коробки так, чтобы в каждой было по 5 кассет?

780. Укажите выражения, значения которых а) кратны 2: 24 + 18, 12 + 16, 25 + 1, 34 + 1, 8 + 19, 28 + 7, 43 + 7, + 16 + 56; б) кратны 3: + 33, 10-9 + 8, 12-5 + 15, 99-5 + 6-2 + 3, 27-8 + 45 + 1; в) кратны 5: 15 + 25, 16 + 24, 10 • 8 + 20, 100-3 + 10-7 + 8, • 30 + 43 • 45; г) кратны 7: + 35, 44 + 12, 25 + 35-2, 14 + 23, 7-15 + 42, 12 • 63 + 8 • 19.

781. Покажите, что данные дроби можно сократить: а) на 5: б) на 7:

782. Верно ли, что: а) если сумма делится на некоторое число, то и каждое слагае­мое делится на это число; б) если разность делится на некоторое число, то и уменьшае­мое, и вычитаемое делятся на это число; в) если натуральное число а делится на число b, то а можно представить в виде суммы натуральных чисел, в которой каждое слагаемое делится на b; г) если натуральное число а делится на число b, то а можно представить в виде разности натуральных чисел, каждое из которых делится на b? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 41.

783. Укажите три таких натуральных значения а, при которых сум­ма 28 + а: а) делится на 7; б) не делится на 7.

784. Укажите три таких натуральных значения х, при которых раз­ность 78 - х: а) делится на 2; б) не делится на 2.

785. Верно ли, что: а) 15 + 25 делится на 5; б) 250 - 68 делится на 25; в) 343 434 -I- 68 делится на 34; г) 210 210 210 - 84 делится на 21?

786. Верно ли, что: а) 360 - 40 делится на 2; д) 36 + 74 делится на 5; б) 540 + 95 делится на 10; е) 99 + 71 делится на 10; в) 4142 + 82 делится на 41; ж) 92 + 72 делится на 10; г) 4142 -I- 81 делится на 41; з) 37 + 45 делится на 2?

787. Верно ли, что: а) 391 : 3; б) 1001 • 9; в) 9975 ! 25; г) 7158 : 50?

788. Верно ли, что: а) 2754 : 9; б) 1008 : 9; в) 9946 : 27; г) 43 750 : 50?

789. Выполните действия:

790. Выполните деление: а) (25а + 15b) : 5; б) (16с - 12d) : 4; в) (18x + 6у) : 6; г) (72 - 56аb) : 8; д) (64х + 4) : 4; е) (9 - 99у) : 9.

791. Выполните деление: а) (51а - 18) : 3; б) (24а + 36) : 12; в) (40xy + 30) : 10; г) (14х - 28у) : 7; д) (12b - 6) : 6; е) (8b + 24) : 8.

792. К некоторому натуральному числу прибавили 5, результат умножили на 7 и произведение увеличили на 2. Может ли получиться 777 777?

793. Если т и п - натуральные числа и 5т + п = 33, то каким мо­жет быть m?

794. Если т и п - натуральные числа и 5т + 4п = 42, то каким может быть п?

795. Найдите: а) НОК (20; 30); б) НОК (14; 21).

796. Вычислите:

797. Сколько натуральных значений может принимать выражение, если 0 < х < 40?

798. Сколько целых значений может принимать данное выраже­ние, если х - целое число: Итак, в этом параграфе вы познакомились с признаками делимости суммы и разности чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число; если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое чис­ло, то и разность делится на это число.

799. Решите уравнение: а) 3(х - 2) = х + 2; в) 5(1 - х) = 2(х - 8); б) 2{х - 3) = 7(2 + х); г) 11(5 - 2х) = 3(х + 7).

800. Упростите выражение: а) 5х - (3 + 4x); в) 2(3у + 5) - 6(3 - 2у); б) -(2а + 7) - 5а; г) 5(6 - b) + 8(3b + 2).

801. На двух полках 36 книг. Если с нижней полки переложить 4 книги на верхнюю, то на нижней полке книг окажется в 2 раза меньше, чем на верхней. На какой полке книг больше и на сколько?

802. Аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 дм, ширина - 4 дм, а высота - 2,5 дм, наполнен водой на 80%. Когда воду из этого аквариума перелили в другой, длина основания которого 0,8 м, а ширина - 0,2 м, то второй ак­вариум оказался полностью заполнен водой. Найдите высоту второго аквариума.

803. Месячный заработок матери составляет 85 % от заработка отца. Сколько зарабатывает каждый из них, если вместе они получают 56 610 р. в месяц?

804. При выполнении теста Марина решила на 6 задач меньше, чем Саша. Сколько задач решил каждый, если число задач, решённых Мариной, составляет - числа задач, решённых Сашей?

805. а) На сколько процентов меньше ? б) На сколько процентов - больше ? в)  Какой процент от составляют - г) Какой процент от - составляет?

806. Даны 6 последовательных натуральных чисел. Сумма первых трёх равна 27. Какова сумма трёх последних?

807. Известно, что 0,4 • у = 5. Найдите 4,44 • у.

808. 1) Используя таблицу умножения, скажите, какой может быть последняя цифра произведения натурального числа и числа 2; 5. 2) Какой цифрой оканчивается произведение натурального числа и числа 10? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 42.

809. Пусть k- натуральное число. Используя известные вам свой­ства делимости, обоснуйте ответы на вопросы. Может ли: значение выражения 2kоканчиваться нечётной цифрой; значение выражения 5kбыть числом, последняя цифра ко­торого не 5 и не 0; значение выражения 10& оканчиваться ещё какой-либо циф­рой, кроме нуля? Проверьте себя. Скорее всего, вы ответили правильно на все три вопроса, кото­рые были заданы в упражнении № 809. Правильный ответ: «Нет». Однако этот ответ надо обосновать. Рассуждаем следующим образом. Чтобы доказать, что одно число не делится на другое, достаточ­но первое число представить в виде суммы, в которой все слагаемые, кроме одного, делятся на второе число. Любое натуральное число а можно представить в виде суммы некоторого числа десятков и однозначного числа: т • 10 + п. Например, 37 = 30 + 7 = 3 • 10 + 7; 124 = 120 + 4 = 12 Ю + 4; 5733 = 573 10 + 3; 78 925 = 7892 10 + 5. Рассмотрим выражение т • 10 + п. Здесь п - это не что иное, как последняя цифра в записи числа а. Первое слагаемое, т.е. т • 10, делится и на 2, и на 5, и на 10. Значит, делимость числа а на 2, на 5 или на 10 зависит от последней цифры числа а, т. е. от цифры п. Таким образом: если последняя цифра числа не делится на 2, то и само число не делится на 2; если последняя цифра числа не делится на 5 (а это все цифры, кроме 5 и 0), то и само число не делится на 5; если последняя цифра числа не 0, то оно не делится на 10, так как последнее слагаемое в этом случае на 10 не делится. Теперь можно дать ответ на вопросы 1), 2) и 3). Поскольку число 2kчётное, т. е. делится на 2, его последняя цифра не может быть нечётной. Число 5kкратно 5, значит, его последняя цифра или 0, или 5, и никакой другой быть не может. Так как число 10kкратно 10, оно не может оканчиваться ни­какой другой цифрой, кроме нуля.

810. Укажите, какие из чисел 158, 255, 1290, 183, 735, 176, 890, 4500, 134, 112 кратны числу: а) 2; б) 5; в) 10; г) и 2, и 5.

811. Сформулируйте признак делимости на 2; на 5; на 10. Проверьте себя. Если последняя цифра числа чётная, то оно делится на 2. Если последняя цифра числа 5 или О, то оно делится на 5. Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Итак, на вопрос, когда натуральное число делится на 2, мы от­вечаем: тогда, когда последняя цифра числа чётная. А в других случаях может ли число делиться на 2? Нет, отвечаем мы, число де­лится на 2 только тогда, когда последняя цифра числа чётная. Обыч­но математики, учитывая проведённое рассуждение, говорят так: число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа чётная. Точно так же формулируются и два других признака: число делится на 5 тогда и только тогда, когда цифра единиц - О или 5; число делится на 10 тогда и только тогда, когда цифра единиц - 0. До сих пор мы говорили о делимости натуральных чисел. На са­мом деле всё, что мы обсудили, верно для любых целых чисел. На­пример, число -48 делится на 2, поскольку его цифра единиц чёт­ная, а число -1435 делится на 5, поскольку цифра единиц - 5.

812. (Устно.) Определите, значения каких выражений чётны: 198 + 256; -532 - 777; 733 + 520; -533 - 777. Сформулируйте вывод: в каком случае сумма - чётное число, а в ка­ком - нечётное.

813. Не выполняя вычислений, определите, каким является значе­ние выражения - чётным или нечётным: а) 612 + 315 + 411; в) 78 + 641 + 96; б) 52 + 884 + 120; г) 744 + 291 - 345.

814. Запишите: а) наименьшее натуральное чётное число, кратное 5; б) наибольшее двузначное число, кратное 5.

815. Запишите три последовательных нечётных числа, кратных 5, начиная с наименьшего.

816. Даны числа: 10, 17, 56, 65, 74, 80, 85, 101, 1000. Укажите те из них, которые: а) кратны одновременно и 2, и 5; б) кратны 2 и не кратны 5; в) кратны 5 и не кратны 2; г) не кратны ни 2, ни 5.

817. (Устно.) Укажите выражения, значения которых кратны 5: 1840 + 1285; 1750 + 98; 2443 + 8560 + 872; 6725 + 1500; 5400 + 158 + 242; 879 + 251 + 730.

818. Определите, можно ли сократить дробь на 2, на 5 или на 10, и, если можно, сократите её:

819. Определите, можно ли сократить дробь на 2, на 5 или на 10, и, если можно, сократите её:

820. Верно ли утверждение: если число делится на 5, то оно делится на 10; если число делится на 5, то оно не делится на 2;  если число делится на 2, то оно не делится на 5;  если число делится на 10, то оно делится на 5;  если число делится на 10, то оно делится на 2?

821. Когда Маша пошла в магазин за продуктами, у неё в кошельке были только пятирублёвые монеты и десятирублёвые купюры. Смо­жет ли она уплатить ими без сдачи за: а) 6 кг картофеля по 5 р. за 1 кг; б) 2 л молока по 12 р. за 1 л и за 1 л кефира стоимостью 11р.; в) 0,4 кг сыра по цене 120 р. за кг; г) 1,5 кг яблок по 20 р. за 1 кг и 0,5 кг орехов по 70 р. за 1 кг?

822. Даны числа: 11, 16, 17, 35, 48, 60, 74, 85, 90. Запишите, какой остаток получится при делении каждого из этих чисел: а) на 2; б) на 5; в) на 10.

823. Среди данных чисел выберите те, которые при делении на 5 дают одинаковые остатки: 36, 43, 58, 62, 69, 73, 87, 98.

824. Укажите все натуральные двузначные числа, которые при деле­нии на 5 дают в остатке 2.

825. Укажите наибольшее натуральное число, кратное 5, удовлетво­ряющее неравенству: а) 127 < х < 145; в) 755 < х < 758; б) 255 < х < 350; г) 755 < х < 758.

826. Укажите наименьшее натуральное число, кратное 5, удовлетво­ряющее неравенству: а) 125 < x < 134; в) 282 < х < 500; б) 258 < х < 481; г) 438 < х < 495.

827. Запишите все нечётные числа, для которых верно неравенство: а) 125 < x < 137; в) 271 < а < 287; б) 138 < у < 147; г) 201 < b < 215.

828. Запишите все чётные числа, для которых верно неравенство: а) 398 < т < 409; в) 232 < а < 241; б) 157 < у < 161; г) 555 <п< 557.

829. 1) Запишите формулу: а) чётного числа; б) нечётного числа. 2) Докажите, что сумма двух нечётных чисел - чётное число.

830. Запишите формулу: а) числа, кратного 5; б) натурального числа, которое при делении на 5 даёт в остатке 1; в) натурального числа, которое в сумме с натуральным числом, дающим при делении на 5 в остатке 1, даёт число, кратное 5.

831. Сколько целых чисел, кратных 5, содержится в числовом про­межутке: а) (-15; 7); б) [2,7; +оо); в) [-10; 10]; г) (-оо; 0)?

832. Из интервала (-4,1; 7,99) выбрали все чётные числа и соста­вили из них множество А. Из отрезка [-10; 19] выбрали все числа, кратные 5, и составили из них множество В. В каком множестве, А или В, оказалось больше элементов?

833. а) Натуральные числа а и bпри делении на 5 дают одинаковые остатки, не равные нулю. Может ли их сумма быть кратна 5? А раз­ность? б) Сумма двух натуральных чисел кратна 10. Какими могут быть остатки каждого из них при делении на 10?

834. Сформулируйте признак делимости на 100.

835. Вычислите:

836. Найдите: a) HOK (10; 15); б) HOK (10; 12).

837. Вычислите:

838. 1) Рассмотрите несколько последовательных трёхзначных, а потом четырёхзначных чисел, кратных 4. Постарайтесь подметить закономерность и сформулируйте признак делимости на 4. Попро­буйте его обосновать. 2) Подумайте, каким будет признак делимости на 25, и дока­жите его. 3) Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 43. Проверьте себя. Возьмём числа 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118. На 4 делятся только числа 112 и 116. Замечаем, что двузначные числа 12 и 16 тоже делятся на 4. Теперь возьмём четырёхзначные числа 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008. На 4 делятся 2004 и 2008. И опять, смотрите, делятся на 4 числа, образованные двумя послед­ними цифрами: это 04, т. е. 4, и 08, т. е. 8. Вообще имеет место следующий признак делимости на 4: число, состоящее более чем из двух цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Это очень удобный признак. Например, не выполняя деления, мож­но сразу сказать, что число 45 796 делится на 4. Почему? Потому что на 4 делится число 96. Дело в том, что число 45 796 можно пред­ставить в виде 457 • 100 + 96. И здесь видно, что каждое слагаемое этой суммы делится на 4. Значит, и сумма делится на 4. Сформулируем признак делимости на 25: число, состоящее из более чем двух цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное последними двумя цифрами за­данного числа. Например, не выполняя деления числа 45 775 на 25, можно сразу сказать, что оно делится на 25, потому что делится на 25 число 75.

839. а) Среди данных чисел выберите те, которые делятся на 4: 752, 754, 833, 1472, 1480, 3714, 3712. б) Среди данных чисел выберите те, которые делятся на 25: 225, 13 375, 14 540, 213 475, 114 550, 77 645.

840. На координатной плоскости построен квадрат с вершинами в точках А(10; 10), В(10; 75), С(65; 75), D(65; 10). Сколько имеется внутри квадрата точек, абсцисса и ордината которых одновременно: а) кратны 10; в) кратны 4; б) кратны 5; г) кратны 25?

841. Формула чётного числа п = 2kФормула нечётного числа п = 2k + 1 Вычислите:

842. Выполните действия:

843. У Миши 51 р., а у Кати 43 р. Часть денег они потратили. Причём Катя потратила столько, сколько осталось у Миши, а у неё осталось 15 р. Сколько денег осталось у Миши?

844. Велосипедист движется со средней скоростью на 10 км/ч боль­шей, чем пешеход. На один и тот же путь велосипедисту требуется 2 часа, а пешеходу - 7. Найдите средние скорости велосипедиста и пешехода.

845. Сумма цифр натурального двузначного числа равна 9. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

846. Решите уравнение

847. Сумма первого и последнего из 6 последовательных натураль­ных чисел равна 31. Чему равна сумма всех 6 чисел?

848. Найдите х, если 27 • 27 = 3 • 3 • х.

849. Какому из чисел у может быть равен у, если известно, что у = 1 +, а x > 1?

850. 1) Из чисел 125, 159, 297, 264, 171, 122, 462, 184 выпишите отдельно те, которые делятся на 3, и те, которые на 3 не делятся. Найдите сумму цифр каждого числа первой и второй групп, сравните полученные результаты. Какую закономерность вы увидели? 2) Из этого же набора чисел выберите те, которые делятся на 9, и найдите сумму цифр этих чисел. Какое предположение можно сделать? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 44.

851. Не выполняя вычислений, а используя только знакомые вам признаки делимости суммы и произведения, докажите, что число 738 делится на 9. В случае затруднений прочитайте подсказку: представьте это число в виде суммы разрядных слагаемых, постарайтесь изменить полученное выражение так, чтобы хотя бы некоторые слагаемые делились на 9, и продолжите рассуждения. Проверьте себя. 738 = 7 • 100 + 3 • 10 + 8 = 7 • (99 + 1) + 3 • (9 + 1) + 8 = 7 • 99 + + 7 + 3- 9 + 3 + 8 = 7-99 + 3- 9 + (7 + 3 + 8) = 7-99 + 3*9 + 18. Очевидно, что каждое слагаемое в последнем выражении делится на 9, значит, и вся сумма делится на 9. Объясните, как получено слагаемое 18. Верно ли, что это сумма цифр заданного числа?

852. Не выполняя вычислений, докажите, что число 627 не делится на 9.

853. 1) Не выполняя вычислений, докажите, что число 582 делится на 3. Не выполняя вычислений, определите, делится ли число 582 на 9. Постарайтесь сформулировать признаки делимости на 3 и на 9. Попробуйте доказать признак делимости на 9 для любого трёхзначного числа. В случае затруднений прочитайте подсказку: представьте трёх­значное число, где а - цифра сотен, 6 - цифра десятков и с - циф­ра единиц, в виде суммы разрядных слагаемых и постарайтесь изме­нить полученное выражение так, чтобы некоторые слагаемые делились на 9. Проверьте себя. Для того чтобы обосновать признак делимости на 9, запишем трёхзначное число в виде 100а + 106 + с, где а - цифра сотен, 6 - цифра десятков и с - цифра единиц этого числа. Тогда: 100а 4- 106 + с = 99а + а + 96 + 6 + с = 99а + 96 + (а + 6 -t- с). Очевидно, что два первых слагаемых делятся на 9. Значит, если выражение в скобках тоже делится на 9, то и вся сумма делится на 9. Но выражение в скобках - это сумма цифр трёхзначного числа. Отсюда следует вывод: если сумма цифр трёхзначного числа делится на 9, то и само число делится на 9. Самостоятельно проведите аналогичные рассуждения для четырёх­значного числа. Подумайте, справедлив ли этот признак для любого натурального числа. Постарайтесь, рассуждая таким же образом, обосновать признак де­лимости на 3. Итак, в случае верных рассуждений вы должны были получить . такие признаки делимости на 3 и на 9: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3; если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если же сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Поэтому признак делимости числа на 3 обычно фор­мулируют так: натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда де­лится на 3 сумма его цифр. А признак делимости числа на 9 звучит так: натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится на 9 сумма его цифр.

854. (Устно.) Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы число: а) 47*53; б) 713*2; в) 5*682; г) 44*444 - делилось на 3; на 9?

855. Один диспетчер телевизионной компании принял за день 162 за­явки на ремонт оборудования, а второй - 108 заявок. Можно ли эти заявки распределить поровну между девятью ремонтными бригада­ми компании?

856. Зоомагазин в первый день закупил 44 птицы, во второй - 87, а в третий - на 15 птиц меньше, чем во второй. Можно ли этих птиц рассадить поровну в три клетки?

857. Три поросёнка - Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф - собрали в лесу жёлуди и решили разделить их поровну. Удастся ли им это сделать, если Нуф-Нуф собрал 252 жёлудя, Наф-Наф - в 2 раза больше, а Ниф-Ниф - на 102 жёлудя меньше, чем Нуф-Нуф?

858. На одной стоянке 27 автомобилей, на другой - на 5 больше, а на третьей - в 2 раза больше, чем на первой. Можно ли все эти автомобили распределить по трём стоянкам так, чтобы автомобилей на них стало поровну?

859. На теплоход требуется погрузить ящики с товаром, которые предварительно устанавливаются в специальные контейнеры. Всего надо погрузить 651 ящик с обувью и 396 ящиков с игрушками, при­чём все ящики одинакового размера. Можно ли эти ящики упако­вать в контейнеры так, чтобы в них не оставалось свободного места, если в каждый контейнер входит по 9 ящиков?

860. Сократите дробь на 3 или на 9, если это возможно:

861. Сократите дробь на 3 или на 9, если это возможно:

862. Сократите дробь:

863. Сократите дробь:

864. Вычислите:

865. Укажите трёхзначное число: а) первая цифра которого 2, и оно делится на 9 и на 5, но не делится на 2; б) первая цифра которого 6, и оно делится на 2, на 5 и на 9.

866. Укажите четырёхзначное число: а) первая цифра которого 7, и оно делится на 3 и на 5, но не делится ни на 2, ни на 9; б) первая цифра которого 5, и оно делится на 3 и на 2, но не делится ни на 5, ни на 9.

867. На координатной плоскости (рис. 104) построен прямоуголь­ник с вершинами в точках А(10; 10), £(10; 75), С(65; 75), £(65; 10). Сколько имеется внутри этого прямоугольника точек, абсцисса и ор­дината которых удовлетворяют следующим условиям: а) обе координаты кратны 3; б) обе координаты кратны 9; в) абсцисса кратна 3, а ордината кратна 9; г) абсцисса кратна 9, а ордината кратна 3?

868. На координатной плоскости построен квадрат с вершинами в точках А(10; 10), £(10; 75), С(75; 75), £(75; 10). Сколько имеется внутри квадрата точек, абсцисса и ордината которых удовлетворяют следующим условиям: а) обе координаты кратны 15; б) обе координаты кратны 6; в) абсцисса кратна 4, а ордината кратна 9; г) абсцисса кратна 6, а ордината кратна 15?

869. Найдите число: а) которого равны от 240; б) которого равна от 34; в) которого равны от 220; г) которого равна от 150.

870. Вычислите: а) 24,15 : 2,3 - 3,6 (17,2 • 0,125 + 0,85)

871. Одна из сторон прямоугольника площадью 189 см² на 12 см больше другой стороны. Составьте уравнение, обозначив через х: а) меньшую сторону прямоугольника; б) большую сторону прямоугольника.

872. Составьте математическую модель ситуации: ширина прямо­угольника в три раза меньше его длины, а его площадь равна 75 м². Догадайтесь, как, используя эту модель, найти стороны прямоуголь­ника.

873. Найдите значение х из равенства:

874. Для разравнивания дороги выделены два грейдера различной мощности. Первый грейдер может выполнить всю работу за 12 дней, а второй - за 6 дней. За какое время выполнят работу обе машины, если будут работать одновременно?

875. Два насоса, работая одновременно, могут откачать воду из ре­зервуара за 6 ч. Первый насос, работая один, может откачать эту воду за 15 ч. За сколько часов сможет откачать воду из резервуара второй насос, если будет работать только он?

876. Решите уравнение: а) 15x + 12 = 9 + 3х; в) 8 + 16x = 5 - 2(х - 3); б) 7 - 15у = 1 + 9у; г) 28 - 19у = 34 + 5(8 - у).

877. Решите уравнение:

878. Решите уравнение:

879. Из натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 выпишите те, которые имеют: только один делитель; 3) более двух делителей. только два делителя; Проверьте себя. Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми. Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 45.

880. Запишите все простые числа, большие 10, но меньшие 20.

881. Даны числа: 14, 17, 27, 29, 33, 37, 41, 43, 45, 47, 49. Укажите, какие из них являются: а) простыми; б) составными.

882. Существуют ли чётные простые числа? Сколько их?

883. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? б) Может ли сумма двух простых чисел, каждое из которых больше 2, быть простым числом?

884. Существуют ли два последовательных натуральных числа, каж­дое из которых простое? А три?

885. Следующие упражнения выполните, используя таблицу простых чисел (см. второй форзац учебника). Запишите простые делители числа: а) 24; б) 30; в) 48; г) 49; д) 52; е) 55.

886. Следующие упражнения выполните, используя таблицу простых чисел (см. второй форзац учебника). Из следующих чисел выпишите простые числа: 225, 227, 269, 357, 367, 416, 419, 461, 477, 509, 583.

887. Следующие упражнения выполните, используя таблицу простых чисел (см. второй форзац учебника). Из следующих чисел выпишите составные числа: 431, 437, 467, 587, 667, 677, 703, 713, 739, 899, 907.

888. В таблице простых чисел на форзаце учебника синим цветом выделены числа-близнецы - простые числа, между которыми в на­туральном ряду чисел находится только одно число. а) Выпишите три любые пары чисел-близнецов. б) Укажите последнюю пару чисел-близнецов первой тысячи натуральных чисел.

889. Какой цифрой может оканчиваться многозначное простое число?

890. Сколько составных чисел заключено между числами: а) 500 и 600; в) 700 и 800; б) 600 и 700; г) 800 и 900?

891. Используя таблицу простых чисел, найдите: а) три идущих подряд составных числа; б) пять идущих подряд составных чисел; в) самый большой интервал между соседними простыми числа­ми из первой сотни натуральных чисел; г) самый большой интервал между соседними простыми числа­ми среди натуральных чисел от 100 до 200.

892. Укажите все простые числа, для которых верно неравенство: а) а < 20; в) 31 < х < 43; б) 17 < b < 37; г) 27 < у < 29.

893. Два различных простых числа т и п больше числа 2. Является ли верным утверждение: а) их сумма больше, чем 7; б) их произве­дение - нечётное число; в) их произведение - простое число; г) их разность - чётное число?

894. Дано множество чисел: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40}. Из этого множества наугад выбирается число а. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное: а) а - простое число; в) а делится на 10; б) а делится на 5; г) а - составное число.

895. 25 учеников 6-го класса выписали на доске числа, характери­зующие дату их рождения: 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 20, 21, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31. Затем они придумали такую игру: объединили в пары тех учеников, даты рождения кото­рых - простые числа, и каждую такую пару назвали простаками; объединили в пары тех учеников, даты рождения которых - состав­ные числа, и каждую такую пару назвали составниками. Сколько всего получилось простаков и составников? Есть ли в классе хоть один ученик, который не попал ни в простаки, ни в составники?

896. 1) Представьте числа 15, 16, 18, 20, 21, 115, 165 в виде произ­ведения простых чисел. 2) Сравните свои результаты с результатами товарищей. Какую гипотезу можно высказать? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 46.

897. Представьте число 3528 в виде произведения простых чисел. Проверьте себя. Проще всего это сделать, оформив поиск простых множителей следующим образом: Числа левого столбца получены так: 1764 = 3528 : 2; 882 = 1764 : 2; 441 = 882 : 2; 147 = 441 : 3 и т. д. Таким образом, 3528 = 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 7 -7. Вы знаете, что произведение одинаковых множителей можно за­писать в виде степени: Здесь п может быть любым натуральным числом, кроме 1, по­скольку в произведении никак не меньше двух множителей. Однако всегда делать такое примечание довольно утомительно, поэтому ма­тематики договорились считать, что а¹ = а. Используя степени, можно записать, что 3528 = 2³ • З² • 7². Представление числа в виде произведения степеней простых чи­сел называют разложением числа на простые множители. Как вы уже заметили ранее, разложить число на простые множи­тели можно единственным образом. Вообще справедливо следующее утверждение, которое называют основной теоремой арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом. При разложении числа на простые множители используют при­знаки делимости и применяют запись столбиком, при которой дели­тель располагают справа от вертикальной черты, а частное записы­вают под делимым.

898. Разложите на простые множители число: а) 3780; б) 6468. Проверьте себя. Итак, 3780 = 2² • З³ • 5¹ • 7¹. В обоих случаях мы использовали так называемые канонические разложения, когда простые множители располагаются в порядке возрастания.

899. Даны верные равенства: 1197 = З² • 7 • 19; 19 125 = 5³ • 9 • 17; 560 = 2³ • 7 • 10; 9 744 = 2⁴ • 21 • 29. Укажите, в каких случаях выполнено разложение на простые мно­жители. Завершите разложение на простые множители в остальных случаях.

900. Разложите данные числа на простые множители: а) 75, 36, 18, 28, 63, 8, 16, 48; б) 20, 45, 50, 12, 98, 40, 80, 112.

901. Выполните действие (можно использовать результаты № 900):

902. а) Выпишите все делители чисел а = 2 • 3 • 5, b = 2 • З² • 5, с = 2³ • 5; б) найдите: НОД (а; b), НОД (b; с), НОД (а; с), НОД (а; b; с); в) найдите: НОК (a; b), НОК (b; с), НОК (а; с), НОК (а; b; с).

903. Найдите значение выражения при а = 2-3-5, с = 2³ • 5: b = 2 • З² • 5, Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 47.

904. а, b, х, у и z- различные простые числа. Запишите все дели­тели произведения: а) 6аb; б) 8хуг.

905. т и п - различные простые числа. Запишите все делители чис­ла а, если: а) а = т • п; б) а = т² • п; в) а = т • n²; г) а = т² • п².

906. Укажите все двузначные составные числа, разложение которых на простые множители представляет собой: а) произведение двух одинаковых множителей; б) произведение трёх одинаковых множителей.

907. Разложите на простые множители числа: а) 375, 108, 196, 135, 225, 175, 392, 875, 253; б) 735, 525, 882, 1925, 156, 208, 495, 693, 247.

908. Сократите дробь, используя результаты предыдущего задания:

909. Сократите дробь, используя результаты предыдущего задания:

910. Выполните действие:

911. Найдите значение выражения:

912. Найдите значение выражения:

913. Выполните указанные действия:

914. Выполните указанные действия:

915. Число а чётное. Будут ли чётными значения выражений За, 5а?

916. Число т не делится на 5. Значения каких выражений не делят­ся на 5: 3 т; 10т; 18 т; 85 m

917. Разложите на множители числа 111 и 1001. Вычислите удоб­ным способом: а) 2 • 3 • 37; б) 3 • 7 • 11 • 13; в) 7 • 13 • 55; г) 21 • 37.

918. Разложите на простые множители число: а) 350; б) 756; в) 1176; г) 1925.

919. Используя результаты предыдущего задания, сократите дробь:

920. Найдите произведение и частное дробей, разложив предвари­тельно числитель и знаменатель на простые множители:

921. Вычислите:

922. В таблице простых чисел, приведённой на форзаце учебника, найдите самое большое число. Как вы думаете, есть ли ещё какие-нибудь простые числа? Существует ли самое большое простое число? Ответ на последний вопрос был найден более 2000 лет назад великим математиком Древней Греции Евклидом. Евклид доказал, что не существует самого большого простого числа. Рассуждал он примерно так. Рассмотрим все простые числа в пределах первой тысячи - они приведены на втором форзаце. Последнее простое число в этом ряду - 997. Рассмотрим произве­дение всех простых чисел от 2 до 997 и прибавим к этому произведению 1. Получим число а = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • ... • 997 + 1. Из-за слагаемого 1 это число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7 и вообще ни на какое про­стое число от 2 до 997. Но согласно основной теореме арифметики число а либо простое, либо его можно разложить на простые множители. Какие? Другие - не те, что есть в нашей таблице. Значит, в натуральном ряду есть простые числа, выходящие за пределы первой тысячи. Точно так же, вы­писав все простые числа в пределах от 1000 до 2000, можно доказать, что есть простые числа, выходящие за пределы второй тысячи, и т. д. Вывод: простых чисел бесконечно много. Выполняя задание № 891, вы обнаружили, что встречаются и 2, и 4, и 6, и 8 и т. д. подряд идущих составных чисел, или, по-другому, расстояние между двумя соседними простыми числами могло быть равно 2 (такие числа в задании № 888 мы назвали близнецами), 4, 6, 8 и т. д. Оказывается, верно следующее утверждение: расстояние между двумя соседними простыми чис­лами может быть больше любого наперёд заданного натурального числа. Покажем, например, как подобрать 100 подряд идущих состав­ных чисел. Рассмотрим число с = 1 • 2 • 3 • ... • 100 • 101. Оно делится на 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101. Тогда по свойству делимости суммы число с + 2 делится на 2, число с 3 делится на 3, число с + 4 - на 4, ..., число с + 100 - на 100, число с + 101 - на 101. Это значит, что 100 подряд иду­щих чисел с + 2, с + 3, с + 4, ..., с + 100, с + 101 - составные. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 48.

923. Найдите значение выражения: а) (-3)²; б) (-3)³; в) -З²; г) -З³.

924. Найдите значение выражения: а) (-1)⁵⁰⁰; б) (-1)⁵⁰¹; в) -1⁵⁰⁰; г) -1⁵⁰¹.

925. Найдите значение выражения при х = : а) х²; б) -х²; в) (-x)²; г) -(x²). Какие из этих выражений равны при любых значениях х.

926. Найдите значение выражения при х = : а) х³; б) -х³; в) (-х)³; г) -(х³).

927. Составьте уравнение по условию задачи. Катер прошёл 15 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь маршрут 1 ч 30 мин. Какова скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 19 км/ч? Подсказка. Обозначьте буквой х скорость течения реки. Выразите: скорость катера по течению; скорость катера против течения; время в пути по течению; время в пути против течения; время, затраченное на весь маршрут.

928. Составьте уравнение по условию задачи. Теплоход прошёл по течению реки 30 км и вернулся обратно, затра­тив на обратный путь на 20 мин больше, чем на путь по течению реки. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость тече­ния реки 0,7 км/ч.

929. 1) Найдите НОД (наибольший общий делитель) чисел 12 и 18, 40 и 100. Каждую пару чисел и их НОД разложите на простые множи­тели. Проанализируйте полученные результаты. Какая связь между разложением на простые множители чисел и их НОД? Попробуйте сформулировать правило отыскания НОД с ис­пользованием разложения чисел на простые множители. Проверьте себя. НОД (12; 18) = 6, НОД (40; 100) = 20. Разложим каждую пару чисел и их НОД на простые множители: Если вы рассуждали верно, у вас должно было получиться такое правило отыскания НОД: Разложить данные числа на простые множители. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения дан­ных чисел. Записать произведение полученных степеней. Найдём, руководствуясь этим правилом, НОД (11 088; 13 068). И 088 = 2⁴ • З² • 7¹ • 11¹; 13 068 = 2² • З³ • 11². В оба разложения входят простые числа 2, 3, 11. С наименьшими показателями степени - это числа 2², З², 11¹. НОД (11 088; 13 068) = 2² • З² • 11 = 396. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 49.

930. Найдите НОД (3780; 7056). Проверьте себя. 3780 = 2² • З³ • 5 • 7, 7056 = 2⁴ • З² • 7², НОД (3780; 7056) = 2² • З² • 7 = 252.

931. Найдите НОД чисел: а) 350 и 756; в) 756 и 1176; б) 1176 и 1925; г) 900 и 1183.

932. Найдите НОД чисел: а) 198 и 1452; б) 405 и 847; в) 528 и 13 068; г) 525 и 2205.

933. Найдите НОД чисел: а) 56 и 196; б) 189 и 875; в) 275 и 637; г) 95 и 87.

934. Сократите дробь:

935. Сократите дробь: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 21. Есть натуральные числа, которые обладают интересными свойствами. С некоторыми из таких свойств вы познакомитесь в следующих заданиях.

936. Найдите сумму всех делителей числа 496, не считая его самого. Какое удивительное свойство числа 496 вы заметили? Числа, обла­дающие таким свойством, называют совершенными.

937. Покажите, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делите­лей другого (не считая самих чисел). Такие числа называют друже­ственными.

938. Представьте числа 18, 32, 46 в виде суммы простых чисел, по­старайтесь, чтобы слагаемых было не более трёх. Возьмите сами какое-нибудь двузначное число и постарайтесь представить его в виде суммы трёх простых чисел.

939. Если п > 1 и каждое из трёх натуральных чисел п, п 2, п 4- 4 является простым, то множество этих трёх чисел называют простой тройкой. Сколько существует различных простых троек?

940. Из двух городов, расстояние между которыми 216 км, одновре­менно навстречу друг другу выехали грузовой автомобиль и автобус. Через какое время транспортные средства встретятся? Скорость автобуса 60 км/ч, а скорость грузовика составляет скорости автобуса.

941. Расстояние между двумя городами автобус проходит за 9 часов, а легковой автомобиль за этого времени. Через какое время они встретятся, если отправятся из этих городов одновременно навстречу друг другу?

942. На математической олимпиаде было предложено решить 12 за­дач. За каждую правильно решённую задачу засчитывалось 5 оч­ков, а за каждую нерешённую задачу списывалось 3 очка. Сколь­ко задач правильно решил ученик, если он получил за свою работу 36 очков?

943. Маша и Саша покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом, и его цена выражается це­лым числом рублей. Маша заплатила за наборы 85 р., а Саша - на 34 р. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Маша? Сколько наборов купил Саша?

944. Упростите выражение: а) (а + 2b) - (4а - b) + 7(b - 2а) - (-b + а); б) (3х - 7у) + 3(у - 15х) - 2(у + 4x) - (7х - у); в) (8а - b) - (За – 5b) + (2а – 7b) - (5а + 2b); г) -2(3х + 5у - 4) + 3(2х - у + 8).

945. Решите уравнение: а) 3(1 - x) - 5(x + 2) = 1 – 4x; б) (2 + х) • 2 + (4x - 1) • 3 = 10x - 7; в) (4 + 5x) - 3(2 - x) = 16x - 0,4; г) 2x + 0,1 - 4(1 – 4x) = 8x - 4,4.

946. Найдите значение выражения:

947. Если п и k - натуральные числа и п + k = 2п + 4, то какие из следующих утверждений заведомо верны: п - чётное число; k - чётное число; k - п - чётное число?

948. Выполните задания. Приведите примеры взаимно простых чисел. Разложите каждое из них на простые множители. Подумайте, что характерно для разложений на простые множите­ли взаимно простых чисел. Есть ли в этих разложениях одинаковые простые множители? Проверьте себя. Разложения на простые множители взаимно простых чисел не со­держат одних и тех же простых множителей.

949. Определите, являются ли данные числа взаимно простыми: а) 35 и 87; б) 54 и 63; в) 15 и 27; г) 34 и 55.

950. Верно ли, что: а) два соседних натуральных числа всегда взаимно просты; б) два соседних нечётных числа всегда взаимно просты; в) два соседних чётных числа могут быть взаимно просты?

951. 1) Из чисел 12, 15, 24, 74, 84, 96, 135, 198 выберите те, кото­рые делятся: а) на 2; б) на 3; в) на 2 и на 3 одновременно. Какие из выбранных чисел делятся на 6? Как бы вы сформулировали признак делимости на 6?

952. 1) Из чисел 12, 15, 18, 24, 36, 42, 45, 54, 60, 63, 66, 72, 108 выберите те, которые делятся: а) на 6; б) на 9; в) на 6 и на 9 одно­временно. Какие из выбранных чисел делятся на 54? Можно ли сформулировать признак делимости на 54 так: «Если число делится и на 9, и на 6, то оно делится на 54»?

953. Рассмотрите пары чисел: а) 2 и 3; б) 6 и 9. В какой паре числа взаимно простые, а в какой - нет? Используя результаты заданий № 951 и 952, постарайтесь сформулировать признак делимости на произведение взаимно простых чисел. Проверьте себя. Признак делимости на произведение взаимно простых чисел: если число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 50.

954. Сформулируйте признаки делимости на 6, на 15, на 18, на 30 и определите, какие из следующих чисел делятся: а) на 6: 363, 4232, 8336, 9552; б) на 15: 145, 830, 555, 285; в) на 18: 852, 1864, 9157, 5562; г) на 30: 2160, 4970, 1680, 1240.

955. Что можно сказать о числах тип, если: а) НОД (m; п) = п; б) НОК (т; п) = m

956. Найдите значение выражения и разложите полученное число на простые множители: а) 5² + 4²; б) 6² + 8²; в) 13² - 12²; г) 15² - 9².

957. 1) Найдите НОК пары чисел: а) 12 и 18; б) 24 и 18. Каждое число пары и их НОК разложите на простые множи­тели. Проанализируйте полученные результаты. Какая связь меж­ду разложением на простые множители чисел и их НОК? Попробуйте сформулировать правило отыскания НОК с использованием разложения чисел на простые множители. Проверьте себя. НОК (12; 18) = 36, НОК (24; 18) = 72. Разложим данные числа и их НОК на простые множители и про­анализируем результаты: В каждом случае в разложение НОК входят все простые множи­тели, имеющиеся в разложениях соответствующих чисел, причём с наибольшими показателями их степеней. До сих пор мы находили НОК подбором. Теперь можно предположить, что НОК любых чисел можно найти как произведение всех простых множителей, входя­щих в разложения этих чисел, взятых с наибольшими показателями их степеней. Подумаем, как можно было бы найти НОК (12; 18) при помощи рассуждений. Из разложений чисел 12 и 18 видно, что НОК (12; 18) должно делиться и на 2², и на З². Поскольку эти числа взаимно простые, общее кратное должно делиться и на их произведение. Наименьшим из кратных числа является само это число, значит, НОК (12; 18) = 2²- З² = 36. Итак, чтобы найти НОК чисел, надо: Разложить данные числа на простые множители. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел. Записать произведение полученных степеней. Найдём, руководствуясь этим правилом, НОК (1470; 588). 1470 = 2¹ • З¹ • 5¹ • 7², 588 = 2² • З¹ • 7². В этих разложениях встречаются числа 2, 3, 5, 7. С наибольшими показателями степени - это числа 2², З¹, 5, 7². НОК (1470; 588) = 2² • 3 • 5 • 7² = 29 40. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс №51.

958. 1) Найдите НОД (56; 196). Найдите НОК (56; 196). Найдите НОД (56; 196) • НОК (56; 196) и произведение 56 • 196. Что вы заметили? Проверьте себя. НОД (56; 196) = 28; НОК (56; 196) = 392; НОД (56; 196) • НОК (56; 196) = 28 • 392 = 10 976, 56 • 196 = 10 976. Составленные произведения равны. Вообще для любых натуральных чисел а и b справедливо равенство НОД (а; b) • НОК (а; b) = аb. Объясним это равенство на примере чисел 56 и 196. Имеем: 56 = 2³ • 7, 196 = 2² • 7², НОД (56; 196) = 2² • 7, НОК (56; 196) = 2³ • 7², НОД • НОК = (2² • 7) • (2³ • 7²) = (2³ • 7) • (2² • 7²) = 56 • 196.

959. Вычислите: Проверьте себя. Приведём эти дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить вычисления, в качестве общего знаменателя обычно берут наимень­шее общее кратное знаменателей слагаемых: НОК (1470; 588) = 2940. Чтобы привести к этому знаменателю первую дробь, нужно её чис­литель и знаменатель умножить на 2, а числитель и знаменатель второй дроби - на 5: Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 52.

960. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

961. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

962. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

963. Какая из данных дробей наибольшая, а какая - наименьшая:

964. Расположите числа в порядке возрастания:

965. Расположите числа в порядке убывания:

966. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

967. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

968. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

969. Вычислите:

970. Вычислите: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 22.

971. Расстояние между двумя городами автобус проходит за 2,5 ч. Если увеличить скорость движения автобуса на 10 км/ч, то это же расстояние он пройдёт за 2 ч. Найдите расстояние между городами.

972. Разность двух чисел равна 1,6. 10% вычитаемого и 25% умень­шаемого составляют в сумме 7,4. Найдите эти числа.

973. Вычислите:

974. Со склада в первый день отпустили угля на 12 т, или в 1,3 раза меньше, чем во второй день, а в третий день - 37,5% того, что было отпущено за первые два дня. Сколько тонн угля отпускали каждый день?

975. В поход отправились 20 человек: мужчины, женщины и дети. Вместе они несли груз массой 200 кг. Каждый мужчина нёс 20 кг, каждая женщина - 5 кг и каждый из детей - 3 кг. Сколько муж­чин, сколько женщин и сколько детей пошли в поход?

976. При каком значении х равны значения выражений: а) х + 3,2 и -3х;

977. Вычислите:

978. В магазин привезли 25 ящиков с виноградом трёх сортов, при­чём в каждом ящике лежал виноград только одного сорта. Можно ли утверждать, что среди этих ящиков обязательно найдётся 9 таких, в которых лежит виноград одного и того же сорта?

979. 1) Заполните пустые клетки таблицы, учитывая, что медь и цинк берутся для изготовления латуни: 2) Запишите отношение числа верхней строки к соответствую­щему числу нижней строки: а) в виде частного и найдите его значение; б) в виде обыкновенной дроби (т. е. дроби, у которой числитель и знаменатель - натуральные числа). 3) Сравните все найденные частные и все полученные дроби. Как можно объяснить полученный результат? Проверьте себя. Каждое частное и каждая из полученных дробей должны быть равны 1,5, или поскольку во всех случаях отношение массы меди к массе цинка одно и то же. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 53.

980. Прочитайте отношение, запишите его обыкновенной дробью и, если возможно, сократите её: а) 15 : 27; б) 45 : 25; в) 8 : 26; г) 36 : 225.

981. Два числа относятся как 7 : 5. Найдите эти числа, если: а) их сумма равна 48; б) их разность равна 1.

982. Два числа относятся как 2 : 7. Найдите эти числа, если их про­изведение равно: а) 14; 6)56; в) 224; г) 18144.

983. Отношение двух чисел равно 3/5 Найдите эти числа, если: а) их сумма равна 16,32; б) их разность равна 0,35.

984. Мягкий припой - это сплав двух металлов, олова и свинца, которые берутся в отношении 2:1. Найдите массу каждого из этих металлов в 26,4 кг припоя.

985. За ремонт станка рабочий и его ученик получили 180 р. Сколь­ко получил каждый, если рабочий получил в 2 раза больше уче­ника?

986. Сторона квадрата является диаметром окружности. Сделайте рисунок и найдите отношение площадей частей квадрата, на кото­рые его делит окружность.

987. Сплав состоит из меди, олова и сурьмы, взятых в отношении 1:2:2. Подумайте, какой смысл имеет отношение трёх чисел. Определите, сколько нужно взять каждого из этих веществ, чтобы получить 214 кг сплава. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 54. Проверьте себя. Отношение 1 : 2 : 2 в данной задаче означает, что для получения сплава надо на одну часть меди взять по две части олова и сурьмы. Например, если есть 1 кг меди, то олова и сурьмы для этого сплава надо взять по 2 кг. Для изготовления 214 кг этого сплава необходимо иметь пять одинаковых по массе частей (рис. 105). Чтобы узнать массу одной части, разделим 214 на 5: 214 : 5 = 42,8 (кг). Масса двух частей составляет 42,8 • 2 = 85,6 (кг). Значит, для получения 214 кг сплава надо взять 42,8 кг меди и по 85,6 кг олова и сурьмы.

988. Для изготовления фарфора смешивают белую глину, песок и гипс в отношении 25 : 2 : 1. Определите массу каждого из этих ве­ществ, необходимую для приготовления 700 кг такой смеси.

989. Пять чисел относятся между собой как 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Найдите эти числа, зная, что: а) сумма первого и третьего чисел равна 40; б) разность пятого и второго чисел равна 51.

990. На координатной прямой между точками А{2) и В(10) отмечена точка М. Найдите координату точки М, если: а) AM: МВ = 1:1; в) AM: МВ = 1:3; б) AM: МВ = 3 : 1; г) AM: МВ = 2,5 : 1,5.

991. На координатной прямой отмечены точки А(2) и В(10). Найди­те координату точки М, расположенной вне отрезка АВ, если извест­но, что: a) AM : МВ = 3:1; б) AM : МВ = 1:3.

992. На координатной прямой отмечены точки А(-1,56) и В(5,46). Найдите координату точки М, если AM: ВМ = 1 : 2 и точка М рас­положена: а) между точками А и В; б) слева от точки А. Может ли точка М располагаться справа от точки В?

993. На координатной прямой отмечены точки А(-5,14) и В(-1,39). Найдите координату точки М, если AM : ВМ = 3 : 2 и точка М рас­положена: а) между точками А и В; б) справа от точки В.

994. Проверьте справедливость равенства:

995. Проверьте справедливость равенства: Равенства, приведённые в упражнениях № 994 и 995, представляют собой верные равенства двух отношений. Такие равенства име­ют специальное название - пропорции (от латинского proportio- на порции, на части). Итак, пропорция - это верное равенство двух отношений. Пропорции а : b= с : dчитаются одинаково: «а относится к b, как с относится к d».

996. Прочитайте пропорции, записанные в упражнении № 994.

997. Из данных отношений составьте пропорции: а) 2 : 5; 6 : 15; 7:2; 8 : 20; 21 : 6; б) 12 : 4; 6:3; 6:2; 2:1; 18 : 6.

998. Из данных чисел составьте пропорцию: а) 1, 17, 3, 51; б) 10, 15, 24, 16.

999. Составьте две пропорции, у которых каждое из отношений было бы равно 0,2.

1000. В пропорции а : b= с : dчисла andназывают крайними, а числа bи с - средними членами пропорции. Укажите крайние и средние члены в пропорции. Проверьте себя. В пропорции т и q- крайние, пир - средние члены.

1001. 1) Назовите крайние и средние члены пропорции: 2) В каждой пропорции предыдущего пункта найдите про­изведение крайних и произведение средних членов. Что вы заме­тили? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 55. Проверьте себя. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это утверждение верно для любых пропорций, а не только для пропорций из № 1001. Верно и обратное утверждение: если в записанном равенстве двух отношений произведение край­них членов равно произведению средних членов, то равенство от­ношений верно, т. е. является пропорцией. Иными словами, если для двух отношений а : b и с : dвыполня­ется равенство ad= bс, то а : b = с : d- пропорция. Докажем, что равенство 1,7 : 2 = 3,4 : 4 - пропорция. Произведение крайних членов 1,7 • 4 = 6,8 и произведение сред­них членов 2 • 3,4 = 6,8, т. е. 1,7 • 4 = 2 • 3,4. Следовательно, равен­ство 1,7 : 2 = 3,4 : 4 - пропорция. А вот считать пропорцией запись нельзя поскольку здесь 3,1 • 10 16,5 • 2. Записанное равенство - это «равенство», т. е. равенство в кавычках. Кавычки в русском языке иногда ис­пользуют, чтобы показать отрицательное отношение к объекту. Срав­ните две фразы: «Иванов - честный человек» и «Иванов - “чест­ный” человек». В чём их различие?

1002. Используя свойство крайних и средних членов пропорции, проверьте, является ли равенство пропорцией: а) 5 : 2 в) 1 : 0,25 = 0,6 : 0,15; б) 0,4 : 0,1 = 0,16 : 0,04; г) 0,1 : 0,01 = 0,2 : 0,02.

1003. Составьте пропорцию, у которой крайними членами будут числа: а) 20 и 100; б) 40 и 15; в) 25 и 4; г) 80 и 2.

1004. Составьте две пропорции, у которых каждый из средних чле­нов равен 18.

1005. 1) Подберите какие-нибудь четыре положительных числа так, чтобы произведение первых двух было равно произведению третьего и четвёртого. Попробуйте из этих чисел составить пропорцию. Сколько пропорций можно составить из этих чисел? Проверьте себя. Возьмём, например, числа 2, 3, 4 и 1,5. Они обладают заданным свойством: 2 • 3 = 4 • 1,5. Из них можно составить 4 пропорции, для каждой из которых первые два числа будут крайними членами, а третье и четвёртое числа - средними членами. Вот эти пропорции: 2 : 4 = 1,5 : 3; 3 : 4 = 1,5 : 2; 2 : 1,5 = 4 : 3; 3 : 1,5 = 4 : 2. И ещё 4 пропорции можно составить, если использовать первые два числа в качестве средних членов, а третье и четвёртое числа - в качестве крайних членов пропорции: 4:2 = 3: 1,5; 4:3 = 2: 1,5; 1,5 : 2 = 3 : 4; 1,5 : 3 = 2 : 4. Доказанный нами факт на математическом языке формули­руется следующим образом: если ab= cd,то и т. д.

1006. С помощью свойства крайних и средних членов пропорции выполните задания № 1006-1009. Можно ли составить пропорцию из данных чисел: а) 6, 9, 10, 15; в) 12, 22, 30, 65; б) 16, 20, 28, 36; г) 2,8, 3,2, 10,5, 12?

1007. С помощью свойства крайних и средних членов пропорции выполните задания № 1006-1009. Используя равенство, составьте пропорцию: а) 45 • 2 = 15 • 6; в) 6 • 8 = 12 • 4; б) 8 • 9 = 24 • 3; г) 2 42 = 21 • 4.

1008. С помощью свойства крайних и средних членов пропорции выполните задания № 1006-1009. Из данных чисел выберите 4 таких, из которых можно соста­вить пропорцию: а) 7, 9, 15, 21, 25, 35, 42, 49; б) 5, 10, 15, 24, 30, 40, 50, 64.

1009. С помощью свойства крайних и средних членов пропорции выполните задания № 1006-1009. Из данных чисел составьте как можно больше пропорций: а) 2, 6, 4, 12; б) 9, 1, 9, 81; г) 36, 3, 18, 6.

1010. Верны ли следующие утверждения: если в пропорции крайние члены поставить на место сред­них, а средние - на место крайних, то получится пропорция; в пропорции можно менять местами средние или крайние члены? Постарайтесь обосновать свои ответы. Проверьте себя. В обоих случаях равенство произведений средних и крайних членов пропорции сохраняется, значит, новое равенство тоже будет пропорцией.

1011. В пропорции переставьте числа так, чтобы снова получилась пропорция: а) 7 : 8 = 35 : 40; б) 27 : 12 = 9 : 4

1012. Даны тройки чисел:  5, 25, 10; 3) 24, 8, 32;  7, 42, 3; 4) 0,4, 1,6, 8. Для каждой тройки подберите четвёртое число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Запишите пропорцию, в которой это число было бы: а) средним её членом; б) крайним её членом. Сколько разных чисел можно подобрать для каждой тройки? Проверьте себя. Произведение искомого числа на одно из трёх данных чисел (мож­но из них выбрать любое) должно быть равно произведению двух дру­гих чисел. Значит, всего можно подобрать три числа. Обозначим ис­комое число буквой х; для первой тройки чисел получим три варианта. 5х = 25 • 10, x= 50. а) 25 : 50 = 5 : 10; б) 50 : 25 = 10 : 5. 25х = 5 • 10, х = 2. 5 ₌ 25. 25 10 * 2 10x = 25 -5, х = 12,5. а) 25 : 10 = 12,5 : 5; б) 12,5 : 25 = 5 : 10. Выполняя последнее задание, мы находили неизвестный член пропорции. В математике для такого действия есть специальное на­звание: найти неизвестный член пропорции - это значит решить пропорцию. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 56.

1013. Решите пропорцию:

1014. Решите пропорцию: Мультимедийное приложение. Раздел «Устный счёт». Ресурс № 23.

1015. Пропорции часто приходится решать в процессе приготовле­ния пищи. Так, зная, что объёмы крупы и воды при варке каши должны относиться как 1 : 2 (если только это не манная каша), ваши мамы без труда могут сварить кашу, взяв, например, 2 стака­на крупы. Сколько стаканов воды потребуется на 2 стакана крупы?

1016. Составьте уравнение по условию задачи. а) Мастер и его ученик могут выполнить некоторую работу за 17 ч. За какое время ученик один сможет выполнить всю работу, если ему потребуется на это на 20 ч больше, чем мастеру? б) Два насоса, работая одновременно, могут откачать воду из цистерны за 18 ч. Первый насос мог бы откачать эту воду на 9 ч быстрее, чем второй. За какое время мог бы откачать воду из ци­стерны каждый из насосов, работая отдельно? Подсказка. В первой задаче объём работы, а во второй - объём воды надо при­нять за единицу.

1017. 25 % площади фермерского хозяйства засеяно рожью, 35 % - кукурузой, остальная часть - пшеницей, причём пшеницей засеяно на 398 га больше, чем кукурузой. а) Как относятся площади, засеянные рожью, кукурузой и пшеницей? б) Найдите площадь фермерского хозяйства.

1018. 35% всех работающих на заводе составляли женщины, 58% - мужчины, остальные 98 человек были подростки-ученики. а) Найдите отношение числа мужчин, работающих на заводе, к числу подростков-учеников. б) Сколько мужчин и сколько женщин было среди взрослых рабочих?

1019. Дано четырёхзначное число вида х73у, где первая и последняя цифры неизвестны. Подберите цифры х и у так, чтобы число х73у: а) было чётным; в) делилось на 4; б) делилось на 5; г) делилось на 9. В каждом случае подсчитайте количество возможных вариантов решения.

1020. Дано четырёхзначное число х73у. Подберите цифры х и у так, чтобы число х73у: а) делилось на 45; в) делилось на 36; б) делилось на 15; г) делилось на 30. В каждом случае подсчитайте количество возможных вариантов решения.

1021. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 57. Ответьте на вопросы по рисунку 113. Какие единицы измерения откладываются по вертикальной оси? Скольким единицам соответствует одно деление этой оси? Какая из рек имеет наибольшую длину? Какая из этих рек имеет наименьшую длину? Какие из этих рек имеют примерно одинаковую длину?

1022. Ответьте на вопросы по рисунку 114. а) Кто победил в выборах на пост главы администрации города N? б) Сколько процентов голосов набрал каждый из кандидатов? Результаты голосования по выборам на пост главы администрации города NИванов Николаев Петров : Сидоров Фёдоров

1023. а) По уставу города К мэром избирается тот кандидат, кото­рый в I туре голосования набрал более 50% голосов избирателей. Если никто из кандидатов не набрал более половины голосов, назна­чается II тур, в который проходят два кандидата, набравшие в I туре наибольшее число голосов. Во II туре побеждает тот из кандидатов, кто наберёт больше голосов избирателей. После I тура в газете «Вест­ник города К» была приведена диаграмма результатов голосования (рис. 115). Результаты I тура голосования по выборам на пост главы администрации города К  Баранов Козлов Петухов Медведев Рыбкин Анализируя эту диаграмму, ответьте на следующие вопросы. Кто из кандидатов набрал в I туре наибольшее число голосов? Кто из кандидатов набрал наименьшее число голосов? Будет ли назначен II тур и если да, то кто из кандидатов в него пройдёт? Можно ли предположить, кто выиграет выборы во II туре? б) Ответьте по рисунку 116 на следующие вопросы. Сколько процентов голосов набрал каждый из кандидатов? Кто из кандидатов не имеет шансов на победу в выборах в этом городе? Во II туре выборов имеют право участвовать не более двух кан­дидатов, набравших в I туре наибольшее количество голосов из­бирателей. Кто из кандидатов имеет право участвовать во II туре выборов? Александров БорисовВладимиров Григорьев Дмитриев Егоров. Результаты I тура голосования по выборам на пост главы администрации города N

1024. В № 1024, 1025 составьте диаграммы по приведённым данным. Тип диаграммы выберите самостоятельно. Диаграмма «Реки Сибири и Дальнего Востока».

1025. В № 1024, 1025 составьте диаграммы по приведённым данным. Тип диаграммы выберите самостоятельно. Диаграмма «Реки европейской части России».

1026. Составьте круговую диаграмму «Результаты контрольной ра­боты по математике», используя данные таблицы. На рисунке 117 изображена диаграмма, характеризующая раз­меры выручки некоторого торгового предприятия по четырём видам товаров: зонты, сумки, перчатки, варежки. Эта диаграмма состоит из четырёх рядов данных, соответствующих временам года. По ней можно не только сравнить объёмы продаж по разным наименованиям товаров, но и проследить характер их изменения. Так, из диаграм­мы видно, что зонты наименьшим спросом пользуются зимой и наи­большим спросом - летом, а на перчатки и варежки спрос летом резко падает, причём перчатки в любое время года дают большую выручку, чем варежки. Что же касается сумок, то они продаются примерно одинаково в любое время года. На рисунке 118 диаграмма отображает ту же ситуацию, что и предыдущая. Но здесь величина выручки за каждый товар в данное время года отмечена маркером определённого цвета и формы. Все однотипные маркеры соединены между собой отрезками. В итоге по­лучается ломаная, которая показывает характер изменения выруч­ки в зависимости от времени года. Такую ломаную называют графи­ком, а диаграмму - графической. На рисунке 119 изображена ещё одна диаграмма по той же ситуа­ции. Это так называемая графическая накопительная диаграмма. Маркеры самого нижнего графика диаграммы находятся в точках, соответствующих реальным размерам выручки за соответствующий товар. Положение точек маркеров последующих графиков получают сложением: к выручке, полученной за товар (товары) предыдущего наименования (наименований), прибавляется выручка, полученная за следующий товар. Из этой диаграммы видно, что наибольшая выручка по всем данным товарам приходится на осень, а наименьшая - на зиму. Причём основной спад выручки происходит из-за резкого уменьше­ния спроса на зонты. Поэтому, для того чтобы сотрудники данно­го торгового предприятия получали стабильную заработную плату в течение всего года, необходимо в ассортимент товаров ввести на­именования, пользующиеся зимой большим спросом, чем зонты.Зонты сумки перчатки варежки. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 58.

1027. Постройте столбчатую диаграмму, отражающую результаты ответов на вопрос «Сколько времени в день вы уделяете чтению худо­жественной литературы?», отмечая по вертикальной оси время, а по горизонтальной - возраст опрашиваемых: Проанализируйте построенную диаграмму. Существуют компьютерные программы, позволяющие строить . различные диаграммы автоматически. Наиболее распространённая из них MicrosoftExcel(Майкрософт Эксель - редактор формул). Для построения диаграммы в этой программе достаточно: 1) заполнить таблицу данных: 2) выделить её: 3) подвести указатель мыши к кнопке «Вставка» и щёлкнуть ле­вой клавишей. После этого появится окно, в котором можно выбрать тип диа­граммы. Пользователь выбирает типовую диаграмму, которую он может оформить (раскрасить, выбрать тип обрамления, размер и тип шриф­та и т. д.) по своему вкусу. Для этого достаточно подвести указатель мыши к нужной области изображённой диаграммы и щёлкнуть пра­вой клавишей. В появившемся меню выбирается опция «Формат», на ней щёлкают левой клавишей и в появившемся окне получают возможность выбрать нужное оформление. Попробуйте с помощью компьютера построить диаграммы для тех ситуаций, которые даны в заданиях этого параграфа.

1028. Вычислите:

1029. Решите уравнение:

1030. (У с т н о.) За некоторое время самолёт пролетел 160 км. Сколь­ко километров он сможет пролететь, если будет лететь с той же ско­ростью, но в 2 раза дольше?

1031. (Устно.) За краску для ремонта квартиры заплатили 250 р. Сколько пришлось бы заплатить за краску, если бы её потребова­лось в 3 раза больше?

1032. 1) Сторона квадрата равна 1 см. Как изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза, в 3 раза, в 10 раз? 2) Завершите заполнение таблицы, взяв какие-нибудь свои значения длины стороны квадрата: Рассмотрите отношения двух каких-нибудь длин сторон и отношение соответствующих им периметров. Сравните их. Чему равно отношение стороны квадрата к его периметру?

1033. Поезд идёт со скоростью 80 км/ч. Заполните таблицу. Найдите отношения двух каких-нибудь значений времени и отношение соответствующих им значений пути. Сравните их. Чему равно отношение времени к пройденному пути? Решая эти задачи, вы заметили, что при увеличении одной из ! величин в несколько раз другая величина увеличивается во столь­ко же раз. Поскольку отношения значений величин при этом оста­ются постоянными, любые две пары значений этих величин состав­ляют пропорцию. Такие величины называют пропорциональными. Говорят, что периметр квадрата пропорционален его стороне, а пройденный путь пропорционален времени движения (когда ско­рость постоянна). Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 59.

1034. Пропорциональны ли следующие величины: а) сторона прямоугольника и его площадь при условии, что вторая сторона прямоугольника неизменна; б) сторона квадрата и его площадь; в) ребро куба и его объём; г) количество купленного товара и его стоимость? Подсказка. В случае затруднений ответьте на следующие вопросы: а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон увеличить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? в) Как изменится объём куба, если его ребро увеличить в 2 раза; уменьшить в 3 раза? г) Как изменится стоимость товара, если его количество увеличить в 2 раза; уменьшить в 3 раза?

1035. Раствор для укладки кирпича состоит из цемента, песка и “ воды. На одно ведро цемента берут одно ведро воды и два ведра пе­ска, т. е. цемент, воду и песок берут в отношении 1:1:2 (по объёму). Сколько надо взять вёдер воды и песка на 2 ведра цемента; на 5 вёдер цемента? Запишите соответствующие отношения. Можно ли сказать, что это одно и то же отношение? Как понимать утверждение, что объёмы воды, песка и це­мента, которые берут для приготовления раствора, являются про­порциональными величинами? Проверьте себя. 2 : 2 : 4, 5 : 5 : 10. Можно сказать, что это одно и то же отношение, поскольку в обоих случаях на одну часть цемента приходится одна часть воды и две части песка.  Пропорциональность трёх указанных величин означает, что они попарно пропорциональны, т. е. объём цемента пропорционален объёму песка и пропорционален объёму воды, а объём песка пропор­ционален объёму воды.

1036. Призовой фонд соревнований по биатлону делится между участниками, занявшими 1-е, 2-е и 3-е места, в отношении 7:2:1. а) Найдите суммы, которые получат спортсмены, заняв­шие 1-е и 2-е призовые места, если спортсмен, занявший 3-е место, получит 3500 р. б) Найдите суммы, которые получат спортсмены, занявшие 1-е и 3-е призовые места, если спортсмен, занявший 2-е место, получит 7200 р. в) Найдите суммы, которые получат спортсмены, занявшие 2-е и 3-е призовые места, если спортсмен, занявший 1-е место, получит 28 700 р.

1037. 1) Расстояние 240 км грузовик проехал за 3 ч. а) С какой скоростью двигался грузовик? б) Какова скорость спортивного автомобиля, которому на та­кое же расстояние потребовалось в 2 раза меньше времени? в) С какой скоростью ехал велосипедист, если у него этот путь занял в 5 раз больше времени, чем у грузовика? 2) На 160 р. можно купить 5 кг апельсинов. а) Сколько килограммов моркови можно купить на эти деньги, если морковь в 4 раза дешевле апельсинов? б) Сколько килограммов рыбного филе, которое в 2 раза дороже апельсинов, можно купить на эти деньги?

1038. 1) Расстояние между двумя городами равно 900 км. За какое время можно добраться из одного города в другой? Заполните таблицу. Запишите отношения двух каких-нибудь значений скоро­сти и соответствующих им значений времени в виде обыкновенных дробей и сократите их. Что можно сказать о числах, которые у вас получились? Чему равно произведение чисел верхней и нижней строк, расположенных в одном столбце? Проверьте себя. 2) Если взять отношение значений скорости, например, ^ , то от­ношение соответствующих им значений времени равно . Отноше­ние значении скорости и отношение соответствующих им значении времени - взаимно обратные числа: Для любой пары соответствующих друг другу значений скоро­сти и времени их произведение равно 900. Такие величины, как скорость и время, за которое можно про­ехать данное расстояние, называют обратно пропорциональными. Вообще обратно пропорциональными величинами называют такие величины, произведение которых постоянно. Вы встречались и с другим примером обратно пропорциональ­ных величин: ценой товара и его количеством, которое можно ку­пить на данную сумму денег (как видите, здесь опять произведение величин - цены товара и его количества - постоянно, оно опреде­ляется заданной суммой денег). Отметим важное свойство обратно пропорциональных величин: при увеличении одной из обратно пропорциональных величин в не­сколько раз другая уменьшается во столько же раз. Чтобы подчеркнуть разницу между пропорциональными и об­ратно пропорциональными величинами, пропорциональные величи­ны часто называют прямо пропорциональными. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 60. Сравните две следующие задачи. Что в них общего? Чем они отлича­ются? В какой задаче рассматриваются прямо пропорциональные, а в ка­кой - обратно пропорциональные величины?

1039. Необходимо изготовить 1000 одинаковых деталей. Заполните таблицу и, используя её данные, составьте три пропорции. Производительность труда (количество деталей, которые могут быть изготов­лены за 1 ч) Время выполнения работы, ч

1040. Производительность труда рабочего - 70 деталей в час. За­полните таблицу и, используя её данные, составьте три пропорции. Время выполнения работы, ч. Объём выполненной работы, детали.

1041. Какие из следующих пар величин являются прямо пропор­циональными, какие - обратно пропорциональными, а какие не являются ни теми, ни другими: количество товара и его стоимость; скорость движения и время, необходимое для преодоления данно­го расстояния; производительность труда и время выполнения определённой ра­боты; масса воды и её объём; скорость движения и длина пути, пройденного за определённое время; длина и ширина прямоугольника данной площади; сторона квадрата и его площадь; ребро куба и его объём; рост человека и его возраст; масса коробки с конфетами и число конфет в этой коробке; число решённых дома примеров и оценка, полученная за конт­рольную работу; число верно решённых заданий контрольной работы и отметка, полученная за неё?

1042. Туристы планировали пройти маршрут за 6 дней, но из-за плохой погоды им пришлось двигаться медленнее, и вместо пред­полагаемых 52 км в день они проходили только 39 км. За сколько дней они совершили весь переход?

1043. Вычислите значение выражения:

1044. Вычислите значение выражения:

1045. Вычислите значение выражения:

1046. Стиральная машина стоит 9384 р., включая доставку на дом. Стоимость доставки составляет 2% стоимости машины. Опре­делите цену машины и стоимость доставки. б) Ремонт автомобиля обошёлся в 1498 р., причём плата за ра­боту составила 7% от суммы, затраченной на детали. Определите стоимость деталей и работы.

1047. Решите уравнение:

1048. Решите уравнение:

1049. Из пункта А в пункт В одновременно выехали автомобилист и велосипедист, причём скорость автомобилиста в 5 раз превышала скорость велосипедиста. Однако на полпути автомобиль сломался, и далее автомобилист до пункта В добирался пешком со скоростью, вдвое меньшей скорости велосипедиста. Удалось ли автомобилисту прибыть в пункт В раньше велосипедиста?

1050. Числа а и b- целые, а + b= 100. Может ли сумма 6а + 3bбыть равной 639?

1051. Сделайте рисунок, опровергающий утверждение: а) если луч образует со сторонами угла равные углы, то он яв­ляется биссектрисой этого угла; б) если два угла имеют общую вершину, а их биссектрисы вместе составляют прямую, то эти углы вертикальные; в) если биссектрисы двух равных углов лежат на одной пря­мой, то эти углы вертикальные.

1052. За 6 кг товара заплатили 420 р. Какова стоимость 20,4 кг этого товара? Ответьте на вопросы и выполните задания. О каких величинах идёт речь в задаче? Есть ли среди них пропорциональные или обратно пропорциональные величины? Обозначьте стоимость 20,4 кг товара буквой х и составьте уравнение. Решите полученное уравнение и ответьте на вопрос задачи. Проверьте себя. Эту задачу нетрудно решить, узнав стоимость (цену) 1 кг това­ра и умножив полученный результат на 20,4. Однако масса товара и его стоимость - величины пропорциональные, поэтому в решении можно использовать пропорцию. Сделаем краткую запись условия в таком виде: От этой записи совсем просто перейти к пропорции: х = 1428 (р.). Ответ: 1428 р

1053. 16 солдат могут отрыть окоп за 21 ч. Сколько солдат нужно поставить на эту работу, чтобы окоп был готов через 14 ч? Ответьте на вопросы и выполните задания. О каких величинах идёт речь в задаче? Есть ли среди них пропорциональные или обратно пропорциональные величины? Обозначьте искомое число солдат буквой х и составьте урав­нение. Решите полученное уравнение и ответьте на вопрос задачи. Проверьте себя. Продолжительность работы и число солдат при одинаковой про­изводительности труда каждого солдата - величины обратно про­порциональные. Запишем краткое условие задачи: 16 с. 21 ч х с. 14 ч В задачах с пропорциональными величинами мы составляем пропорцию. А вот в задачах с обратно пропорциональными величи­нами удобнее пользоваться равенством произведений соответствую­щих друг другу значений величин: 16 • 21 = х • 14, х = х = 24 (с.). Ответ: 24 солдата. Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 61. Прочитайте задачу, определите, пропорциональны или обратно про­порциональны величины, о которых в ней идёт речь, запишите краткое условие, составьте уравнение и решите его.

1054. На изготовление 12 костюмов требуется 49,8 м ткани. Сколько таких же костюмов можно сшить из 74,7 м той же ткани?

1055. Для погрузки нефти нужно 35 цистерн ёмкостью 60 м³ каж­дая. Однако на железной дороге оказались только цистерны ёмко­стью 70 м³. Сколько таких цистерн потребуется для погрузки того же количества нефти?

1056. Для окраски 15 м² пола израсходовано 1,5 кг эмали. Сколь­ко эмали потребуется для окраски пола в комнате, размеры кото­рой 6,3 х 4,5 м?

1057. На изготовление 3,5 кг ржаного хлеба требуется 2,5 кг муки. Сколько хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки?

1058. 12 тракторов одинаковой мощности могут вспахать поле за 88 ч. Сколько нужно таких же тракторов, чтобы вспахать это поле за 33 ч?

1059. Для покрытия пола требуется 45 м линолеума шириной 2,2 м. Сколько потребуется линолеума шириной 1,5 м для покрытия пола той же площади?

1060. Маятник стенных часов совершает 198 колебаний за 3,3 мин. Сколько колебаний он сделает за 3 мин 12 с?

1061. Из 79 л молока получается 3,2 кг сливочного масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 16 кг масла?

1062. Из 0,3 т свежих яблок получилось 57 кг сушёных. Сколько получится сушёных яблок из 2,1 т свежих?

1063. Зубчатое колесо имеет 75 зубцов и делает 92 оборота в минуту. Сколько оборотов в минуту делает колесо с 5 зубцами, сцепленное с первым?

1064. Два шкива связаны ременной передачей. Длина окружности одного шкива равна 528 см, а другого - 225 см. Первый шкив де­лает 60 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает второй шкив?

1065. Из 100 кг ржи получили 90 кг муки. Сколько ржи надо заго­товить, чтобы получить 675 кг муки?

1066. Вычислите:

1067. Отметьте на координатной плоскости точки с координатами (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10). Ответьте на вопросы и выполните задания. Какую особенность можно отметить в расположении точек? Определите, чему равно отношение ординаты к абсциссе для каж­дой из данных точек. Можно ли утверждать, что в данном случае ордината и абсцисса - пропорциональные величины? Запишите формулу, по которой можно определить ординату каж­дой из данных точек, зная её абсциссу. Подходит ли эта формула для начала координат? Укажите несколько точек, отрицательные ординаты которых мо­гут быть найдены по той же формуле.

1068. Налог на добавленную стоимость (НДС) составляет 18% стои­мости товара. Определите сумму налога с товара, который был про­дан за 53 336 р.

1069. а) На бутылке воды написано: «Теперь на 20% дешевле - 0,6 л по цене 0,5 л». На сколько процентов дешевле стала продаваться вода на самом деле? б) При выпаривании 150 г солевого раствора осталось 12 г соли. Определите концентрацию соли в растворе.

1070. В классе 23 мальчика и 15 девочек. Вычислите с точностью до 0,1%, сколько процентов составляют отдельно мальчики и девочки от общего числа учащихся класса. Произведите такой же подсчёт для вашего класса.

1071. Сравните площади закрашенных фигур (рис. 123) (на правом рисунке вершины квадрата - центры окружностей). Выполните не­обходимые измерения и найдите площадь закрашенной части каж­дой фигуры.

1072. Для определения чистоты посевного материала были взяты две пробы по 50 г. В первой пробе было 0,8 г сорных и 0,3 г повреждён­ных семян, а во второй - 1,1 г сорных и 0,4 г повреждённых семян. Определите чистоту посевного материала с точностью до 0,1%. Указание. Вычислите процент неповреждённых семян в каждой пробе и среднее арифметическое найденных чисел.

1073. При варке варенья на 1 кг ягод берут 1,5 кг сахара. Запишите отношение массы ягод к массе сахара в виде обыкновенной дроби. Сколько сахара нужно, чтобы сварить варенье из 3 кг ягод?

1074. Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно отправи­лись пешеход и велосипедист. К моменту встречи пройденные ими расстояния относились как 1:4. Найдите расстояние между пунк­тами, если известно, что до встречи велосипедист проехал на 21,3 км больше, чем прошёл пешеход. Решите эту задачу двумя способами: составляя уравнение и используя рисунок 124.

1075. Найдите разные способы решения следующих двух задач. Отец старше сына на 25 лет. Возраст отца относится к возрасту сына как. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?

1076. Найдите разные способы решения следующих двух задач. Мама с дочкой лепили пельмени. Пока дочка лепила 2 пельменя, мама успевала слепить 5. Сколько пельменей заготовили мама с дочкой вместе, если дочка в итоге слепила на 96 пельменей меньше, чем мама?

1077. Найдите разные способы решения следующих двух задач. Призовой фонд соревнований по биатлону составляет 500 000 р. Эти деньги делятся между участниками, занявшими 1-е, 2-е и 3-е места, в отношении 7:2:1. Найдите сумму, которую получит каж­дый из спортсменов, занявших призовые места.

1078. Решите следующие задачи, составляя уравнение. От посёлка до турбазы, двигаясь в гору, велосипедист доехал за 3 ч. При возвращении его средняя скорость оказалась на 6 км/ч больше, поэтому дорога заняла у него на 1 ч меньше. Найдите, на каком расстоянии от посёлка расположена турбаза.

1079. Решите следующие задачи, составляя уравнение. Продано 34 кг яблок и хурмы. Определите, сколько продано яблок и сколько хурмы, если известно, что яблоки дороже хурмы в 2,4 ра­за и за все яблоки выручено столько же денег, сколько за хурму.

1080. Решите следующие задачи, составляя уравнение. На рынке продали баранину и телятину, причём баранины на 13 кг больше, чем телятины. Найдите стоимость проданного мяса, если известно, что масса баранины относится к массе телятины как 16 : 15 и баранина продавалась по 58 р., а телятина по 63 р. за 1 кг.

1081. Решите следующие задачи удобным для вас способом. 5 насосов за 3 ч откачали 1800 м³ воды. Найдите объём воды, которую могут откачать 4 таких же насоса за 4 ч.

1082. Решите следующие задачи удобным для вас способом. Деревянная балка длиной 4 м, шириной 30 см и толщиной 20 см имеет массу 144 кг. Найдите массу балки из другого дерева, 2 см³ которого имеют такую же массу, как 3 см³ первого, если эта балка имеет длину 5 м, ширину 40 см и толщину 30 см.

1083. Решите следующие задачи удобным для вас способом. Штукатур с помощником получили за работу 29 050 р. Шту­катур работал 8 дней, а его помощник только 35% этого времени. Дневной заработок штукатура на 40% больше, чем его помощника. Сколько денег заработал штукатур и сколько его помощник?

1084. Девять человек выполнили работу за 12 дней при семичасовом рабочем дне. За какое время выполнят ту же работу десять человек при восьмичасовом рабочем дне, если часовая производительность труда повысится на 20 % ?

1085. За б ч автомобиль проехал некоторое расстояние. То же рас­стояние он мог бы проехать за 5 ч, если бы увеличил свою скорость на 10 км/ч. Какое расстояние проехал автомобиль?

1086. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Сколько времени занял у велосипеди­ста весь путь, если мотоциклисту на это понадобилось 24 мин, а их встреча произошла через 18 мин после выезда?

1087. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехал велосипедист и вышел пешеход. Через какое время они встретятся, если велосипедисту на весь путь требуется 40 мин, а пешеходу 2 ч?

1088. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу отпра­вились пешеход и велосипедист, и к моменту встречи велосипедист проехал расстояние, в 3 раза большее, чем прошёл пешеход. Сколь­ко времени затратил велосипедист на путь из В в А, если пешеход пришёл в В через 45 мин после встречи с велосипедистом?

1089. Один поезд проходит расстояние между станциями за 26 мин, а другой за 39 мин. Через какое время они встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу?

1090. Две трубы, работая вместе, могут наполнить бассейн за 15 мин. Если бы первая труба работала одна, то наполнение бассейна заняло бы 20 мин. Сколько времени понадобится для заполнения бассейна через вторую трубу?

1091. Какая сумма окажется через год на счёте, по которому выпла­чивается 2% годовых, если первоначальный вклад составил 8700 р.?

1092. а) В банк, который даёт 1,5% годовых, положили 4000 р. Че­рез какое время общий доход с этой суммы составит 120 р., 840 р., если каждый год снимать начисленные проценты? б) Какие проценты выплачиваются по вкладу, если на счёт была положена сумма 4500 р., а через год она составила 4554 р.?

1093. Рабочий получает зарплату в 1,5 раза больше ученика. Как разделить между тремя рабочими и двумя учениками заработанные ими совместно 1430 р.?

1094. Вычислите:

1095. Решите уравнение:

1096. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достовер­ное, невозможное или случайное. Оцените событие словами «сто­процентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, а ка­кое - менее вероятно. Среди ночи выглянуло солнце. Дата рождения моего друга - число, меньшее чем 32. На уроке математики ученики делали физические упраж­нения. На уроке математики ученики решали математические задачи. Сборная РФ по футболу станет чемпионом мира в 2014 г. Сборная РФ по хоккею станет чемпионом мира в 2014 г. Из интервала (1; 2) наугад взяли число; оно оказалось на­туральным. Из отрезка [1; 2] наугад взяли число; оно оказалось нату­ральным. Из отрезка [1; 2] наугад взяли число; оно оказалось смешан­ным. Вверх подкинули монету, и она упала на землю орлом. Вверх подкинули монету, и она упала на землю решкой. Проверьте себя. Среди ночи выглянуло солнце. Это невозможное событие, событие с нулевой вероятностью. Дата рождения моего друга - число, меньшее чем 32. В каж­дом месяце не более 31 дня, так что указанное событие достоверное, событие со стопроцентной вероятностью. На уроке математики ученики делали физические упражне­ния. Вполне возможно, что учитель предложил ученикам слегка размяться. Это случайное событие, но, пожалуй, маловероятное. На уроке математики ученики решали математические зада­чи. Это тоже случайное событие, поскольку бывают уроки матема­тики, на которых задачи не решаются, например урок-лекция. Если сравнить это случайное событие с предыдущим, то второе - более вероятно, первое - менее вероятно. Сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2014 г. Как говорится, свежо предание, да верится с трудом. Это случайное событие, которое, зная уровень российского футбола, следует оце­нить как маловероятное. Сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2014 г. Это тоже случайное событие, которое, зная уровень российского хоккея, следует оценить как маловероятное. Но всё же если срав­нить это событие с предыдущим, то следует признать: оно более ве­роятно. Всё-таки российский хоккей на первых ролях в мире (чего не скажешь о российском футболе). Из интервала (1; 2) наугад взяли число; оно оказалось нату­ральным. В интервале (1; 2) нет ни одного натурального числа, так что указанное событие - невозможное, это событие с нулевой веро­ятностью. Из отрезка [1; 2] наугад взяли число; оно оказалось натураль­ным. Это случайное событие, оно может наступить (если выбранное вами число оказалось 1 или 2), а может и не наступить. Но оценить это событие следует как маловероятное. Из отрезка [1; 2] наугад взяли число; оно оказалось смешан­ным. Это тоже случайное событие, оно может наступить (если вы­бранное вами число оказалось, или,или 1 и т. д.), а может и не наступить. Оценить это событие следует как достаточно вероятное и уж во всяком случае более вероятное, чем предыдущее событие. и 11) Вверх подкинули монету, и она упала на землю орлом; решкой. Оба события случайны, но сказать, какое из них более, а какое - менее вероятно, нельзя. Эти события равноверо­ятны.

1097. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. а) 25 апреля в Москве будет дождь; б) 25 апреля в Москве будет снег; в) 25 апреля в Москве день будет длиннее ночи; г) 25 апреля в Москве день будет короче ночи.

1098. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. Вы берёте наугад любое слово с этой страницы учебника. Со­бытие состоит в следующем: а) в выбранном слове есть буква о; б) в выбранном слове есть буква ф; в) в выбранном слове есть гласная; г) в выбранном слове есть китайский иероглиф.

1099. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следую­щем: а) задумано чётное число; б) задумано нечётное число; в) задумано число, не являющееся ни чётным, ни нечётным; г) задумано число, являющееся чётным или нечётным.

1100. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следую­щем: а) задумано простое число; б) задумано составное число; в) задумано число, кратное 2; г) задумано число, дающее при делении на 2 остаток 1.

1101. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. Петя перемножил два рациональных числа а и b. Событие со­стоит в следующем: а) ab- положительное число; б) аb- отрицательное число; в) аb = 0; г) abотлично от 0.

1102. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, не­возможное или случайное. Оцените событие словами «стопроцентная ве­роятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно веро­ятно». Если речь идёт о двух похожих случайных событиях, попробуйте сравнить, какое из них более вероятно, какое - менее вероятно, какие - равновероятны. Даны два интервала: (0; 1) и (5; 10), из первого выбирается число а, из второго выбирается число с. Событие состоит в следую­щем: а) число а меньше числа с; б) число а больше числа с; в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10); г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

1103. Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпа­дет: 1) 1; 2) 2; 3) чётное число очков; 4) нечётное число очков; число очков больше 4; 6) число очков меньше 5? Проверьте себя. Всего имеется 6 равновероятных возможностей: выпадение 1,2, 3, 4, 5, 6. Из шести равновероятных событий складывается достовер­ное событие - выпадение одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность достоверного события равна 1, значит, вероятность каждого из ука­занных шести равновероятных событий равна ^ . Таким образом, в случае 1) имеем Р = ; в случае 2) также имеем Р = . Рассмотрим случай 3). Он состоит из трёх равновероятных воз­можностей - выпадения 2, выпадения 4, выпадения 6. Значит, Р = Рассмотрим случай 4). Он также состоит из трёх равновероят­ных возможностей - выпадения 1, выпадения 3, выпадения 5. Значит, Рассмотрим случай 5). Он состоит из двух равновероятных воз­можностей - выпадения 5 и выпадения 6. Значит, Рассмотрим, наконец, случай 6). Он состоит из четырёх равно­вероятных возможностей - выпадения 1, 2, 3 или 4. Значит, Итак, если достоверное событие состоит из нескольких равно­вероятных возможностей, то вероятность случайного события мож­но вычислить по следующему правилу: вероятность случайного события равна дроби, в знаменателе которой содержится число всех равновероятных возможностей, из которых состоит достоверное событие, а в числителе - число тех возможностей, при которых рассматриваемое событие происходит. Иногда вместо слов число всех равновероятных возможностей, из ко­торых состоит достоверное событие используют более короткое слово­сочетание число всех исходов (т. е. достоверное событие - это как бы се­рия испытаний, у каждого из которых есть свой результат, свой исход). Аналогично, вместо слов число тех возможностей, при которых рассмат­риваемое событие происходит используют словосочетание число благо­приятных исходов. Тогда формулу для вычисления вероятности можно записать так: число всех благоприятных исходов Р=   число всех исходов Вероятность часто записывают в процентах. Значит, можно записать а можно использовать равноправную запись Р = 50%. Рассуждая о вероятности, не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения 1 равна, это совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, вы получите 1 один раз, бросив кубик 12 раз, вы получите 1 два раза, бросив кубик 18 раз, вы получите 1 три раза и т. д. Слово вероятно носит пред­положительный характер. Мы предполагаем, что скорее всего может произойти. Вероятно, если мы бросим кубик 600 раз, цифра 1 выпадет 100 раз или около 100. Если у вас будет время и желание, проведите экспе­римент: бросьте игральный кубик, например, 60 раз и составьте таблицу выпадений цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Скорее всего (вероятнее всего) все числа в вашей таблице будут близки к 10.

1104. В колоде 36 карт, из них наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что вынутая карта: а) король; б) масти «пики»; в) красной масти; г) «картинка», т. е. валет, дама, король или туз?

1105. В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50. а) Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета? б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была равна 100%?

1106. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, если известно, что цифры не должны повторяться? Какова вероятность того, что составленное число делится на 5? Проверьте себя. Для цифры сотен у нас есть 4 варианта - 1, 3, 5 или 7; для цифры десятков мы можем использовать для каждой выбранной цифры со­тен лишь 3 варианта, поскольку повторять цифру сотен мы не имеем права (по условию задачи все цифры должны быть различными). Для цифры единиц у нас в каждом случае есть лишь две оставшиеся воз­можности - 2 варианта. Применив правило умножения, получим: 4 • 3 • 2 = 24. Итого 24 числа (число всех исходов). Чтобы число, состоящее из цифр 1, 3, 5, 7, делилось на 5, нужно, чтобы цифрой единиц служила 5. Первые две цифры числа следует выбирать из оставшихся цифр 1, 3, 7. На первом месте может нахо­диться любая из этих трёх цифр, на втором - любая из двух остав­шихся. Итого 6 вариантов (число благоприятных исходов). Теперь нетрудно подсчитать искомую вероятность:

1107. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Какова вероятность того, что составленное число: а) чётное; б) нечётное; в) делится на 5; г) делится на 4?

1108. Собрание для проведения тайного голосования по важному вопросу избрало счётную комиссию в составе: Антонов, Борисова и Ващенко. Члены счётной комиссии распределяют должности: председатель, заместитель, секретарь. Какова вероятность, что председателем счётной комиссии будет Борисова?

1109. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Учитель собирается назначить двух дежурных: мальчика и девочку. Тане Петровой сегодня некогда, она не может дежурить по классу. Какова вероятность того, что она не будет назначена учителем и ей не придётся отпрашиваться?

1110. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить трёх человек - одну девочку и двух мальчиков - для посещения заболевшего ученика этого класса. Тане Петровой очень хочется попасть в число посетителей. Какова вероятность того, что Таню включат в тройку?

1111. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить трёх человек - одну девочку и двух мальчиков - для посещения заболевшей ученицы этого класса. Коле Иванову очень хочется попасть в число посетителей. Какова вероятность того, что Колю включат в тройку?

1112. В двух урнах имеется по семь шаров, в каждой - семи раз­личных цветов: красного, оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового. Из каждой урны одновременно вынимают по одному шару. а) Сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «синий - красный» и «красный - синий» считаются одинаковыми)? б) Какова вероятность того, что вынутые шары окажутся одного цвета? в) Какова вероятность того, что вынутые шары окажутся раз­ных цветов?

1113. В коробке «Ассорти» 20 конфет, из которых 10 с шоколадной начинкой и 10 с начинкой пралине, каждая конфета находится в своей ячейке. Тане разрешили взять две конфеты. Сколькими спосо­бами она может это сделать? Какова вероятность того, что обе кон­феты окажутся с любимой Таниной начинкой - шоколадной?

1114. Какова вероятность выигрыша в спортивной лотерее «3 из 16» (в лотерее участвует 16 номеров - с 1-го до 16-го, выигрыш выпа­дает на 3 номера)? Мультимедийное приложение. Раздел «Теория». Ресурс № 64.

ДОМАШНИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

РАБОТА № 1 (§ 1-4)

1) Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), B(0,5), С(-1,5),

Ответьте на вопросы.

а) Какая точка имеет наибольшую координату?

б) Координата какой из точек имеет наибольший модуль? наимень­ший модуль?

в) Как изменятся координаты точек, если начало координат пере­нести на 4 единичных отрезка влево? Как изменятся их модули? Укажите точку, модуль координаты которой не изменится.

2) Найдите х из равенств: а) | х | = 5; б) | х | = 0;

3) Сравните числа: а)-15,3 и-15,03;

4) В строительстве дороги принимали участие две бригады, причём число рабочих первой бригады составило 52% числа всех рабочих двух бригад. Сколько рабочих в двух бригадах, если в первой бригаде на 2 чело­века больше, чем во второй?

РАБОТА № 2 (§ 5-9)

1) Представьте выражение в виде суммы: (-5) - 3 + (-6) - (-7).

2) Запишите выражения без скобок и найдите значение каждого из них: а) -(-1,7) + (+8,3) - (+4,35) + (-5,65);

3) В четырёхугольнике ABCDпроведите: диагональ АС; отрезок, со­единяющий середины сторон АВ и ВС; отрезок, соединяющий середи­ны сторон ADи DC.Как, по вашему мнению, расположены прямые, со­держащие проведённые отрезки?

4) р(а, b) = 25, а = 7. Найдите b.

РАБОТА № 3 (§ 10-15)

1) Определите вид числовых промежутков, составьте аналитическую и геометрическую модели для каждого из них: а) (-оо; 3,2); б) [-9,1; +оо); в) (3,7; 7,9); г) [-2,8; -2,1]. Укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целые числа, принадлежащие каждому промежутку.

2) Вычислите: а) (-4,2 + 2,48) • (-1,5) + (-17,29 - 2,71) : (-2,5);

3) Постройте на координатной плоскости треугольник с вершинами в точках А(-5; 1), В(2; 4), С(3; -2). Выполните задания.

а) Начертите треугольник AiBiC_itсимметричный треугольнику АВС относительно оси ординат.

б) Начертите треугольник А₂В₂С₂, симметричный треугольнику AyB^Ciотносительно начала координат. Симметричен ли треугольник А₂В₂С₂ тре­угольнику АВС относительно какой-либо прямой или какой-либо точки?

4) Представьте каждое выражение в таком виде, чтобы можно было определить, расстоянию между какими точками координатной прямой оно равно:

а) I -(-18,3) + 4,11; б) | -7,2 + (-3,2) |.

5) Укажите, имеет ли фигура ось симметрии, центр симметрии или не имеет ни того, ни другого (рис. 125).

РАБОТА № 4 (§ 17-20)

1) Упростите выражения: а) -0,2(2x - 1) + 4,2(0,5x– 8x); б) -(т + 2n - 7) - (-2т -5п + 8).

2) Решите уравнения: а) 2(5 – 3x) = 6 – 5x; б) 2(1 - x) - 4(2x + 8) = 8x + 28;

3) Ежемесячный доход семьи составляет 72 000 р. На транспортные расходы тратится 5% этой суммы. Из них 40% - стоимость проездных билетов для матери и сына, а остальное - стоимость бензина для автомо­биля отца. Найдите сумму, которая ежемесячно тратится на бензин.

4) До повышения тарифов за проезд стоимость билета на маршрутном такси составляла 20 р., а после повышения - 25 р. На сколько процентов увеличилась оплата проезда?

РАБОТА № 5 (§ 21-24)

1) После привала в рюкзаке у одного из туристов оказалось в 5 раз больше продуктов, чем у другого. Для того чтобы уравнять груз, 6 кг про­дуктов из его рюкзака переложили в рюкзак второго туриста. Сколько килограммов продуктов оказалось в рюкзаках каждого из туристов после привала до перекладывания?

2) Автомобиль был в пути 3 часа. За первый час он проехал всего пути, за второй час - оставшегося, а за третий - последние 90 км. Какое расстояние проехал автомобиль за 3 часа?

3) Диаметр клумбы, имеющей форму круга, увеличили на 1 м. На сколько воз­росла длина бордюра вокруг этой клумбы?

4) Выполните необходимые измерения и найдите площадь закрашенной части фи­гуры (рис. 126).

РАБОТА № 6 (§ 25-29)

1) Используя известные вам свойства делимости, покажите, что сле­дующие дроби можно сократить на 17:

2) Сократите дроби:

3) Выполните действия:

4) Что больше: 15% от 35 или 35% от 16?

РАБОТА № 7 (§ 25-29)

1) Завершите разложение на простые множители: а) 2³ • 7 • 21; б) 5⁴ • 11² • 121

2) Сократите дроби:

3) Вычислите:

4) Сформулируйте признак делимости на 21.

РАБОТА № 8 (§ 33-36)

1) Число яблонь в саду относится к числу груш как 2 : 5. Определите, сколько яблонь и сколько груш растёт в саду, если яблонь на 48 меньше, чем груш.

2) На изготовление 8 кг теста для торта требуется 750 г сахарного пе­ска. Сколько сахарного песка потребуется для 5 кг такого теста? (Ответ дайте с точностью до 10 г.)

3) Стая пингвинов может съесть 200 кг криля за трое суток. За какое время стая, в которой пингвинов в 6 раз больше, съест 300 кг криля (бу­дем считать, что у всех пингвинов одинаковый аппетит)?

4) Баскетбольный матч между командами «Спруттак» и «Гайдаровец» завершился со счётом 84 : 62. Протоколом матча было зафиксировано число результативных бросков: штрафных - 11, дальних бросков - 5, прочих - 60. Каждый результативный штрафной бросок приносит команде 1 очко, дальний бросок - 3 очка, а остальные - по 2 очка. Определите, сколько процентов приходится на число очков, заработанных бросками каждого из указанных видов, и постройте круговую диаграмму.

Контрольные задания стр. 14

Приведите примеры геометрических фигур, имеющих центр сим­метрии.

Начертите треугольник АВС, отметьте точку О и постройте тре­угольник, симметричный треугольнику АВС относительно этой точки, если:

а) точка О - вне треугольника;

б) точка О - внутри треугольника;

в) точка О - середина стороны АВ;

г) точка О совпадает с вершиной А.

На координатном луче отметьте точки, симметричные точкам А(2) и В(4) относительно точки М(5).

Контрольные задания стр. 22

Запишите координаты отмеченных на рисунке 27 точек. Рис. 27

Отметьте на координатной прямой точки А(-3), В(2) и точки, симметричные им относительно точки 0(0).

Контрольные вопросы и задания стр. 29

Что называется модулем числа?

Чему равен |с| при с  =  5; -3; 0; 0,15?

Укажите числа, противоположные данным: 7,2; -10; 0.

Контрольные вопросы и задания стр. 36

Сравните координаты точек А(-2,7) и В(-1,7). Какая из этих то­чек расположена на координатной прямой левее?

Как называются числа, которые на координатной прямой изоб­ражаются левее начала отсчёта?

Укажите большее и меньшее из чисел: 25,026; -45 876; 311; -0,02; 0; 1.

Контрольные вопросы и задания стр. 43

Какие прямые называют параллельными? Прочитайте запись: АВ || EF.

Приведите примеры параллельных прямых из окружающей об­становки.

Проведите прямую и отметьте точку вне этой прямой. Проведите через эту точку прямую, параллельную первой.

Контрольные вопросы и задания стр. 51

Объясните смысл выражения 3 + 6 - 8 + 10:

а) как изменение температуры;

б) как движение вдоль координатной прямой;

в) с использованием понятий «долг» и «прибыль».

Запишите это выражение в виде суммы положительных и отри­цательных чисел.

Найдите значение выражения: а) -12 + 7 - 4 + 9; б) (-2) + (-3) + 8.

Контрольные вопросы и задания стр. 57

Почему выражение -5 + 8-11 называют алгебраической суммой? Назовите её слагаемые и запишите данное выражение в виде сум­мы положительных и отрицательных чисел.

Вычислите: -24,47 + 30,29 - 35,53 + 44,71.

Контрольные вопросы и задания стр. 62

Верно ли, что знак алгебраической суммы чисел всегда совпадает со знаком того из её слагаемых, которое имеет больший модуль? Приведите примеры.

Найдите по правилу вычисления алгебраической суммы значение выражений:

а) (-15) + 12; б) (-15) + (-12).

Контрольные вопросы и задания стр. 65

Верно ли, что если координаты точек имеют разные знаки, то рас­стояние между этими точками равно сумме модулей их координат?

Найдите длину отрезка АВ, если:

а) А(3), В(-8); б) А(-24), В(-16).

Контрольные вопросы и задания стр. 72

Приведите примеры геометрических фигур, имеющих ось симме­трии.

Проведите прямую а, отметьте точку Nвне этой прямой и по­стройте точку, симметричную точке Nотносительно прямой а.

Контрольные вопросы и задания стр. 80

Определите вид числового промежутка, составьте его аналитиче­скую и геометрическую модели: а) (-оо; 3]; б) (-9; +оо); в) (3; 7); г) [28; 0]

Контрольные вопросы и задания стр. 88

Каким будет знак результата, если перемножить два положитель­ных и три отрицательных числа? Изменится ли результат, если у каждого сомножителя поменять знак на противоположный?

Вычислите: а) -12,5 • (-4); б) 1 1/2: (-3).

Контрольные задания стр. 93

Укажите координаты отмеченных клеток шахматной доски (рис. 72).

Контрольные задания стр. 103

Haкоординатной плоскости укажите:

а) ось абсцисс; б) ось ординат.

Определите координаты отмеченных точек (рис. 82).

Отметьте на координатной плоскости точки А(1; 6), В(-2; -3), С(0; 4), D(-5; 0).

Покажите, где на координатной плоскости расположены точки:

а) абсцисса которых равна 3;

б) ордината которых равна -4.

Контрольные задания стр. 112

Закончите предложение: а) «Чтобы умножить дробь на дробь, нужно ...»; б) «Чтобы разделить число на дробь, нужно ...».

Найдите значение выражения:

Контрольные задания стр. 118

Используя правило умножения, вычислите, сколько существует различ­ных трёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, в случае, если:

а) в числе могут быть одинаковые цифры;

б) в числе нет одинаковых цифр.

Контрольные вопросы и задания стр. 123

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит: а) знак « + »; б) знак «-»?

Запишите без скобок выражение -(5 - 9) + (-3)(x + 5).

Контрольные вопросы и задания стр. 127

Какие слагаемые называются подобными? На основании какого арифметического закона приводятся подобные слагаемые?

Упростите выражение 5(2х - у) - 3(3л; - 2у).

Контрольные задания стр. 134

Решите уравнение 4х + 7 = -28 - х.

Найдите корень уравнения 2(3 - 4х) -5 = 6- 7(х + 8).

Контрольные задания стр. 138

1. Сформулируйте задачу, начало решения которой выглядит так:

В первом магазине осталось в 3 раза больше стульев, чем во вто­ром...

2. Закончите решение сформулированной вами задачи.

Контрольные задания стр. 145

Придумайте сами или приведите в качестве примера решён­ную задачу, в которой находится целое по его части. Найдите число, если: а) - его равны 21; б) 0,7 его равны 420; в) 17% его равны 68.

2/5 всего запаса топлива имеют массу 15 т. Найдите массу всего топлива.

За первый день турист прошёл половину всего маршрута, а за второй - его оставшейся части. Какую часть маршрута осталось пройти туристу за третий день пути?

Контрольные вопросы и задания стр. 153

1. Запишите формулу длины окружности двумя способами: через диаметр и через радиус. Во сколько раз длина окружности боль­ше длины диаметра?

Задания 2-4 выполните, считая, что п ~ 3,14.

2. Определите длину окружности, если: а) её радиус равен 2,1 см; б) её диаметр равен 15 см.

Определите радиус окружности, если её длина 10,833 м.

Определите диаметр окружности, если её длина 3,297 дм.

Контрольные вопросы и задания стр. 157

Запишите формулу площади круга.

Вычислите площадь круга, радиус которого равен 2,5 м.

Определите радиус круга, площадь которого равна 50,24 м².

Контрольные вопросы и задания стр. 159

Приведите примеры предметов, имеющих форму шара, сферы. Чем является сфера по отношению к шару?

Вычислите объём шара и площадь его поверхности, если радиус

шара равен - м.

Контрольные вопросы и задания стр. 167

Как вы понимаете утверждение:

а) а - делитель Ь; в) НОД (m; п) = k;

б) bкратно а; г) НОК (т; п) = k?

Даны числа: 12, 24, 30, 43, 48, 55, 60. Запишите те из них, ко­торые:

а) кратны 3; б) являются делителями числа 120.

Контрольные вопросы и задания стр. 171

Сформулируйте признак делимости произведения.

Сократите дробь

Контрольные вопросы и задания стр. 178

Верно ли утверждение: если уменьшаемое делится на некото­рое число, а вычитаемое - нет, то разность на это число не де­лится?

Используя признаки делимости суммы и разности, определите, делится ли:

а) 27 + 15 на 3; б) 55 - 20 на 5.

Контрольные вопросы и задания стр. 185

Сформулируйте признаки делимости на 2, 5, 10.

Из чисел 1956, 8375, 41 279, 54 280 выпишите те, которые крат­ны:

а) 2; б) 5; в) 10; г) 4; д) 25.

Контрольные вопросы и задания стр. 191

Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9.

Из чисел 591, 253, 417, 648, 639, 346 выберите те, которые: а) кратны 3; б) кратны 9.

Контрольные вопросы и задания стр. 199

Какие числа называют простыми, составными? Приведите примеры.

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным?

Разложите, если возможно, на простые множители числа 48, 47, 56, 59.

Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Контрольные вопросы и задания стр. 202

Объясните, как найти наибольший общий делитель чисел.

Найдите НОД (168; 756).

Сократите дробь

Контрольные вопросы и задания стр. 208

Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.

Сформулируйте признак делимости на произведение.

Найдите НОК (156; 234).

Контрольные вопросы и задания стр. 217

Какой смысл имеет утверждение: «В сплаве масса золота относит­ся к массе серебра как 53 : 47»?

Что такое пропорция и как называются её члены? Проверьте, мож­но ли составить пропорцию из чисел: а) 3, 40, 15, 8; б) 18, 25, 42, 10.

Решите пропорцию

Контрольные вопросы и задания стр. 229

Составьте диаграмму «Расходы на продукты».

В выборах на пост главы администрации принимали участие кан­дидаты А, В, С, D, Е и F. Используя диаграмму распределения голосов избирателей (рис. 120), определите, кто из кандидатов проходит во второй тур голосования.

По телевидению шла игра «Кто хочет стать миллионером?». Ве­дущий задал игроку вопрос и предложил на выбор 4 варианта от­вета: А, В, С, D.

Игрок затруднился с ответом и воспользовался подсказкой «По­мощь зала», для чего зрители в зале на своих пультах нажали ту кнопку, которая, по их мнению, соответствует правильному от­вету. Обобщив данные, компьютер выдал на дисплее диаграмму. Какой вариант ответа и почему выберет игрок, глядя на диаграмму (рис. 121)? А что бы вы посоветовали игроку, если бы диаграмма имела такой вид, какой представлен на рисунке 122?

Контрольные вопросы и задания стр. 235

Какие величины называют пропорциональными? Почему их ино­гда называют прямо пропорциональными? Чем отличаются пря­мо и обратно пропорциональные величины?

Какие из следующих величин являются прямо пропорциональны­ми, обратно пропорциональными, а какие не являются ни теми, ни другими:

масса учебников и их количество (имеется в виду учебник опреде­лённого наименования);

средняя скорость движения и проделанный за определённое вре­мя путь;

время движения и путь, проделанный с определённой скоростью;

средняя скорость движения и время на преодоление определён­ного расстояния;

рост человека и его масса;

высота предмета в данной точке и длина тени, которую он отбра­сывает в 14 ч при ясной погоде?

Контрольные вопросы и задания стр. 240

В каком виде записывается уравнение к задаче, в которой вели­чины:

а) прямо пропорциональны; б) обратно пропорциональны?

Для приготовления 12 л напитка потребовалось 4 кг ягод. Сколь­ко потребуется ягод для приготовления 21л такого напитка?

Через полторы минуты после начала движения велосипедист про­колол шину. Сколько времени он шёл с велосипедом домой, если на обратном пути его скорость была в шесть раз меньше?